相关试卷

1、综合与实践
折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．要求：将纸片折叠，折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙，无重叠的矩形．

(1)、操作发现：如图1，将平行四边形 $A B C D$ 纸片按所示折叠成矩形 $A E F G$ ，若平行四边形 $A B C D$ 的面积为24， $B C = 6$ ，则此矩形 $A E F G$ 的边 $E F =$ ，面积 $=$ ；

(2)、类比探究：如图2，将 $△ A B C$ 纸片按所示折叠成矩形 $E F G H$ ，若 $△ A B C$ 的面积为36， $B C = 12$ ，则此矩形 $E F G H$ 的周长 $=$ ；

(3)、拓展延伸：如图3，将平行四边形 $A B C D$ 纸片按所示折叠成矩形 $E F G H$ ，若 $E F : E H = 3 : 4$ ， $A D = 20$ ，则此矩形 $E F G H$ 的面积比平行四边形 $A B C D$ 的面积少多少？

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2、如图，四边形 $A B C D$ 为正方形，点E为线段 $A C$ 上一点，连接 $D E$ ，过点E作 $E F ⊥ D E$ ，交射线 $B C$ 于点F，以 $D E$ ， $E F$ 为邻边作矩形 $D E F G$ ，连接 $C G$ ，且 $∠ C G D = ∠ A E D$ ．

(1)、求证：矩形 $D E F G$ 是正方形；

(2)、若 $A B = 2$ ， $C E = \sqrt{2}$ ，求 $C G$ 的长度；

(3)、当线段 $D E$ 与正方形 $A B C D$ 的某条边的夹角是 $37 °$ 时，求 $∠ E F C$ 的度数．

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3、实践与探究
八年级的同学学习了“勾股定理”之后，“综合与实践”小组进行测量旗杆的高度的实践活动，他们设计了如下方案：
课题：测量风筝的高度 $C E$ ．
工具：皮尺，计算器等．
测量示意图：如图1．
说明：如图1， $A E$ 表示地面水平线， $A B$ 表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且 $A B$ 垂直于地面于点A，线段 $B C$ 表示风筝牵引线（近似为线段）， $C E$ 表示风筝到地面的垂直高度， $C E ⊥ A E$ 于点E， $B D ⊥ C E$ 于点D．
测量数值：点B到 $C E$ 的距离 $B D = 9$ 米；风筝牵引线 $B C$ 的长度： $B C = 15$ 米； $A B$ 的长度： $A B = 1.6$ 米；

(1)、求风筝的垂直高度 $C E$ ；

(2)、如图2，如果风筝沿 $D C$ 方向上升28米至点F（ $C F = 28$ ），求风筝牵引线 $B F$ 的长．

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4、如图，从一个大正方形中裁去面积为 $12$ 和 $25$ 的两个小正方形．

(1)、则裁去的较大正方形的边长是，较小正方形的边长是；

(2)、求留下部分的面积．

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5、如图，平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O， $△ C O D$ 是等边三角形．

(1)、试判断四边形 $A B C D$ 的形状，并说明理由；

(2)、如果 $A B = 2$ ，求平行四边形 $A B C D$ 的面积．

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6、宽与长的比是 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ （约为 $0.618$ ）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调，匀称的美感．世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果都采用了黄金矩形设计，如图希腊的帕特农神庙等．我们可以通过折叠得到一个黄金矩形．正确的折叠顺序是（）

A、①②③④ B、④③①② C、①④③② D、④①③②

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7、如图，在矩形 $C O E D$ 中，点D的坐标是 $(- 1, - 4)$ ，则 $C E$ 的长是（）

A、 $\sqrt{17}$ B、17 C、 $\sqrt{15}$ D、15

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $A C ⊥ B C$ ，点D是 $A B$ 的中点， $B D = 4$ ，则 $C D$ 的长度为（）

A、3 B、4 C、5 D、8

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $D E$ 是 $△ A B C$ 的中位线， $B C = 16$ ，则 $D E$ 的长是（）

A、4 B、5 C、6 D、8

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10、下列式子中是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{25}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{\frac{3}{2}}$ D、 $\sqrt{1.4}$

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11、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O，则下列结论正确的是（）

A、 $A B = C D$ B、 $A B = B C$ C、 $A O = B O$ D、 $A C = B D$

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12、解不等式： $x - 5 < 4 (x + 1)$ ，并把它的解集表示在数轴上．

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13、综合与实践
综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动．

(1)、【操作发现】对折 $△ A B C$ $(A B > A C)$ ，使点 $C$ 落在边 $A B$ 上的点 $E$ 处，得到折痕 $A D$ ，把纸片展平，如图1．小明发现四边形 $A E D C$ 满足： $A E = A C$ ， $D E = D C$ ．查阅相关资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．请写出图1中筝形 $A E D C$ 的一条性质：_________．

(2)、【拓展探究】如图2，连接 $E C$ ， $F$ 、 $G$ 、 $H$ 、 $Q$ 分别为 $A E$ 、 $E D$ 、 $D C$ 、 $A C$ 的中点．
①求证：筝形 $A E D C$ 的面积 $S = \frac{1}{2} A D \cdot E C$ ；
②若 $△ A B C$ 的面积为64， $△ B E D$ 的面积为12，求四边形 $F G H Q$ 的面积．

(3)、【迁移应用】如图3，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在 $B C$ 、 $A B$ 上，当四边形 $A E D C$ 是筝形， $A D = \sqrt{6}$ 时，直接写出四边形 $A E D C$ 的面积．

