相关试卷

1、对于二次函数 $y = x^{2} - 2 x + 3$ 的图象，下列说法正确的是（）

A、开口向下 B、对称轴是直线 $x = - 1$ C、当 $x < 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小 D、函数的最大值为4

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2、一元二次方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的两根为 $- 1$ 和3，则 $n$ 的值是（）

A、－3 B、3 C、－2 D、2

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3、抛物线 $y = 2 x^{2} + 4 x - 1$ 的顶点坐标是（）

A、 $(1, - 3)$ B、 $(- 1, - 3)$ C、 $(2, - 3)$ D、 $(- 2, - 3)$

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4、（1）呈现问题
如图①，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， D、E分别在 $B C$ 、 $A C$ 上，若 $C D = C E$ ，则 $△ C E D$ 和 $△ C A B$ 是顶角相等的等腰三角形，连接 $A D$ 、 $B E$ ，则 $∠ A D B$ 、 $∠ C$ 、 $∠ C A D$ 之间的数量关系是________； $A E$ 与 $B D$ 的数量关系是________；
（2）类比探究
如图②， $△ A C B$ 和 $△ E C D$ 均为等边三角形，点A、E、D在同一直线上，连接 $B D$ ．求出 $∠ A D B$ 的度数及 $A E$ 与 $B D$ 的数量关系；
（3）拓展延伸
如图③， $△ A C B$ 和 $△ E C D$ 均为等腰直角三角形， $∠ A C B = ∠ E C D = 90 °$ ，点A、E、D在同一直线上， $C F$ 为 $△ D C E$ 中 $D E$ 边上的高，连接 $B D$ ．直接写出 $∠ A D B$ 的度数及线段 $C F$ 、 $A D$ 、 $B D$ 之间的数量关系；
（4）解决问题
在（3）的条件下，若 $B D = 6$ ， $C F = 5$ ，直接写出四边形 $A B D C$ 的面积．

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5、【教材呈现】
教材P49-复习题13题：已知 $a - b = 1$ ， $a^{2} + b^{2} = 25$ ，求 $a b$ 的值．
【例题讲解】
小亮探究出解题方法如下：
已知 $a - b = 1$ ， $a^{2} + b^{2} = 25$ ，求 $a b$ 的值．
$∵ {(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
$∴ 2 a b = a^{2} + b^{2} - {(a - b)}^{2}$
$∵ a - b = 1$ ， $a^{2} + b^{2} = 25$ ，
$∴ 2 a b = 25 - 1^{2} = 24$
$∴ a b = 12$
【方法运用】
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）小亮发现，借助原题的条件还可以求出 ${(a + b)}^{2}$ 的值，请你帮助小亮完成解答过程；
（2）若 $x + y = 1$ ， $x y = - \frac{3}{4}$ ．则 $x^{2} + y^{2} =$ ________， ${(x - y)}^{2} =$ ________；
【拓展提升】
（3）如图，点C是线段 $A B$ 上的一点，以 $A C$ 、 $B C$ 为边向两边作正方形，已知 $A B = 6$ ，两正方形的面积和 $S_{1} + S_{2} = 18$ ，直接写出图中阴影部分的面积S．

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6、（1）试说明代数式 $(s - 2 t) (s + 2 t + 1) + 4 t (t + \frac{1}{2})$ 的值与s、t的取值有无关系；
（2）已知多项式 $a x - b$ 与 $- x + 2$ 的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为 $- 4$ ，试求 $a^{b}$ 的值．

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7、如图，某中学校园内有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，学校计划在中间留一块边长为（a+b）米的正方形地块修建一座雕像，然后将阴影部分进行绿化．
（1）求绿化的面积．（用含a、b的代数式表示）
（2）当a＝2，b＝4时，求绿化的面积．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = C B$ ， F为 $A B$ 延长线上一点，点 $E$ 在 $B C$ 上，且 $B E = B F$ ．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ C B F$ ；

(2)、若 $∠ C A E = 32 °$ ，求 $∠ A C F$ 的度数．

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9、如图，在 $△ A B C$ 与 $△ C D E$ 中，点C在线段 $B D$ 上，且 $A B ⊥ B D$ ， $D E ⊥ B D$ ， $A C = C E$ ， $B C = D E$ ．求证： $A B = C D$ ．

