相关试卷

1、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D$ $∥$ $B C$ ，点 $E$ 为边 $C D$ 上一点， $A E$ ， $B E$ 分别平分 $∠ D A B$ ， $∠ C B A$ ，延长 $A E$ 交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ．

(1)、求证： $△ A B F$ 是等腰三角形；

(2)、若 $A D = 2$ ， $B C = 4$ ，求 $A B$ 的长．

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2、如图，△ $A B C$ 的 $∠ A B C$ 和 $∠ A C B$ 的外角平分线相交于点 $G$ ．

(1)、若 $∠ B A C = 60 °$ ，求 $∠ B G C$ 的度数；

(2)、如图2，连接 $A G$ ，求证： $A G$ 平分 $∠ B A C$ ；

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3、在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， $A D ⊥ B C$ ，垂足为 $G$ ，且 $A D = A B$ ， $E$ ， $F$ 分别是边 $A B$ ， $A C$ 上的点，且 $∠ E D F = 60 °$ ．

(1)、求证： $△ A B D$ 是等边三角形；

(2)、若 $A B = A C = 8$ ， $A E = 6$ ，求 $A F$ 的长．

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4、如图，点 $A, C, D, E$ 在同一条直线上， $F D ⊥ A E$ ， $B C ⊥ A E$ ， $A D = C E$ ， $A B = E F$

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ E F D$ ；

(2)、若 $A E = 11$ ， $C D = 2$ ，求 $A C$ 的长．

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5、如图， $A B = A C$ ， $A B$ 的垂直平分线 $M N$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ，连接 $B D$ ．

(1)、请对题干中的划线部分尺规作图（保留作图痕迹），并标记 $D ， E$ 两点；

(2)、若 $A E = 6$ ， $△ B C D$ 的周长为19，求 $B C$ 的长．

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6、一个多边形的所有内角与它的外角和的和是 $1080 °$

(1)、求该多边形的边数；

(2)、若该多边形为正多边形，求每一个外角的度数．

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7、如图，在第1个 $△ A_{1} B C$ 中， $∠ B = 30 °$ ， $A_{1} B = C B$ ，在边 $A_{1} B$ 上任取一点D，延长 $C A_{1}$ 到 $A_{2}$ ，使 $A_{1} A_{2} = A_{1} D$ ，得到第2个 $△ A_{1} A_{2} D$ ；在边 $A_{2} D$ 上任取一点E，延长 $A_{1} A_{2}$ 到 $A_{3}$ ，使 $A_{2} A_{3} = A_{2} E$ ，得到第3个 $△ A_{2} A_{3} E$ ……按此做法继续下去，则第2025个三角形中，以 $A_{2025}$ 为顶点的底角的度数是．

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8、如图， $A B, C D$ 相交于点O，若 $B E$ 平分 $∠ A B D$ 交 $C D$ 于F， $C E$ 平分 $∠ A C D$ 交 $A B$ 于G， $∠ A = 48 °$ ， $∠ D = 46 °$ ，则 $∠ B E C =$ ．

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9、如图，桐桐从 $A$ 点出发，前进 $3 m$ 到点 $B$ 处后向右转 $20 °$ ，再前进3m到点 $C$ 处后又向右转 $20 °$ ， …，这样一直走下去，她第一次回到出发点 $A$ 时，一共走了

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10、如图， $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ， EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且 $B D = D E$ ．若 $△ A B C$ 周长为 $16 cm$ ， $A C = 6 cm$ ， $A B = 4 cm$ ， $D E =$ cm．

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11、已知一个 $n$ 边形的内角和等于 $1980 °$ ，则从这个多边形的一个顶点出发可以画条对角线．

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12、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， D为 $B C$ 中点，连接 $A D$ ，过点C作 $C E ⊥ A D$ 于点E，交 $A B$ 于点M．过点B作 $B F ⊥ B C$ 交 $C E$ 的延长线于点F，则下列结论正确的有（）个．
① $△ A C D ≌ △ C B F$ ；
② $∠ B D M = ∠ A D C$ ；
③连接 $A F$ ，则有 $△ A C F$ 是等边三角形；
④连接 $D F$ ，则有 $A B$ 垂直平分 $D F$ ．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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13、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $A C$ 、 $A B$ 于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线 $A P$ 交边 $B C$ 于点D，点E在 $A B$ 上．若 $A C = 8 cm$ ， $A B = 10 cm$ ， $B C = 6 cm$ ，当 $D E$ 长度最小时， $△ B D E$ 的周长是（）

