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1、下列选项中，左、右两边的图案是通过平移得到的是（）

A、 B、 C、 D、

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2、实数 $- 2023.2023$ ， $\sqrt{7}$ ， 0， $\sqrt[3]{64}$ ， $- π$ ， $\frac{4}{11}$ 中，无理数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3、如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 和点 $E$ 分别为边 $A B$ 、边 $B C$ 上一点，连接 $D E$ ，以 $D E$ 为直角边，在右侧构造 $Rt △ D E F$ ， $∠ D E F = 90 °$ ，连接 $B F$ ，使得 $∠ C A B = ∠ E D F$ ．

(1)、如图2，若点 $E$ 与点 $C$ 重合，
①当 $\tan ∠ C A B = 1$ 时，线段 $B F$ 与 $A D$ 的数量关系是________，位置关系是________；
②当 $\tan ∠ C A B = n (n \neq 1)$ 时，猜想 $B D$ 、 $B C$ 、 $B F$ 之间的数量关系（用 $n$ 表示），并证明猜想．

(2)、若点 $E$ 为 $B C$ 中点，点 $D$ 为边 $A B$ 上的动点， $A C = 6$ ， $\tan ∠ C A B = \frac{4}{3}$ ，如果 $△ B E F$ 为等腰三角形，求 $A D$ 的长．

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4、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + 2 a x - 3 a (a > 0)$ 与 $x$ 轴交于A， $B$ 两点（点A在点 $B$ 的左侧）其顶点为 $C$ ， $D$ 是抛物线第四象限上一点．

(1)、求点A， $B$ 的坐标；

(2)、如图2当 $a = 1$ 时，若 $\tan ∠ C A D = \frac{1}{2}$ ，求点 $D$ 的坐标；

(3)、在（2）的条件下，如图3，过点A的直线 $l$ 与 $y$ 轴正半轴交于点 $G$ ，与抛物线交于点 $E$ ，将直接 $l$ 绕点A顺时针旋转使其与 $y$ 轴负半轴交于点 $H$ ，与抛物线交于点 $F$ ，若 $O G \cdot O H = 9$ ，试判断直线 $E F$ 是否经过定点．若是，请求出该点坐标；若不是，请说明理由．

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5、如图，已知 $△ A B C$ 为等边三角形，边长为 $2$ ， $D$ ， $E$ 分别为边 $A C$ ， $B C$ 上的动点，且满足 $A D = C E$ ，连接 $B D$ ， $D E$ ，则 $\frac{D E}{B D}$ 的最小值为．

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6、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = \frac{1}{2} x + b$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A (- 2, 0)$ ，与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 交于点 $B (2, m)$ ．

(1)、求 $B$ 点坐标及反比例函数的表达式；

(2)、连接 $B O$ ，在反比例函数上取一点 $P$ ，满足 $\frac{S_{△ A O B}}{S_{△ B O P}} = \frac{2}{3}$ 求点 $P$ 的坐标；

(3)、直线 $A B$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，在（2）的条件下，当点 $P$ 在 $B$ 点的右侧时，平面内是否存在点 $Q$ ，使得 $△ C O B ∽ △ Q P B$ ，若存在，请求出 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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7、如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，点 $D$ 在 $C B$ 的延长线上，连接 $A D$ ，作 $O E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，交 $A D$ 于点 $F$ ，且 $∠ C + ∠ A F O = 90 °$ ，连接 $B F$ ．

(1)、求证： $A D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、 $\sin C = \frac{5}{7}$ ， $A B = 4 \sqrt{2}$ ，求线段 $B F$ 的长．

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8、为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校举行共青团团史知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．
等级
成绩（ $x$ ）
频数
频率
A
$80 \leq x \leq 100$

$m$
B
$70 \leq x < 80$
20

C
$60 \leq x < 70$
$n$

D
$x < 60$
4

根据图表信息，回答下列问题：

(1)、表中 $m =$ ___， $n =$ ___；

(2)、若全校共有1200名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计该校成绩为A等级的学生人数为___；

(3)、学校拟在成绩为100分的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽取两名学生参加市级比赛，请用树状图或列表法表示所有可能的结果，并求甲、乙两名学生中至少有1人被选中的概率．

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C = 3$ ， $A C = 2$ ，点 $D$ 是 $A C$ 的中点，连接 $B D$ ， $P$ ， $Q$ 分别是 $B D$ ， $B C$ 上的动点，连接 $P C$ ， $P Q$ ，则 $P C + P Q$ 的最小值为．

