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相关试卷

1、

【综合与探究】

（1）小紫发现其新购入的一副三角尺套装中两个三角板的斜边相等（如图1），于是便将其拼接起来并抽象成如图2所示的四边形 $A B C D$ ．连接对角线 $B D$ ，经测量 $∠ A B D = 45 °$ ，小紫尝试用已学知识证明 $∠ A B D = ∠ C B D$ ，以下是其思路与方法，请完成填空：

证明：如图3，作 $D M ⊥ A B$ ， $D N ⊥ B C$ ，垂足分别为 $M 、 N$ ，

∵ $∠ D A B = ∠ D A C + ∠ B A C = 45 ° + 60 ° = 105 °$ ，

∴ $∠ D A M = 180 ° - 105 ° = 75 °$ ，

∵ $∠ B C D = ∠ A C B + ∠ A C D = 30 ° + 45 ° = 75 °$ ，

∴____________________，

且在 $△ A D M$ 与 $△ C D N$ 中， $∠ A M D = ∠ C N D = 90 °$ ， $A D = C D$ ，

∴ $△ A D M ≌ △ C D N (AAS)$ ，

∴____________________，

∴ $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，

∴ $∠ A B D = ∠ C B D$ ．

（2）爱钻研的小紫发现，当四边形满足一定的条件时，就会有类似的性质，如图4，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A D C = ∠ A B C = 90 °$ ， $A D = C D$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ．

①图4中存在多对相似三角形，如： $△ A B O ∽ △ D C O$ ，请按上述格式直接写出图中其余所有的相似三角形；

②在图4中，若 $A B = m$ ， $B C = n$ ，则求出 $\frac{O D}{O B}$ 的值；

【变式拓展】

（3）如图4，若在（2）的四边形 $A B C D$ 中有 $3 O A = 4 O C$ ， $P$ 为 $B C$ 边上一动点，将 $△ A B P$ 沿 $A P$ 翻折，点 $B$ 对应点为 $E$ ，射线 $P E$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，其中 $A C = 15$ ， $E F = 5$ ，请直接写出线段 $B P$ 的长．

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2、【综合与实践】深圳高级中学数学社团“探思社”对二次函数图象上点的坐标变换进行了深入探究，并在北师大版九年级上册数学书P116相关内容（如图1）的启发下，给出了如下定义：

在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数 $k (k \neq 0)$ ，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 $|k|$

图1

【定义】将二次函数 $C$ 图像上任意一点 $P (x_{0}, y_{0})$ 的横、纵坐标同乘实数 $n (n \neq 0)$ ，得到新的点 $P^{'} (n x_{0}, n y_{0})$ 称为点 $P$ 的“ $n$ 倍位似点”，连接二次函数 $C$ 图像上所有点的“ $n$ 倍位似点”所形成的曲线称为二次函数 $C$ 的“ $n$ 倍位似曲线”．

【探究】“探思社”的同学对二次函数 $C : y = {(x - 2)}^{2} - 3$ 的“ $\frac{1}{2}$ 倍位似曲线”与“ $2$ 倍位似曲线”进行了探究：

$y = {(x - 2)}^{2} - 3$ 上的点	…	$(0, 1)$	$(1, - 2)$	$(2, - 3)$	$(3, - 2)$	$(4, 1)$	…
对应“ $\frac{1}{2}$ 倍位似点”	…	$(0, \frac{1}{2})$	$(\frac{1}{2}, - 1)$	$M$	$(\frac{3}{2}, - 1)$	$(2, \frac{1}{2})$	…
对应“ $2$ 倍位似点”	…	$(0, 2)$	$(2, - 4)$	$(4, - 6)$	$(6, - 4)$	$(8, 2)$	…

（1）①列表：填写表格，其中点 $M$ 的坐标为_____；

②描点：将二次函数 $C : y = {(x - 2)}^{2} - 3$ 图像上点所对应的“ $\frac{1}{2}$ 倍位似点”与“ $2$ 倍位似点”分别描在下面的图 $2$ 与图 $3$ 中；

③连线：分别用光滑的曲线顺次连接各点得到二次函数 $C : y = {(x - 2)}^{2} - 3$ 的“ $\frac{1}{2}$ 倍位似曲线” $C_{1}$ 与“ $2$ 倍位似曲线” $C_{2}$ ．