A、 $12 cm$ B、 $10 cm$ C、 $9 cm$ D、 $8 cm$

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14、在 $△ A B C$ 中， $∠ A$ ， $∠ B$ 、 $∠ C$ 的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定 $△ A B C$ 是直角三角形的是（）

A、 $∠ A = ∠ C$ B、 $∠ A : ∠ B : ∠ C = 3 : 4 : 5$ C、 $a = 1$ ， $b = 2$ ， $c = 3$ D、 $a^{2} = (b - c) (b + c)$

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15、若 $△ A B C$ 内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为 $△ A B C$ （　　）

A、三条角平分线的交点 B、三条高的交点 C、三条中线的交点 D、以上都不是

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16、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设（）

A、三个内角都不大于60° B、三个内角都大于60° C、三个内角中至多有一个角大于60° D、三个内角中至多有一个角不大于60°

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17、下列定理中，没有逆定理的是（　　）.

A、直角三角形的两锐角互余 B、同位角相等，两直线平行 C、对顶角相等 D、直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方

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18、综合与实践
弧形遮阳棚是一种非常实用的停车设施，既能够增加车棚整体的稳定性，承受更大的外力，又能使空气流通，减少车棚内部的气压，使得车棚内部环境更加舒适．图1是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点 $A$ 为该抛物线的最高点，点A到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点 $B$ 到地面的距离为 $2.36$ 米，且点A和点 $B$ 的水平距离为8米．
数学建模

(1)、在图1中，以地面为 $x$ 轴，以过点 $B$ 垂直于地面的直线为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系．设遮阳棚顶某处离立柱 $O B$ 的水平距离为 $x (米)$ ，该处离地面的高度为 $y (米)$ ，求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；
问题解决

(2)、现有一辆箱式货车需在遮阳棚下躲避暴晒，如图2是货车的截面图，已知货车的车身长约6米，车厢最高点与遮阳棚接触点 $P$ 离地面高约 $2.5$ 米，请通过计算说明这辆货车是否可以完全停进遮阳棚内；

(3)、为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚两端侧面安装钢架．如图3所示，钢架分两段，其中一段连接点 $O$ 与点A，然后在棚顶上某处取点 $C$ ，在钢架 $O A$ 和棚顶之间竖直安装第二段钢架 $C D$ ．当第二段钢架 $C D$ 长度为 $1.89$ 米时，请通过计算说明应将钢架 $C D$ 安装在水平方向距离立柱 $O B$ 多远的位置．

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19、长治潞州六府塔，始建于隋代，塔身为八角形状，青砖砌筑，为密檐式结构塔，每个角内有方石砌筑其间，底层每个角由三垛砖雕斗拱支撑塔檐，转角部位有雕工华拱六挑，犹如木制雕刻结构形式.2010年在原址东侧35米处按原制复建新塔，与旧塔形成东西轴线．某数学兴趣小组利用所学知识开展以“测量潞州六府塔新塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告：

课题	测量潞州六府塔新塔的高度
测量工具	无人机，测角仪，秒表等
测量示意图
测量过程	如图1，测量小组使无人机在点C处竖直上升飞行至点D处，在点D处测得塔顶B的仰角为 $45 °$ ，塔底的俯角为 $32.5 °$ ，然后以 $3.9 m/s$ 的速度竖直上升 $20 s$ 飞行至点E处，测得塔顶B的俯角为 $22 °$ ．
说明	点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，C在同一水平线上， $A B ⊥ A C$ ．
参考数据	$sin 32.5 ° \approx 0.54$ ， $cos 32.5 ° \approx 0.84$ ， $tan 32.5 ° \approx 0.64$ ， $sin 22 ° \approx 0.37$ ， $cos 22 ° \approx 0.93$ ， $tan 22 ° \approx 0.40$ ．

请根据上述报告数据，求潞州六府塔新塔 $A B$ 的高度．（结果精确到1米）

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20、综合与实践：月历中的奥秘
【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？
【初步探究】如图1是2026年1月的月历，在月历中用如图2中所示的“ $Z$ 型框”框住四个数 $a, b, c, d$ ．

(1)、用含 $a$ 的代数式表示 $b =$ __________； $d =$ __________．

(2)、【拓展探究】探究 $a d - b c$ 的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由．

(3)、【迁移运用】是否存在这样的 $Z$ 型框，使得 $a d = 2 b c$ ？若存在，求出这四个数；若不存在，说明理由．

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