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1、四边形 $A B C D$ 是矩形，点P为矩形所在平面内任意一点，连接 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 、 $P D$ ．

(1)、如图1，当点 $P$ 是矩形 $A B C D$ 的 $B C$ 边的中点，此时，易知 $P A^{2} + P C^{2} = P B^{2} + P D^{2}$ ．
①当P为 $B C$ 边上任一位置（如图2）时，这一结论是否还成立？请说明理由．
②如图3，P是矩形 $A B C D$ 内的一点，连接 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 、 $P D$ ．若 $P A = 3$ ， $P B = 4$ ， $P C = 5$ ，求 $P D$ 的值．

(2)、若将矩形 $A B C D$ 放在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点B的坐标为 $(1, 1)$ ，点D的坐标为 $(5, 3)$ ，如图4所示，设 $△ P B C$ 的面积为 $y$ ， $△ P A D$ 的面积为 $x$ ，求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式．

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2、如图，点 $P$ 为 $∠ A O B$ 外部一点，请使用尺规作图完成下面作图任务．

(1)、求作边 $O B$ 上一点 $M$ 使得 $∠ P M O = ∠ A O B$ ．

(2)、如图，小明作得 $∠ P M O = ∠ A O B$ ，若点 $E$ 和点 $F$ 分别在射线 $O A$ 和射线 $M P$ 上，求作菱形 $O E M F$ ；

(3)、如图，若 $∠ P M O = ∠ A O B$ ，若 $∠ A O B = 45 °$ ， $O M$ 的长为5， $O P = \sqrt{13}$ ，求线段 $P M$ 的长．

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3、如图，在平面直角坐标系中，已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (- 1, 3)$ ， $B (- 3, - 2)$ ， $C (1, - 1)$ ，若将 $△ A B C$ 先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，且A、B、C的对应点分别是 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ ．

(1)、画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，直接写出点 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ 的坐标；

(2)、若 $△ A B C$ 的边上有一点 $G (m, n)$ 经过上述平移后的对应点为 $G_{1}$ ，写出点 $G_{1}$ 的坐标；

(3)、求 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积

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4、解一元二次方程 $x^{2} - 2 x = 3$ 时，两位同学的解法如下：
甲同学：
$x^{2} - 2 x = 3$
$x (x - 2) = 3$
$x = 1$ 或 $x - 2 = 3$
$∴ x_{1} = 1$ 或 $x_{2} = 5$
乙同学：
$a = 1$ ， $b = - 2$ ， $c = 3$
$b^{2} - 4 a c = 4 - 12 = - 8$ ，
$∵ b^{2} - 4 a c < 0$ ，
$∴$ 此方程无实数根．

(1)、你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果．
甲同学的解法__________，乙同学的解法__________．（填“正确”或者“不正确”）

(2)、请选择合适的方法解一元二次方程 $x (x + 3) = 4$ ．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点D为边 $A B$ 的中点，点E在边 $A C$ 上， $A E = B C = 2$ ，将 $△ B C E$ 沿BE折叠至 $△ B C^{'} E$ ，当 $C^{'} E ∥ C D$ 时，则 $B E =$ ．

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6、已知关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l} x - a \geq 0 \\ 7 - 3 (x - 1) > 4 \end{array}$ 有解，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a > - 2$ B、 $a \geq - 2$ C、 $a < 2$ D、 $a \leq 2$

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7、如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知 $A B ∥ C D ∥ E F$ ， $A C = 50 cm$ ， $C E = 30 cm$ ， $B D = 45 cm$ ，则 $D F$ 的长为（）

A、 $27 cm$ B、 $50 cm$ C、 $72 cm$ D、 $80 cm$

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8、已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积是（）

A、20 $c m^{2}$ B、24 $c m^{2}$ C、48 $c m^{2}$ D、100 $c m^{2}$

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9、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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10、新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程 $x - 1 = 3$ 的解为 $x = 4$ ，而不等式组 $\{\begin{array}{l} x - 1 > 1 \\ x - 2 < 3 \end{array}$ 的解集为 $2 < x < 5$ ，不难发现 $x = 4$ 在 $2 < x < 5$ 的范围内，所以方程 $x - 1 = 3$ 是不等式组 $\{\begin{array}{l} x - 1 > 1 \\ x - 2 < 3 \end{array}$ 的“相依方程”．

