相关试卷

1、小芳在解决问题：已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}},$ 求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值.她是这样分析与解的：
$a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}, ∴ a = 2 - \sqrt{3},$
$∴ {(a - 2)}^{2} = 3, a^{2} - 4 a + 4 = 3, ∴ a^{2} - 4 a = - 1,$
$∴ 2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1 .$
请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：

(1)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2026} + \sqrt{2025}} .$

(2)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} .$
①求 $5 a^{2} - 10 a + 2$ 的值；
②求 $3 a^{3} - 12 a^{2} + 9 a - 10$ 的值.

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2、如果关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“二倍根方程”.例如，一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 的两个根是1和2，则这个方程就是“二倍根方程”.

(1)、若一元二次方程 $x^{2} - 9 x + c = 0$ 是“二倍根方程”，则c=.

(2)、若(x-2)(ax-b)=0(a≠0)是“二倍根方程”，求 $\frac{a b}{a^{2} + b^{2}}$ 的值.

(3)、若方程 $x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 是“二倍根方程”，求b与c之间的关系.

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3、求代数式 $a + \sqrt{{(1 - a)}^{2}}, a = 1007,$ 如图是小亮和小芳的解答过程：

(1)、的解法是正确的；

(2)、化简代数式 $a + \sqrt{a^{2} - 6 a + 9},$ (其中a<0)；

(3)、若 $\sqrt{{(a - 5)}^{2}} + \sqrt{{(a + 8)}^{2}} = 13,$ 直接写出a的取值范围.

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4、如图，扶梯AB的坡比为4：3，滑梯CD的坡比为1：2，设AE=6m，BC=9m，一男孩从扶梯底走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，共经过了多少路程?

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5、解方程：

(1)、 $x^{2} + 6 x - 7 = 0;$

(2)、 ${(x - 3)}^{2} = (x - 3) .$

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6、计算：

(1)、 $\sqrt{8} + \sqrt{12} - 2 \sqrt{2};$

(2)、 $(1 - \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5}) + {(\sqrt{5} - 1)}^{2} .$

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7、将一元二次方程(x-1)(2x+3)=1化为一般形式为.

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8、已知关于x的方程a(x-1)(x-m)=0与 $a {(x - n)}^{2} = b$ 有相同的解，则m与n之间的等量关系为( )

A、m+n=1 B、m-n=1 C、m+2n=-1 D、m-2n=-1

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9、如果关于x的一元二次方程 $k^{2} x^{2} - (2 k + 1) x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是( )

A、 $k > - \frac{1}{4}$ B、 $k > - \frac{1}{4}$ 且k≠0 C、 $k < - \frac{1}{4}$ D、 $k \geq - \frac{1}{4}$ 且k≠0

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10、已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + a x + a = 0$ 的一个根是3，则a的值是( )

A、 $\frac{9}{4}$ B、2 C、 $- \frac{9}{4}$ D、 $- \frac{9}{2}$

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11、估计 $\sqrt{3} \times (\sqrt{3} + 1)$ 的值应在( )

A、3和4之间 B、4和5之间 C、5和6之间 D、6和7之间

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12、若 $\sqrt{x + 2}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )

A、x<-2 B、x>-2 C、x≤-2 D、x≥-2

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13、已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点 M在AB、CD之间，连接ME、MF， ∠EMF=α.

(1)、如图1，若α=80°，直接写出∠BEM+∠DFM的度数；

(2)、如图 2，点N是AB上方一点，连接NE、NF， NF与ME交于点G， $∠ M E B = \frac{1}{3} ∠ M E N, ∠ M F N = \frac{1}{3} ∠ D F N, ∠ D F M = 2 0^{\circ},$ 求∠ENF的度数；(结果可用含α的式子表示)

(3)、如图3，点N是AB下方一点，连接NE、NF，若MF的延长线FP是∠CFN的三等分线， EN平分∠AEM交FP于点G， 2∠ENF+∠EMF=110°，求∠CFN的度数.

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14、如图∠α和∠β的度数满足方程组 ${\begin{matrix} 2 ∠ α + ∠ β = 22 0^{\circ} \\ ∠ β - ∠ α = 10 0^{\circ} \end{matrix},$ 且CD∥EF， AC⊥AE.

(1)、求∠α与∠β的度数；

(2)、判断AB与CD的位置关系，并说明理由；

(3)、求∠C 的度数.

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15、如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，三角形ABC 的顶点、点A₁都在正方形网格的格点上.

(1)、平移三角形ABC，使点A与A₁重合，画出平移后得到的三角形 $A_{1} B_{1} C_{1};$

(2)、连接AA₁、CC₁ ，则线段AA₁与CC₁的关系是；

(3)、四边形 AA₁C₁C 的面积是.

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16、甲、乙两人同解方程组 ${\begin{matrix} a x - 4 y = - 6 ① \\ 5 x = b y + 10 ② \end{matrix}$ 时，甲看错了方程①中的a，解得 ${\begin{matrix} x = 3 \\ y = 1, \end{matrix}$ 乙看错②中的b，解得 ${\begin{matrix} x = - 1 \\ y = 2 . \end{matrix}$

(1)、求正确的a， b的值；

(2)、求原方程组的正确解.

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17、如图， ∠1+∠2=180°， CE∥BG.

(1)、求证： AB∥CD；

(2)、求证： ∠3=∠B.

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18、如图，已知 AB∥CD， ∠ACD=60°，∠BAE：∠CAE=2：3，∠FCD=4∠FCE，若∠AEC=78°，则∠AFC=.

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19、已知： $|x + 2 y + 5| + {(x - 2 y - 2)}^{2} = 0,$ 则 $x^{2} - 4 y^{2} =$ .

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20、如果 $(a - 2) x^{∣ a ∣ - 1} - 3 y = 2$ 是关于x，y的二元一次方程，则a的值为.

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