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1、如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C, B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 是 $O D$ 的中点，连接 $C E$ ．

(1)、尺规作图：作 $B O$ 的中点 $F$ ；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、连接 $A F$ ，证明： $A F = C E$ ．

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2、计算：

(1)、 $\frac{1}{4} \times {(- 2)}^{2} + {(- 1)}^{2025}$ ；

(2)、 $2 \sqrt{3} + (2 - \sqrt{3}) - \sqrt{4}$ ．

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3、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 是斜边 $A B$ 上的中线，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 交 $A C$ 于点 $E$ ．若 $B C = 4$ ， $△ A E D$ 的面积为5，则 $\cos ∠ C D E$ 的值为．

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4、把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，则图1中菱形的面积是．

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5、若 $a > b$ ，则 $- 4 a$ $- 4 b$ ．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 80 °$ ，把 $△ A B C$ 沿着 $A D$ 对折，使得点 $C$ 落在 $A B$ 边上的点 $C^{'}$ 处，再把 $△ B D C^{'}$ 沿着 $C^{'} D$ 翻折得到 $△ B^{'} D C^{'}$ ，若 $B^{'} C^{'} ∥ A D$ ，则 $∠ B$ 的度数是（　　）

A、 $60 °$ B、 $45 °$ C、 $40 °$ D、 $30 °$

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7、如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点 $O$ 为圆心的圆的一部分.如果 $M$ 是 $⊙ O$ 中弦 $C D$ 的中点， $E M$ 经过圆心 $O$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，并且 $C D = 4 m ， E M = 6 m$ ．则 $⊙ O$ 的半径为（　　）

A、 $\frac{5}{2} m$ B、3m C、 $\frac{10}{3} m$ D、4m

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8、假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同，如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是（　　）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{5}{8}$

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9、已知一次函数 $y = (k - 2) x + 5$ ，若y的值随x的值的增大而减小，则k的取值范围是（　　）

A、 $k > 2$ B、 $k < 2$ C、 $0 < k < 2$ D、 $k < 0$

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10、分式 $\frac{x y}{x + y}$ 中的 $x$ ， $y$ 的值都扩大到原来的2倍，则分式的值（）

A、扩大到原来的2倍 B、不变 C、缩小到原来的 $\frac{1}{2}$ D、缩小到原来的 $\frac{1}{4}$

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11、下列运算正确的是（　　）

A、 $x + x^{2} = x^{3}$ B、 ${(3 x^{2})}^{3} = 6 x^{6}$ C、 $2 x^{3} \div x^{2} = 2 x$ D、 $2 x y - 3 x y = - 1$

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12、以点O为旋转中心将逆时针旋转作出如图所示的图案，旋转角的度数为（　　）

A、45 B、60 C、90 D、135

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13、我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口4400000000人，这个数用科学记数法表示为（　　）

A、 $44 \times 10^{8}$ B、 $4.4 \times 10^{8}$ C、 $4.4 \times 10^{9}$ D、 $44 \times 10^{9}$

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14、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ （b、c为常数）与x轴交于点 $(- 1, 0)$ 和 $(3, 0)$ ．点P、Q、M均在该抛物线上，横坐标分别为m、 $m + 1$ 、 $m + 3$ ．

(1)、求该抛物线对应的函数关系式；

(2)、在该抛物线上P、Q两点之间的部分任取一点A，在Q、M两点之间的部分任取一点B（点A、B均不与端点重合），若点A的纵坐标总大于点B的纵坐标，则m的取值范围是_____；

(3)、过点P作 $P C$ 垂直于直线 $x = m + 1$ 于点C，过点M作 $M D$ 垂直于直线 $x = m + 1$ 于点D．
①当 $△ P C Q$ 的面积是 $△ Q D M$ 的面积的2倍时，求m的值；
②连接 $P D 、 C M$ ，当此抛物线在四边形 $P D M C$ 内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 4$ ，点 $P$ 从点 $B$ 出发沿线段 $B A$ 以每秒 $2 \sqrt{2}$ 个单位长度的速度向终点 $A$ 运动．当点 $P$ 不与 $A 、 B$ 重合时，过点 $P$ 作 $P D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，将线段 $P D$ 绕点 $P$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $P E$ ，连接 $D E$ ，设点 $P$ 的运动时间为 $t$ （秒）．

(1)、求线段 $P E$ 的长（用含 $t$ 的代数式表示）；

(2)、当点 $E$ 落在线段 $A C$ 上时，求 $t$ 的值；

(3)、设 $△ P D E$ 与 $△ A B C$ 重叠部分图形的面积为 $S$ ，求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式．

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16、综合与实践
探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某数学兴趣小组在数学课外活动中对图形的旋转进行了如下探究：

(1)、【初步探究】如图①，已知 $Rt △ A B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，将 $△ C B A$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $90 °$ 得 $△ C D E$ ，连接 $B E$ 交 $C D$ 于点 $P$ ，交 $C A$ 于点 $Q$ ．求证： $\frac{E P}{P B} = \frac{A B}{B C}$ ；

(2)、【类比探究】如图②，已知正方形 $C B A D$ ，将正方形 $C B A D$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $45 °$ 得正方形 $C G F E$ ，连接 $B E$ 交 $C D$ 于点 $P$ ，直接写出 $\frac{E P}{P B}$ 的值；

(3)、【深入探究】如图③，已知矩形 $C B A D$ 中， $∠ A C B = 30 °$ ，将矩形 $C B A D$ 顺时针旋转得矩形 $C G F E$ ，点 $E$ 在 $A C$ 的延长线上，连接 $B F$ ，试探究线段 $A B$ 与 $B F$ 之间的数量关系，并写出证明过程．

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17、我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，现有四张卡片 $A 、 B 、 C 、 D$ ．它们正面分别印有“杨辉三角”、 “割圆术”、“赵爽弦图”、“洛书”的图案，它们除正面图案不同外，其它完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀．

(1)、从中随机抽取一张，则这张卡片正面恰好是“赵爽弦图”的概率是______________；

(2)、从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方法，求这两张卡片正面恰好是“杨辉三角”和“洛书”的概率．

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18、某工厂生产一批零件，零件总数一定，每天生产的零件数y（个）与生产天数x（天）成反比例关系．已知 $x = 1$ 时， $y = 120$ ．

(1)、求y与x之间的函数关系式；

(2)、若工厂想要在6天内完成这批零件的生产，那么每天至少需要生产多少个零件？

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19、 $2026$ 年城市“绿色通勤”计划落地，某新能源汽车体验中心引入“晨光”和“清风”两款通勤型新能源车，据了解： $4$ 辆“晨光”型汽车与 $3$ 辆“清风”型汽车的进货总成本为 $160$ 万元； $3$ 辆“清风”型汽车的进价比 $4$ 辆“晨光”型汽车少 $40$ 万元．求“晨光”型汽车和“清风”型汽车的进货单价．

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20、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $A D = 2$ ， $A B = 3$ ，以点A为圆心、 $A D$ 长为半径画弧，交 $A B$ 于点E，以点B为圆心、 $B E$ 长为半径画弧，交 $B C$ 于点F，则图中阴影部分的面积为（结果保留根号和 $π$ ）．

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