(1)、在方程① $9 x - 3 = 0$ ；② $6 (x + 2) - (x + 4) = 23$ ；③ $2 x - 3 = 0$ 中，不等式组 $\{\begin{array}{l} 2 x - 1 > x + 1 \\ 3 (x - 2) - x \leq 4 \end{array}$ 的“相依方程”是；（填序号）

(2)、若关于x的方程 $3 x - k = 6$ 是不等式组 $\{\begin{array}{l} \frac{3 x + 1}{2} > x \\ \frac{x - 1}{2} \geq \frac{2 x + 1}{3} - 1 \end{array}$ 的“相依方程”，求k的取值范围；

(3)、若关于x的方程 $\frac{x}{2} - 2 m = - \frac{5}{2}$ 是关于x的不等式组 $\{\begin{array}{l} \frac{x + 1}{2} > 1 \\ x - m \leq 2 m + 1 \end{array}$ 的“相依方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围．

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11、如图所示，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， E是 $B C$ 上的一点且 $C E = 3$ ，连接 $D E$ ，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿 $A B - B C - C D - D A$ 向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当 $△ A B M$ 和 $△ D C E$ 全等时，求t的值．

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12、鼓励学生加强体育锻炼，学校购买了一些跳绳和毽子，已知购买2个跳绳和5个毽子共需32元，购买4个跳绳和3个毽子共需36元．

(1)、购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元．

(2)、学校需要购买的跳绳和毽子数量共54个，且购买总费用不能超过260元，若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳方案．

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13、（1）如图（1）， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $C E$ 是 $△ A C D$ 的中线， $D F$ 是 $△ D E C$ 的中线，若 $S_{△ D E F} = 2 ，$ 则 $S_{△ A B C}$ 等于；
（2）如图（2），在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $△ A B C$ 的高线， $A E$ 是 $△ A B C$ 的角平分线．已知 $∠ B A C = 80 °, ∠ C = 40 °$ ，求 $∠ D A E$ 的大小．

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14、解不等式组，并求出满足不等式组的全部整数解

(1)、 $- 5 < x - 4 \leq 5 - 2 x$

(2)、 $\{\begin{cases} 3 (x - 2) > x - 9 \\ \frac{2 + x}{2} > \frac{2 x - 1}{3} + 1 \end{cases}$

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15、解不等式

(1)、 $2 x - 1 > 4$

(2)、 $\frac{x + 1}{4} - \frac{2 x - 1}{6} \leq 1$

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16、已知关于x的不等式组 $\{\begin{cases} x - \frac{3 x - 5}{2} < 2 \\ 2 x - a \leq - 1 \end{cases}$ 下列四个结论：①若它的解集是 $1 < x \leq 3$ ，则 $a = 7$ ； ②当 $a = 3$ ，不等式组有解； ③若不等式组有解，则 $a > 3$ ；④若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是 $9 < a \leq 11$ ；其中正确的结论是（填写序号即可）

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17、如图a是长方形纸带，∠DEF=24°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是.

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18、已知三角形的三边长为3，5， $a + 1$ ，则化简 $|a - 1| + |a - 9|$ 的结果为．

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19、设实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足条件 $c < 0 < b < a$ ，且 $a + b + c = 1$ ．设 $M = \frac{b + c}{a}$ ， $N = \frac{a + c}{b}$ ， $P = \frac{a + b}{c}$ ，则 $M$ ， $N$ ， $P$ 之间的大小关系是（　　）

A、 $M > N > P$ B、 $P > M > N$ C、 $N > P > M$ D、 $N > M > P$

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20、若关于x、y的二元一次方程组 $\{\begin{cases} 3 x - y = - 1 - a \\ x - 3 y = 3 \end{cases}$ 的解满足 $x - y > - 2$ ，则a的取值范围是（）

A、 $a < 4$ B、 $0 < a < 4$ C、 $0 < a < 10$ D、 $a < 10$

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