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10、化简： $(a - 2) (3 a - 1) + {(2 a)}^{2} \div a$ ．

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11、计算： $a \cdot a^{5} + {(2 a^{3})}^{2} + {(- 2 a^{2})}^{3}$ ．

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12、小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上的等式 $■ \times 2 a b = 4 a b + 2 a b^{3}$ 处，阴影部分即为被墨汁遮住的部分，那么被墨汁遮住的代数式是．

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13、如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A = 54 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，则 $∠ A B D =$ $°$ ．

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14、如图，AD=BC，要得到△ABD和△CDB全等，可以添加的条件是．

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15、如图，在 $△ A B C$ 中，按下列步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线 $M N$ 交 $A B$ 于点D，连接 $C D$ ．若 $A B = 10$ ， $A C = 3$ ，则 $△ A C D$ 的周长为（）

A、7 B、9 C、11 D、13

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16、如图， $△ A C M$ 与 $△ C B N$ 都是等边三角形， $A C > B C$ ，若 $△ A C M$ 不动，将 $△ C B N$ 绕点C旋转，则在旋转过程中， $A N$ 与 $B M$ 的大小关系是（）

A、 $A N = B M$ B、 $A N > B M$ C、 $A N < B M$ D、无法确定

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17、如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B间的距离，作线段 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O，使 $A C = B D$ ， $A O = D O$ ，只要测得C、D之间的距离，就可知道A、B间的距离，此方案依据的数学定理或基本事实是（）

A、 $SSS$ B、 $SAS$ C、 $ASA$ D、 $AAS$

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D 、 C E$ 分别平分 $∠ B A C$ 和 $∠ A C B$ ，且相交于点O，若 $∠ A O C = 125 °$ ，则 $∠ B$ 的度数是（）

A、 $50 °$ B、 $60 °$ C、 $70 °$ D、 $80 °$

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19、（1）【问题解决】
①如图①，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = \frac{1}{3} x + 1$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，以 $A B$ 为腰在第二象限作等腰直角 $△ A B C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点A，B的坐标分别为A__________，B__________．
②求①中点C的坐标．
小明同学为了解决这个问题，提出了以下想法：过点C向x轴作垂线交x轴于点D．请借助小明的思路，求出点C的坐标；
（2）【类比探究】
数学老师表扬了小明同学的方法，然后提出了一个新的问题，如图②，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点A坐标 $(0, - 7)$ ，点B坐标 $(8, 0)$ ，过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是一次函数 $y = - 2 x + 2$ 图象上一动点，若 $△ A P D$ 是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D与点P的坐标：______．

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20、我们知道平方运算和开方运算是互逆运算 $a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = {(a \pm b)}^{2}$ ，那么 $\sqrt{a^{2} \pm 2 a b + b^{2}} = |a \pm b|$ ．那么如何将双重二次根式 $\sqrt{a \pm 2 \sqrt{b}} (a > 0, b > 0, a \pm 2 \sqrt{b} > 0)$ 化简呢？如能找到两个数 $m ， n (m > 0 ， n > 0)$ ，使得 ${(\sqrt{m})}^{2} + {(\sqrt{n})}^{2} = a$ ，即 $m ＋ n = a$ ，且使 $\sqrt{m} \cdot \sqrt{n} = \sqrt{b}$ ，即 $m \cdot n = b$ ，那么 $\sqrt{a \pm 2 \sqrt{b}} = |\sqrt{m} \pm \sqrt{n}|$ ，双重二次根式得以化简；
例如化简： $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ ；
∵ $3 = 1 + 2$ 且 $2 = 1 \times 2$ ，
∴ $3 + 2 \sqrt{2} = {(\sqrt{1})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2} + 2 \sqrt{1} \times \sqrt{2}$ ，
∴ $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2}$ ．
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成 $\sqrt{a \pm 2 \sqrt{b}}$ 的形式，且能找到 $m ， n (m > 0 ， n > 0)$ 使得 $m ＋ n = a$ ，且 $m \cdot n = b$ ，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请通过阅读上述材料，完成下列问题：

(1)、填空： $\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} =$ __________； $\sqrt{12 + 2 \sqrt{35}} =$ __________；

(2)、化简：① $\sqrt{9 + 6 \sqrt{2}}$ ；② $\sqrt{16 - 4 \sqrt{15}}$ ．

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