相关试卷

1、嘉嘉在学习二次根式的运算时发现有这样一类题目：
${(\sqrt{2} - 1)}^{2} = {(\sqrt{2})}^{2} - 2 \times 1 \times \sqrt{2} + 1^{2} = 2 - 2 \sqrt{2} + 1 = 3 - 2 \sqrt{2},$
反之 $3 - 2 \sqrt{2} = {(\sqrt{2} - 1)}^{2},$
她说如果化简 $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ 可以这样做：
$∵ 3 - 2 \sqrt{2} = {(\sqrt{2} - 1)}^{2},$
$∴ \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1 .$

(1)、仿上例，化简： $\sqrt{6 - 2 \sqrt{5}};$

(2)、计算： $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} + \sqrt{7 - 2 \sqrt{12}} + + \sqrt{19 - 2 \sqrt{90}} .$

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2、丁荷、丁信中学举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数.在初赛中，小荷、小信两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）
小荷组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10.
小信组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10.
组别
平均数
中位数
众数
方差
小荷组
7
a
6
2.6
小信组
b
7
c
S²信

(1)、以上成绩统计分析表中a= ， b= ， c=；

(2)、小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是组的学生；

(3)、从平均数和方差看，若从小荷、小信两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组?并说明理由.

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3、设x₁ ， x₂是方程 $2 x^{2} + 4 x - 3 = 0$ 的两个根，不解方程，求下列各式的值.

(1)、 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1);$

(2)、 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} .$

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4、解方程：

(1)、 $x^{2} + 6 x - 7 = 0;$

(2)、 4x（2x+1）=3（2x+1）.

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5、如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CB⊥AB，垂足E在线段AB上连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是.
① $∠ D C F = \frac{1}{2} ∠ B C D;$ ②EF=CF；
$③ S_{△ B A C} = 2 S_{△ C E F};$ ④∠DFB=3∠AEF.

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6、已知x=m是一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ 的根，则 $24 - 4 m + m^{2}$ 的值为.

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7、如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=6，∠B=45°，E是BC边上的动点，连结DE，过点A作AF⊥DE于点F.则DE·AF的值是.

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8、将6位同学的英语口语成绩22，23，24，28，29，30分成前3个一组，后三个一组，则这两组数据的组内离差平方和为.

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9、对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0),$ 下列说法：
①若a+b+c=0，则方程必有一根为x=1；
②若方程 $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实根，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个负实数根；
③若方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 两根为x₁ ， x₂且满足 $x_{1} \neq x_{2} \neq 0,$ 则方程 $c x^{2} - b x + a = 0 (c \neq 0)$ 的实数根为 $- \frac{1}{x_{1}}$ 和 $- \frac{1}{x_{2}};$
④若x₀是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，则 $b^{2} - 4 a c = {(2 a x_{0} + b)}^{2} .$
其中正确的个数有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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10、在面积为 $6 \sqrt{21}$ 的平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，作AF⊥CD于F，若 $A B = 3 \sqrt{7}, B C = 2 \sqrt{7},$ 则CE+CF的值为（）

A、 $10 + 5 \sqrt{7}$ B、 $2 + \sqrt{7}$ C、 $10 + 5 \sqrt{7}$ 或 $2 + \sqrt{7}$ D、 $10 + 5 \sqrt{7}$ 或 $5 \sqrt{7} - 10$

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11、有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒，若纸盒的底面面积是32cm² ，求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意，可列方程为（）

A、6×10-4×6x=32 B、（10-2x）（6-2x）=32 C、（10-x）（6-x）=32 D、 $6 \times 10 - 4 x^{2} = 32$

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12、如图，在▱ABCD中，AB=5，AD=7，∠DAB的平分线交BC于点B，则CB长为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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13、如图，在▱ABCD中，AD=10，对角线AC与BD相交于点O.若AC+BD=22，则△BOC的周长为（）

A、20 B、21 C、22 D、23

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14、用配方法解方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 时，配方变形正确的是（）

A、 ${(x - 1)}^{2} = 4$ B、 ${(x - 1)}^{2} = 3$ C、 ${(x - 2)}^{2} = 4$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 3$