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14、综合与实践：

素材1

福州地铁某站在工作日早高峰（ $7 : 00 - 9 : 00$ ）期间，地铁运营部门通过闸机感应系统统计发现，在 $7 : 00 - 9 : 00$ 这两小时内，A出口的人流量 $y$ （人次）与时间 $t$ （分钟）存在如下关系：以 $7 : 00$ 为起始时间点（ $t = 0$ ）

t（分钟）	0	30	60	90	120
y（人次）	10	60	80	70	30

任务1

请根据已知条件，在平面直角坐标系中描点，观察，猜想，求出 $y$ 与 $t$ 的关系式，并进行验证：

素材2

福州凭借丰富的历史文化底蕴、美丽的自然风光以及特色美食，吸引了大量游客前来游玩．三坊七巷内人潮涌动；游客们穿梭于古街古巷，感受着福州的历史韵味；鼓山风景区迎来络绎不绝的登山客，俯瞰城市美景；烟台山的文艺街区也聚集了众多游客打卡拍照．某假期为吸引游客，福州地铁特推出免费乘车活动，使得客流量较平日呈现显著攀升态势，导致 $7 : 30$ 后A出口在原有人流量基础上每分钟较前一分钟额外增加2人．例如 $7 : 31$ 的人流量比原来增加2人， $7 : 32$ 的人流量比原来增加4人，以此类推……

任务2

求 $7 : 30 - 9 : 00$ 时段 $y$ 与 $t$ 的关系式，并指出人流量达到最大值时对应的具体时刻；

素材3

在地铁大客流应对措施中，栏杆绕行是颇为常见且有效的一种手段．通常，地铁车站会选用可移动的金属安全围栏，也就是俗称的“铁马”来设置特定的通行路径，较为常见的是设置“S”形铁马阵．

任务3

为保障乘客安全和通行效率，若地铁运营规定，当出口闸门人流量达到或超过200人次 $/$ 分钟时，需启动一级客流管控，工作人员会在安检通道摆放铁马，设置绕行，以减缓客流进入站台的速度．根据任务2中 $y$ 与 $t$ 的关系式，通过计算，直接写出该入口需要启动一级客流管控的持续时长．

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15、如图（1）， $△ A B_{1} C_{1}$ 是边长为2的等边三角形；如图（2），取 $A B_{1}$ 的中点 $C_{2}$ ，画等边三角形 $A B_{2} C_{2}$ ，连接 $B_{1} B_{2}$ ；如图（3），取 $A B_{2}$ 的中点 $C_{3}$ ，画等边三角形 $A B_{3} C_{3}$ ，连接 $B_{2} B_{3}$ ；…，按上述规律做下去，则 $B_{2021} B_{2022}$ 的长为．

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16、已知二次三项式 $x^{2} + 6 x + a$ 有一个因式是 $(x + 5)$ ，则另一个因式为．

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17、如图1，直线 $l_{1}$ ： $y = 2 x + 4$ 交 $x$ 轴、 $y$ 轴分别于点 $A$ 、 $B$ ，直线 $l_{2}$ ： $y = - x + b$ 与 $x$ 轴交于点 $C$ ，与直线 $l_{1}$ 交于点 $D$ ， $A C = 4$ ，

(1)、求直线 $l_{2}$ 的解析表达式；

(2)、如图2，将直线 $l_{1}$ 向左平移 $\frac{5}{2}$ 个单位长度得到直线 $l_{3}$ ，直线 $l_{3}$ 与 $y$ 轴交与点 $E$ ，与直线 $l_{2}$ 交于点 $F$ ，连接 $B F$ ，点 $P$ 为直线 $l_{1}$ 上一点．若 $S_{△ A C P} = 6 S_{△ B D F}$ ，求点 $P$ 的坐标．

(3)、如图2．将直线 $l_{1}$ 向左平移 $\frac{5}{2}$ 个单位长度得到直线 $l_{3}$ ，在 $l_{3}$ 上存在一动点 $M$ ，使 $∠ B C M = 45 °$ ，请直接写出点 $M$ 的坐标．

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18、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，连接 $A D$ ，分别过点 $A$ 、 $C$ 作 $A M ⊥ B D$ 于点 $M$ ， $C N ⊥ B D$ 于点 $N$ ，连接 $C M, A N$ ．

(1)、求证：四边形 $A M C N$ 是平行四边形；

(2)、已知 $B C = \sqrt{41}, C N = 4, D N = 0.8$ ，求 $M N$ 的长．

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19、如图， $△ A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (4, 5)$ ， $B (2, 2)$ ， $B (5, 2)$ ．

(1)、将 $△ A B C$ 绕点原点顺时针旋转 $180 °$ ，请画出旋转后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、将 $△ A B C$ 平移后得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，若点A对应点 $A_{2}$ 坐标为 $(3, 0)$ ，请画出平移后的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，若 $△ A B C$ 内部一点P的坐标为 $(a, b)$ ，则点 P的对应点 $P_{2}$ 的坐标是；

(3)、将 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 绕某一点 E旋转可得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，直接写出点 E的坐标．

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20、解答下列各题：

(1)、解方程： $\frac{2 x}{x + 1} - 1 = \frac{3}{2 x + 2}$ ；

(2)、解不等式组： $\{\begin{array}{l} 2 x - 6 < 3 x \\ \frac{x + 2}{5} - \frac{x - 1}{4} \geq 0 \end{array}$ ；

(3)、分解因式： ${(x^{2} + 4)}^{2} - 16 x^{2}$ ；

(4)、分解因式： $2 x^{2} - 10 x + 12$ ．

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