相关试卷

1、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $4$ ， $P$ 是正方形 $A B C D$ 内一动点，连接 $P A$ ， $P B$ ．

(1)、如图1，连接 $P C$ ，若 $B C = P B$ ， $∠ C B P = 30 °$ ，
① $∠ A P C$ 的度数为______；
②如图2，射线 $A P$ 与 $∠ P B C$ 的平分线 $B E$ 相交于 $E$ ，求 $P E$ 的长；

(2)、如图3， $F$ 为 $C D$ 上一点， $C F = 1$ ，连接 $B F$ ， $P F$ ， $P D$ ．若 $2 P A^{2} + P D^{2} = P B^{2}$ ，求 $△ B P F$ 面积的最小值．

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2、中国瓷器是世界最早且最精美的陶瓷品类之一，亦是中华传统文化的重要标志．某数学兴趣小组以“玩转数学”活动为契机，开展跨学科项目式学习，特制定以下探究方案．

	【设计方案求倾斜状态下杯里水面的宽度及最大深度】
问题情境	图1是一个竖直放置在水平桌面上的瓷杯，图2是其截面图，瓷杯高度 $G F = 11 cm$ ，杯口宽 $C D = 10 cm$ ， $C D ∥ M N$ ，杯体 $D E C$ 近似看成抛物线状（杯体厚度不计），当杯中盛满水时的最大深度 $G E = 10 cm$ ．
任务一	如图2，以杯底 $A B$ 的中点F为原点O，以 $M N$ 所在直线为x轴， $A B$ 的中垂线 $F G$ 为y轴，建立平面直角坐标系．求杯体 $D E C$ 的抛物线解析式．
任务二	如图3，把瓷杯绕点B缓缓倾斜，倒出杯中的部分水，当水面CH与杯口的夹角为45°时停止倾斜（水面CH与y轴相交于点S，与杯体相交于点H）． ①求此时杯里水面的宽度CH； ②求此时杯里水的最大深度．

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3、如图，已知点 $A$ 是函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 图象上一点，连接 $O A$ 延长至点 $B$ ，使 $A B = O A$ ，过点 $B$ 作 $B C ∥ x$ 轴交函数图象于点 $C$ ，连接 $O C$ ，点 $A$ 的横坐标为4．

(1)、请写出：点 $A$ 坐标为，点 $B$ 坐标为，点 $C$ 的坐标为；

(2)、观察函数图象，请直接写出当 $x > 4$ 时， $y$ 的取值范围；

(3)、连接 $A C$ ，求 $△ A O C$ 面积．

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4、如图1， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 的一条弦， $A B ⊥ C D$ 于H，连接 $A C, O D$ ．

(1)、求证： $∠ B O D = 2 ∠ A$ ；

(2)、如图2，连接 $C B$ ，延长 $A B$ 至点F，使得 $∠ B C F = ∠ B C D$ ，求证： $C F$ 为 $⊙ O$ 的切线．

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5、在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x + a$ ．

(1)、若抛物线过点 $A (1, - 3)$ ，求该抛物线的解析式；

(2)、若抛物线的顶点到x轴的距离为2个单位长度，求a的值．

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6、为更好优化交通与城市治理，某街道推进停车场建设，计划新建一个矩形停车场，布局如图所示．已知停车场外围的长为20米，宽为16米，阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的车道，若喷漆面积为221平方米．

(1)、设车道的宽度是x米，则停车位的横向长度 $A B$ 长是米（用含x的代数式表示）；

(2)、求车道的宽．

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7、电影《哪吒之魔童闹海》截至2025年3月10日，票房突破148.87亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：A哪吒，B敖丙，C太乙真人，D申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片．求下列事件发生的概率：

(1)、第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率为_________；

(2)、用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率．

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8、如图，在平面直角坐标系中，已知 $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (5, 4)$ ， $B (0, 3)$ ， $C (2, 1)$ ．画出将 $△ A B C$ 绕点B按顺时针方向旋转 $90 °$ 所得到的 $△ A_{1} B C_{1}$ ．