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15、下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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16、
邻等对补四边形的定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．如图1，在四边形 $A B C D$ 中，若 $∠ A + ∠ C = 180 °, A B = A D$ ，那么四边形 $A B C D$ 称为“邻等对补四边形”．
【概念辨析】
（1）用分别含有 $30 °$ 和 $45 °$ 角的直角三角形纸板拼出如图2所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有___________（填序号）．
【性质探究】
（2）如图3，四边形 $A B C D$ 是邻等对补四边形，其中 $A B = A D$ ， $∠ A B C + ∠ A D C = 180 °$ ．
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若 $A D = 4, ∠ A B C = 60 °, ∠ B C D = 45 °$ ，求 $B C$ 的长？
【拓展应用】
（3）如图4，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 2$ ， $B C = 3$ ，分别在边 $B C$ ， $A C$ 上取点 $M$ ， $N$ ，使四边形 $A B M N$ 是邻等对补四边形，请直接写出 $tan ∠ N B M$ 的值．

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17、【阅读材料】

养成健康饮水的习惯

素材1

《中国居民膳食指南》中提到“足量饮水”的建议：在温和气候条件下，成年人每天需喝水 $1500 ml ~ 1700 ml$ ，如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态．建议大家养成主动饮水的习惯．喝水时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在 $35 ℃ ~ 40 ℃$ ．

素材2

如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的温度为 $30^{\circ} C$ ，流速为 $25 ml / s$ ；开水的温度为 $100^{o} C$ ，流速为 $20 ml/s$ ．整个接水过程中不计热量损失．

小贴士

接水过程不计热量损失，即：开水体积×开水的温度+温水的体积 $\times$ 温水的温度=混合后的体积 $\times$ 混合后的温度．

【问题解决】

(1)、若用空杯先接了

8 s

温水，后再接

5 s

的开水，此时温水和开水混合后共有___________

ml

水；

(2)、小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，请解决以下问题：

①小康接水的时间一共用了 $15 s$ ，得到一杯 $350ml$ 的水，求这杯水混合后的水温；

②若小康想得到一杯 $350ml$ 温度不低于 $40^{o} C$ 的水（不计热量损失），求小康接开水的时间至少是多少秒？

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18、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ} ， O$ 为 $B C$ 上一点，以 $O$ 为圆心， $O B$ 为半径的 $⊙ O$ 交 $A B$ 于另一点 $D ， A D$ 的垂直平分线交 $A C$ 于 $E$ ，交 $A B$ 于点 $F$

(1)、利用圆规和无刻度直尺，作出线段 $A D$ 的垂直平分线（保留作图痕迹，不用写出作法和理由）；

(2)、连接 $D E$ ，求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(3)、当四边形 $O C E D$ 为矩形时，若 $\frac{O B}{O C} = 2 ， A B = 6 \sqrt{2}$ ，求弧 $B D$ 的长度？

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19、“冰雪为卷，和谐为轴”2026年2月6日，第25届冬奥会在意大利米兰隆重召开，恰逢丙午马年春节，同学们利用春节假期时间，观看了多场冬奥会比赛，为中国选手加油鼓劲，为了传递奥运精神，某校安排七年级同学制作题为“筑梦冰雪，相约冬奥”的小报，学校开学后将收集到的“冬奥小报”进行打分评比，并随机抽取了部分学生的“冬奥小报”评比成绩进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
①该校七年级部分学生“冬奥小报”评比成绩的频数分布表和扇形统计图：
组别
分组（分）
频数
A
$50 \leq x < 60$
5
B
$60 \leq x < 70$
$a$
C
$70 \leq x < 80$
12
D
$80 \leq x < 90$
15
E
$90 \leq x \leq 100$
8
②C组的数据为70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79．
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、共抽取了名七年级学生，其中 $a$ 的值为．

(2)、在扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数是；随机抽取的这部分学生成绩的中位数是分．

(3)、该校要对成绩在E组的学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为 $2 : 8$ ，请估计该校3000名学生中获得一等奖的学生人数．

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20、计算． $|1 - \sqrt{3}| - {(- \frac{1}{2})}^{- 2} - 3 \tan 30 ° + {(π + 2026)}^{0}$ ．

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组别	平均数	中位数	众数	方差
小荷组	7	a	6	2.6
小信组	b	7	c	S²信

组别	分组（分）	频数
A	$50 \leq x < 60$	5
B	$60 \leq x < 70$	$a$
C	$70 \leq x < 80$	12
D	$80 \leq x < 90$	15
E	$90 \leq x \leq 100$	8