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10、如图，已知平行四边形 $A O B C$ 的顶点 $O (0, 0)$ ， $A (- 2, 3)$ ，点B在x轴正半轴上，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边 $O A 、 O B$ 于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ A O B$ 内交于点F；③作射线 $O F$ ，交边 $A C$ 于点G，则点G的坐标为（）

A、 $(\sqrt{13} - 2, 3)$ B、 $(\sqrt{13} - 3, 3)$ C、 $(4 - \sqrt{13}, 3)$ D、 $(5 - \sqrt{13}, 3)$

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11、如图，是某射箭运动员射箭瞬间的示意图．已知 $A B ∥ C D, A F ∥ D E$ ， $∠ 1 = 90 °$ ， $∠ 2 = 110 °$ ， $∠ C = 135 °$ ，则 $∠ C B E$ 的度数是（）

A、 $60 °$ B、 $65 °$ C、 $70 °$ D、 $75 °$

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12、下列运算正确的是（）

A、 $x^{2} + x^{3} = 2 x^{5}$ B、 ${(- x^{3})}^{2} = x^{5}$ C、 ${(2 x)}^{2} \cdot 3 x = 6 x^{3}$ D、 $x^{4} \div x = x^{3}$

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13、如图是一个正方体的展开图，则与“争”字一面相对的字是（　　）

A、开 B、忠 C、先 D、勇

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14、已知， $A B, C D$ 是 $⊙ O$ 的弦， $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ，且 $\overset{⌢}{B D} = 2 \overset{⌢}{A D}$ ，连接 $B C, A D$ ．

(1)、如图1，若 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，求 $∠ C$ 的度数．

(2)、如图2，求证：① $C D = C B$ ， ② $A E + A D = B E ．$

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15、在平面直角坐标系中，函数 $y = x^{2} - (k + 2) x + k$ （ $k$ 为常数）图象的顶点坐标是 $(h, m)$ ．

(1)、判断点 $(1, - 1)$ 是否在该函数的图象上，并说明理由．

(2)、求证： $h + m \leq \frac{1}{4}$ ．

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16、如图1，在正方形 $A B C D$ 中，过对角线交点 $O$ 的两条互相垂直的直线，交该正方形各边于点 $E, F, G, H$ ．求证： $A E = B G, E F$ 与 $G H$ 把该正方形分成面积相等的四部分．
小滨、小江在完成上述解答后，进一步思考，若将图形一般化，是否也会有类似结论？两位同学进行了如下探究．

(1)、如图2，在矩形 $A B C D$ 中，过对角线交点 $O$ 的两条直线交该矩形各边于点 $E$ ， $F$ ， $G, H$ ．
小滨：若 $B G : A E = B A : A D$ ．则 $E F$ 与 $G H$ 把该矩形分成面积相等的四部分．
小江：若 $E F ⊥ G H$ ，则 $E F$ 与 $G H$ 把该矩形分成面积相等的四部分．
请判断小滨、
是否正确，并说明理由．

(2)、请仿照小滨、小江同学的探究过程，写出一个类似的真命题：如图3，在 $▱ A B C D$ 中，______．

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17、某市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为 $10^{6}$ 立方米，某运输公司承担了运送土石方的任务．

(1)、设该公司平均每天运送土石方总量为 $y$ 立方米，完成运送任务所需时间为 $t$ 天．
①求 $y$ 关于 $t$ 的函数表达式．
②若 $0 < t \leq 80$ 时，求 $y$ 的取值范围．

(2)、若1辆卡车每天可运送土石方 $10^{2}$ 立方米，工期要求在80天内完成，公司至少要安排多少辆相同型号卡车运输？

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18、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，若 $sin B = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $B C = \sqrt{5}$ ．

(1)、求 $A B$ 的长．

(2)、若 $C D$ 是斜边 $A B$ 上的中线，求 $tan ∠ C D B$ 的值．

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19、为更好地了解居民健身项目，某镇决定对该镇居民进行一次抽样调查．他们将居民日常健身项目分成三类： $A$ 类：田径； $B$ 类：球类； $C$ 类：游泳．现将调查结果绘制成如下统计图，请结合下图所给信息，回答下列问题：

(1)、本次抽样的样本容量是______．

(2)、补全条形统计图．

(3)、若该镇居民大约有 $43000$ 人，请估计该镇参加 $B$ 类项目的人数．

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20、解方程：

(1)、 $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ ．

(2)、 $\frac{x}{x - 1} = \frac{3}{2 x - 2} - 1$ ．

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等级	成绩（ $x$ ）	频数	频率
A	$80 \leq x \leq 100$		$m$
B	$70 \leq x < 80$	20
C	$60 \leq x < 70$	$n$
D	$x < 60$	4