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9、如图， $⊙ O$ 的半径为2，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，圆心O到 $A C$ 的距离 $O H$ 等于 $\sqrt{3}$ ．下列说法中：① $A C$ 的长为2；② $∠ A D C = 120 °$ ；③ 若劣弧 $\overset{⌢}{A C}$ 被点D分为两部分， $\overset{⌢}{A D} : \overset{⌢}{C D} = 1 : 2$ ，则 $∠ A B D = 10 °$ ；④若点E是线段 $A C$ 上一动点，连接 $O E$ ，过点C作 $C F ⊥ O E$ 于点F，则 $A F$ 的最小值是 $\sqrt{3} - 1$ ．所有正确结论的序号是．

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10、列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间 $t (h)$ 与行驶的平均速度 $v (km/h)$ 之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在 $2.5 h$ 内到达，则速度至少需要提高到 $km/h$ ．

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11、中国传统折扇展开形状近似扇形，如图一扇子完全打开后，扇骨 $A B = 24 cm$ ，扇形 $B A C$ 的面积是 $192 {πcm}^{2}$ ，则这把扇子外边缘 $\overset{⌢}{B C}$ 的长是 $cm$ ．（结果保留 $π$ ）

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12、已知一元二次方程 $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $x_{1} ， x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ．

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13、抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，对称轴为直线 $x = - 2$ ．下列说法：① $a b c > 0$ ；② $4 a - 2 b \geq a t^{2} + b t$ （t为实数）；③ $c > 3 a$ ；④若 $A (m, y_{1})$ 和 $B (m + 1, y_{2})$ 为图象上两点，且 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $m < - \frac{5}{2}$ ．其中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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14、已知一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ ， k从2， $- 2$ 中随机取一个值，b从1， $- 1$ ， $- 2$ 中随机取一个值，则该一次函数的图象经过第一、三、四象限的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{5}{6}$

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15、自行车的示意图如图所示，其中 $A B ∥ C D$ ， $∠ D A B = 110 °$ ， $∠ A B C = 130 °$ ，两车轮的半径均为 $30cm$ ，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么在前后轮的单面（阴影部分）安装铁皮，需要的面积约（）

A、 $300 {πcm}^{2}$ B、 $500 {πcm}^{2}$ C、 $900 {πcm}^{2}$ D、 $1200 {πcm}^{2}$

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16、已知点 $A (- 3, y_{1})$ ， $B (- 2, y_{2})$ ， $C (2, y_{3})$ 都在反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 图象上，则（）

A、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ B、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ C、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ D、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$

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17、如图，把 $△ O A B$ 绕点O逆时针旋转一定角度，得到 $△ O C D$ ，则下列结论不一定正确的是（）

A、 $O D = O B$ B、 $A B = O C$ C、 $∠ A = ∠ C$ D、 $∠ A O C = ∠ B O D$

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18、下列方程是关于x的一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} + \frac{1}{x} = 1$ B、 $\frac{1}{3} x - 8 = 0$ C、 $2 x - 5 y = 0$ D、 $x^{2} + x - 1 = 0$

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19、如图1，正方形 $A B C D$ 的边长为4，以B为圆心的 $⊙ B$ 与 $B C$ ， $B A$ 分别交于点E，F，连接 $E F$ ， $E F = 4$ ．

(1)、求 $B E$ 的长；

(2)、连接 $D E ， D F$ ，把 $△ B E F$ 绕点B顺时针旋转 $360 °$ ，在旋转的过程中．
①求 $∠ C D E$ 的取值范围；
②如图2，取 $D E$ 的中点G，连接 $C G$ 并延长交直线 $D F$ 于点H，点P为正方形内一动点，求 $P H + \sqrt{2} P A + P B$ 的最小值．

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20、在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ ， $B (4, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $P$ 是抛物线上的一个动点．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、若点P在第一象限，当 $△ P B C$ 的面积最大时，求点P的坐标；

(3)、过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $B C$ 于点 $M$ ，连接 $P C$ ，将 $△ P C M$ 沿直线 $P C$ 翻折，当点 $M$ 的对应点 $M^{'}$ 恰好落在 $y$ 轴上时，请直接写出此时点 $M$ 的坐标．

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