相关试卷

1、已知一次函数 $y = (a - 2) x - 3 a - 1$ ，当自变量 $x$ 的取值范围为 $3 < x < 5$ 时， $y$ 既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，则实数a的取值范围是。

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2、如图，已知 $△ A B C$ 中， $A B = A C, ⊙ O$ 为它的内接圆， $∠ A B C$ 的平分线 $B N$ 交 $⊙ O$ 于 $N$ ，交 $A C$ 于 $G$ ，过 $O$ 作 $O M ⊥ B N$ 于 $M$ ，延长 $M O$ 交 $A B$ 于 $E$ ，过 $E$ 作 $E F ⊥ E M$ 交 $A C$ 于 $F$ .

(1)、若 $A B = 12, B C = 6$ ，求 $B N$ 的长度；

(2)、求证： $A E^{2} = A F \cdot BE$ .

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3、已知 $a, b, c, x, y, z$ 满足： $a x = b + c, b y = a + c$ ， $c z = a + b .$

(1)、若 $x = 2, y = 3$ ，求 $z$ 的值.

(2)、若 $a, b, c, x, y, z$ 均为正整数，求 $x + y + z$ 的值.

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4、如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x (a < 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (4,0)$ ，直线经过点 $A$ ，且与 $y$ 轴交于点 $C (0,4)$ ，与抛物线交于点 $B (1, t)$ .

(1)、点 $M$ 在抛物线上，过点 $M$ 作 $M N / / y$ 轴交直线 $A B$ 于 $N$ ，且 $M N = 2$ ，求点 $M$ 的坐标.

(2)、点 $P$ 是抛物线上一点，点 $Q$ 是坐标平面内一点，且以 $A$ 、 $B$ 、 $P$ ， $Q$ 四点为顶点的四边形是矩形，求所有符合条件的点 $Q$ 的坐标.

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5、已知关于 $x$ 的方程 $|x^{2} - 1| + x^{2} + k x = 0$ ，

(1)、当 $k = 3$ 时，求出方程的解.

(2)、若方程有两个正实根 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $0 < x_{1} < x_{2} < 3$ ，求 $k$ 的取值范围.

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6、已知 $p$ 为质数， $a$ 为正整数，且 $p^{3} + 2 a = a^{2} - a p + p$ $+ 1$ ，则 $a + p =$ .

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7、如图， $△ A B C$ 的外接圆为 $⊙ O$ ， $I$ 为 $△ A B C$ 的内心，连结 $A I$ 并延长交 $B C$ 于点 $E$ ，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，则下列结论正确的是(填编号). ① $B D = C D$ ；② $B D = D I$ ；③ $D I^{2} = D E \cdot D A$ ；④ $\frac{B E}{A B} = \frac{E C}{A C}$ .

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8、如图，已知直线 $y = \frac{1}{2} x - 2$ 与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 的图像交于点 $C$ ，点 $A$ 在这个函数的图象上，且四边形 $A B C D$ 为正方形，则 $k =$ .

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9、二次函数 $y = a x^{2} + (2 a - 1) x - 3$ 在 $- \frac{3}{2} \leq x \leq 2$ 的范围内有最大值 1，则 $a =$ .

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10、如图，将形状大小完全相同的“▱”按图一定规律摆成下列图形. 图 1 中有 “□” 的个数 $a_{1} = 2$ ，图 2 中有 “□” 的个数 $a_{2} = 6$ ，图 3 中有 “□” 的个数 $a_{3} = 12, \dots \dots$ ，以此类推，则 $\frac{2}{a_{1}} + \frac{2}{a_{2}} + \frac{2}{a_{3}} + \dots + \frac{2}{a_{2023}} =$ .
图1 图2 图3

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11、 $△ A B C$ 中， $A B = 2, A C = \sqrt{2} B C$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为.