【发现】（2）①发现： $C$ 的“ $\frac{1}{2}$ 倍位似曲线” $C_{1}$ 的表达式为：_____；

$C$ 的“ $2$ 倍位似曲线” $C_{2}$ 的表达式为：_____；

②猜想：对于任意二次函数： $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 对应的“ $n$ 倍位似曲线” $(n \neq 0)$ 的表达式为_____；

③验证：请用证明验证你的猜想．

【拓展应用】（3）若二次函数： $y = x^{2} - 6 x + 5$ 的顶点为 $D$ ，其所对应的“ $n$ 倍位似曲线” $(n \neq 0)$ 与 $x$ 轴分别交于 $A 、 B$ 两点，若 $△ A B D$ 满足 $2 ＜ S_{△ A B D} ＜ 4$ ，请求出 $n$ 的取值范围．

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3、下面是小高同学设计的“利用直角三角形作矩形”的尺规作图过程：
已知：如图1， $△ A B C$ 是直角三角形， $∠ A B C = 90 °$ ， $O$ 是 $A C$ 中点．求作：点 $D$ ，使得四边形 $A B C D$ 是矩形．作法：①作射线 $B O$ ；
②以点 $O$ 为圆心， $O B$ 为半径画弧交 $B O$ 的延长线于点 $D$ ；
③连接 $A D$ 、 $C D$ ，所以四边形 $A B C D$ 为矩形，点 $D$ 即为所求．
根据小高同学设计的尺规作图过程完成下列问题：

(1)、使用直尺和圆规，在图1中补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、证明：四边形 $A B C D$ 是矩形；

(3)、如图2，在矩形 $A B C D$ 的边 $A B$ 、 $C D$ 上各有一点 $E$ 、 $F$ ，且 $E F$ 经过 $A C$ 中点 $O$ ，请在 $A D$ 、 $B C$ 上各找一点 $G$ 、 $H$ ，使得四边形 $E G F H$ 为菱形（要求：利用直尺和圆规，作出图形，保留作图痕迹）．

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4、小益在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gão）的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上 $O$ 点，并可绕 $O$ 点转动．在横杆 $A$ 处连接一竹竿，在横杆 $B$ 处固定 $300 N$ 的物体，且 $O B = 1 m$ ．若图中人物竖直向下的拉力为 $F$ ，当改变点 $A$ 与点 $O$ 的距离 $l$ 时，横杆始终处于水平状态，小益记录了拉力的大小 $F$ 与 $l$ 的变化，如下表：
点 $A$ 与点 $O$ 的距离 $l / m$
1
1.5
2
2.5
3
拉力的大小 $F / N$
300
200
150
120
100

(1)、小益通过分析表格数据发现， $F$ 是 $l$ 的函数．在如图2所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；

(2)、根据以上数据和图象，直接写出 $F$ 关于 $l$ 的函数表达式（不要求写自变量 $l$ 取值范围）．并判断当 $O A$ 的长增大时，拉力 $F$ 是增大还是减小？请说明理由．

(3)、已知横杆总长为 $8 m$ ，小益想用 $40 N$ 的拉力汲水，小益是否能成功？请说明理由．

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5、东校区为课程建设打造了基于“AI学习空间＋校内实践基地＋校外实践基地”的项目式学习新平台，其中校内实践基地包括：“紫·耘农场”“紫·膳厨房”“紫·憩水吧”“紫·护养殖基地”（分别记作 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ），某班同学采取小组合作的方式参与实践基地学习．同学们在四张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同．

(1)、将这四张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“紫·憩水吧”的概率为_____；

(2)、各小组从这四张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的实践基地．将这四张卡片背面朝上洗匀后，小深代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小高代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组实践基地不同的概率．

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6、深中大桥（如图1）是目前世界最大跨径全离岸海中钢箱梁悬索桥．在学习完“利用三角函数测高”知识后，小商想测量出桥塔相对于桥面的高度，图2是其设计的测量示意图．已知桥塔 $A B$ 垂直于桥面，测角仪 $C D$ 、 $E F$ 在 $A B$ 两侧，垂直于桥面， $C D = E F = 1.8 m$ ，点 $C$ 与点 $E$ 相距 $310m$ （点 $C$ ， $B$ ， $E$ 在桥面所在直线上），在 $D$ 处测得桥塔顶点 $A$ 的仰角为 $45 °$ ，在 $F$ 处测得桥塔顶点 $A$ 的仰角为 $53 °$ ．求桥塔 $A B$ 的高度（参考数据： $sin 53 ° \approx \frac{4}{5}, cos 53 ° \approx \frac{3}{5}, tan 53 ° \approx \frac{4}{3}$ ，结果精确到 $1 m$ ）．

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7、解方程：

(1)、 $3 x (2 x + 1) = 4 x + 2$ ；

(2)、 $x^{2} - x - \frac{7}{4} = 0$ ．

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8、如图， $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 120 °, B C = 3 A B, D$ 为线段 $B C$ 上一点（不与 $B$ 、 $C$ 重合），连接 $A D$ ，在 $∠ A D C$ 内部作线段 $D E$ ，使得 $D E = 3 A D, ∠ A D E = 120 °$ ，连接 $E C$ ，则 $\frac{E C}{B D} =$ ．

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9、如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = - x - 1$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为 $(0, 3)$ ，连接 $A C ， B C$ ，若 $A C = B C$ ，则实数k的值为．

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10、当 $x > 0$ 时，二次函数 $y = - x^{2} + b x + 1$ 中 $y$ 随 $x$ 的增大而减小，则 $b$ 可能是．（写出一个即可）

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11、在锐角三角形 $A B C$ 中，若 $∠ A, ∠ B$ 满足 $|cos A - \frac{\sqrt{2}}{2}| + {(sin B - \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} = 0$ ，则 $∠ C =$ ．

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12、已知 $\frac{a}{4} = \frac{b}{5} (a \neq 0, b \neq 0)$ ，则 $\frac{a}{b} =$ ．

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13、如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间的函数关系的图象大致为（　　）

A、 B、 C、 D、

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14、在平面直角坐标系中，将二次函数 $y = {(x - 1)}^{2} + 3$ 的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）

A、 $y = {(x - 3)}^{2} + 2$ B、 $y = {(x - 3)}^{2} + 4$ C、 $y = {(x + 1)}^{2} + 2$ D、 $y = {(x + 1)}^{2} + 4$

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15、在紫憩水吧，小深通过将固体糖溶入水调配了四杯糖水：甲、乙、丙、丁．然后，将四杯糖水关键信息绘制如图： $x$ 轴为糖水质量， $y$ 轴为含糖浓度（固体糖质量与糖水质量之比）．乙、丁两点恰好在同一反比例函数图象上．则含固体糖质量最多的是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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16、如图所示，在小孔成像问题中，若点 $O$ 到 $A B$ 的距离是 $21 cm$ ， $O$ 到 $C D$ 的距离是 $7 cm$ ，则物体 $A B$ 的长是像 $C D$ 长的（）

A、2倍 B、3倍 C、 $\frac{1}{2}$ 倍 D、 $\frac{1}{3}$ 倍

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17、在 $4 \times 6$ 的小正方形组成的网格中， $△ A B C$ 的顶点都在网格点上，则 $tan A$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{3}$

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18、发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头企业．如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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19、劳动课已正式成为中小学的一门独立课程，合肥市某中学提前尝试建立劳动教育实践基地，将劳动教育纳入日常教育教学中．某日，学校从七、八年级班级管理的花圃中，分别随机抽取了20个花圃对管理情况进行了评分（满分100分，数据分组为A组， $90 < x \leq 100$ ， B组： $80 < x \leq 90$ ， C组： $70 < x \leq 80$ ， D组： $x \leq 70$ ， x表示评分的分数），现将评分情况绘制成了不完整的统计图：

(1)、补全图1中的条形统计图，图2中C组所对应的圆心角为______；

(2)、若八年级B组得分情况为89，88，87，87，86，85．
①八年级B组得分的方差为______；
②八年级20个花圃得分的中位数为______分．

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20、规定：如果三角形的两个内角α，β满足α+2β=90°，那么称这个三角形为“2倍准直角三角形”。

(1)、若△ABC的两个内角∠A=20°， ∠B=50°，判断 $△ A B C$ 是否为“2倍准直角三角形”，并说明理由；

(2)、如图1，在△ABC中， ∠C=90°，点D在 BC上，连接AD。当 $△ A C D △ B C A$ 时，求证：△ABD是“2倍准直角三角形”；

(3)、如图2，以△ABC 的边AC为直径作⊙O，点B， D 均在直线 AC 的左侧，点D在⊙O 上， ∠ACB>90°，且∠BCD=∠COD， AB=15， AD=9，当 $△ A B C$ 是“2倍准直角三角形”时，求⊙O的直径。

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点 $A$ 与点 $O$ 的距离 $l / m$	1	1.5	2	2.5	3
拉力的大小 $F / N$	300	200	150	120	100