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12、已知正整数 $a, b, c, d$ 满足 $a < b < c < d$ ，且 $a + b + c + d = b^{2} - a^{2} + d^{2} - c^{2}$ ，则下列结论中：
① $a = 21, b = 22, c = 23, d = 24$ 是方程的一组解：
②若 $a < b < c < d < 10$ ，则方程组有 21 组解：
③若 $a + b + c + d = 2023$ ，则方程组有 504 组解，其中正确的有 ( )

A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个

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13、已知 $△ A B C$ 中， $B C = 3, A C = 2$ ，过 $A$ 作 $A D ⊥ A B$ ，且 $A D = 2 A B$ ，则 $C D$ 的最小值为 ( )

A、 $6 - 2 \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{5}$ D、8

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14、已知 $|a| > |b|$ ，函数 $y = a x^{2} + b x (a \neq 0)$ 与一次函数 $y = a x + b$ 的图象正确的是图中的 ( )

A、 B、 C、 D、

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15、如图，菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60^{\circ}, M, N$ 分别是 $B C, C D$ 上的点， $∠ M A N = 60^{\circ}$ ，下列结论中错误的是 ( )

A、 $△ A M N$ 是等边三角形 B、 $M N$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2} A B$ C、当 $M N$ 最小时， $A M ⊥ B C$ D、当 $M N$ 最小时， $S_{△ C M N} = \frac{\sqrt{3}}{8} A B^{2}$

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16、在 $1,2, 3,4, 5, \dots, 12$ 中随机取两个不相同的整数，则取得的两个数中一个数是另一个数的两倍的概率为 ( )

A、 $\frac{25}{66}$ B、 $\frac{23}{66}$ C、 $\frac{1}{11}$ D、 $\frac{7}{22}$

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17、已知： $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形，

(1)、如图， $A F$ 、 $B E$ 分别为 $B C$ 、 $A C$ 上的高线，交于点 $D$ ，若 $A D = 2$ ， $B C = 4$ ，求 $⊙ O$ 的半径；

(2)、如图，分别作 $∠ B A C$ 、 $∠ A B C$ 的角平分线，交于点 $D$ ，作 $D E ⊥ B C$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，连结 $A E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ，若 $E F = 2, D E = 2 \sqrt{3}$ ，求 $A F$ 的长.

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18、已知二次函数 $y = x^{2} - a x + 1$ .

(1)、当 $- 1 \leq x \leq 1$ 时，函数的最大值与最小值之差为 2，求 $a$ 的值；

(2)、若 $1 \leq x \leq 2, y \geq - 2$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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19、将反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 的图像绕着原点 $O$ 顺时针旋转 $45^{\circ}$ 得到新的双曲线图像 $C_{1}$ (如图所示)，若直线 $l ⊥ x$ 轴， $F$ 为 $x$ 轴上的一个定点，已知，图像 $C_{1}$ 上的任意一点 $P$ 到 $F$ 的距离与直线 $l$ 的距离之比为定值，记为 $e$ ，即 $\frac{P F}{P H} (e > 1)$ .

(1)、若直线 $l$ 经过点 $B (1,0)$ ， $F$ 点的坐标为(4，0)，且 $e = 2$ ，求双曲线 $C_{1}$ 的解析式；

(2)、如图，若直线 $l$ 经过点 $B (1,0)$ ，双曲线 $C_{2}$ 的解析式为 $y = \pm \sqrt{8 x^{2} - 8 x - 16}$ ，且 $F$
$(5,0), P$ 为双曲线 $C_{2}$ 在第一象限内图像上的动点，连接 $P F, D$ 为线段 $P F$ 上靠近点 $P$ 的三等分点，连接 $H D$ ，在点 $P$ 运动的过程中，当 $H D = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} P D$ 时，求点 $P$ 的横坐标.

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20、对于两个多项式，若 $P = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}, Q = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ ，满足下列两种情形之一： $① a_{1} \neq$ $0, a_{2} = 0$ ； ② $a_{1} = a_{2}, b_{1} > b_{2}$ ；则称多项式 $P$ 为“较大” 多项式，多项式 $Q$ 为“较小” 多项式.对于两个多项式 $A_{1} = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 和 $A_{2} = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ ，若将 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 中 “较大” 多项式和 “较小” 多项式的差记作 $A_{3}$ ，则称这样的操作为一次 “佳选作差” 操作；再对 $A_{2}$ 和 $A_{3}$ 进行 “佳选作差” 操作得到 $A_{4}, \dots$ ，以此类推，经过 $n$ 次操作后得到的序列 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots A_{n}$ 称为 “佳选作差” 序列 $\{A_{n}\}$ . 现对 $A_{1} = x^{2} + 1, A_{2} = x$ 进行 $n$ 次 “佳选作差” 操作得到 “佳选作差” 序列 $\{A_{n}\}$ ，

(1)、求 $A_{2024}$ ；

(2)、求 $A_{1} + A_{2} + A_{3} + \dots + A_{11}$ .

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