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1、如图，已知在 Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ，点 $G$ 为 $A B$ 的中点，连结 $C G$ ，点 $D$ 为平面内一点， $C D / / A B$ ，连结 $D G$ ，交 $A C$ 于点 $E$ ，且 $D G =$ $C G, D E = 1, A E = 6$ 则 $B E$ 的长为.

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2、已知互不相等的实数 $x, y, z$ 满足 $3 x + \frac{2}{y - 1} = 3 y +$ $\frac{2}{z - 1} = 3 z + \frac{2}{x - 1} = k$ ，则 $k =$ .

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3、如图，点 $C$ 是半圆 $O$ 上一点，将弧 $B C$ 沿弦 $B C$ 折叠交直径于点 $D$ ，再将弧 $B D$ 沿 $B D$ 翻折交 $B C$ 于点 $E$ ，连结 $D E$ ，若 $O D = 1, D E = 2 \sqrt{5}$ ，则线段 $B E$ 的长为.

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4、阅读理解：对于三个数 $a, b, c$ ，用 $m i n {a, b, c}$ 表示三个数中的最小值. 例如： $m i n {- 2,1, 3} = - 2$ ，则 $m i n \{\frac{1}{2} x + 1, - x + 2, \frac{1}{2} x^{2}\}$ 的最大值为.

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5、已知 $a_{k} \neq 0 (k = 1,2, \dots, 2024)$ ，满足 $\frac{a_{1}}{|a_{1}|} + \frac{a_{2}}{|a_{2}|} +$ $\frac{a_{3}}{|a_{3}|} + \dots + \frac{a_{2023}}{|a_{2023}|} + \frac{a_{2024}}{|a_{2024}|} = 2012$ ，则使反比例函数 $y = \frac{k a_{k}}{x} (k = 1,2, \dots, 2024)$ 的图像经过二、四象限的 $a_{k}$ 的概率是.

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6、某同学用纸剪出了三种多边形，为凸四边形，凸五边形，凸六边形，每种至少剪出一个，剪出的多边形边数之和为 111 ，那么剪出的多边形的所有内角中，直角的个数最多是.

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7、如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是边 $A B$ 上的一动点，连结 $C E$ ，将线段 $C E$ 绕着点 $C$ 顺时针旋转 $60^{\circ}$ ，得到 $C F$ ，连结 $E F$ ，交 $A C$ 于点 $Q$ ，若 $A B$ $= 3, B C = \sqrt{3}$ ，则 $A Q$ 长的最大值为 ( )

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3} - 2$ C、 $6 \sqrt{3} - 8$ D、 $8 \sqrt{3} - 12$

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8、小明和爸爸计划从家出发去游泳馆，上午 8 点整小明先出发，以 60 米/分的速度匀速步行，途中不休息，爸爸在上午 9 点 10 分从家出发，沿同一路线，以 300 米/分的速度匀速骑行到游泳馆，每骑 5 分钟后休息 1 分钟，最后，爸爸比小明晚 5 分钟到达游泳馆，那么家距离游泳馆有( )

A、4500 米 B、5100 米 C、5600 米 D、6000 米

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9、已知实数 $a 、 b 、 c$ ，满足 $a b c = 1, a + b + c = 2, a^{2} +$ $b^{2} + c^{2} = 16$ ，则代数式 $\frac{2}{1 + 2 c^{2}} + \frac{2}{1 + 2 b^{2}} + \frac{2}{1 + 2 a^{2}}$ 的值是 ( )

A、 $\frac{30}{13}$ B、 $\frac{10}{3}$ C、3 D、 $\frac{8}{3}$

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10、正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $C D$ 的中点，点 $P$ 是 $A D$ 上异于点 $A 、 D$ 的点， $∠ A B P + ∠ B P E = 90^{\circ}$ ，则 $\frac{B P}{P E}$ 的值是( )

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$

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11、如图是七巧板图案，现将它剪拼成一个“风筝”造型，过它的上下左侧五点作矩形 $A B C D$ ，点 $G$ 为 $E F$ 的中点，并且在矩形内右上角有一正方形 $P Q M N, M N / / C D, P N / / A D$ ，若点 $P 、 G 、 H$ 在同一直线上，点 $N$ 到 $A D$ 的距离与到 $C D$ 的距离相等，且 $P N = 3.5 c m$ ，则 $A D$ 的长为 ( )

A、 $10 \sqrt{2} c m$ B、 $12 \sqrt{2} c m$ C、 $20 c m$ D、 $24 c m$

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12、已知实数 $a, b$ 满足 $- 4 \leq a - b \leq - 1, - 1 \leq 4 a - b \leq 5$ ，则 $9 a - b$ 的取值范围是( )

A、 $- 7 \leq 9 a - b \leq 26$ B、 $- 1 \leq 9 a - b \leq 20$ C、 $4 \leq 9 a - b \leq 15$ D、 $1 \leq 9 a - b \leq 15$

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 2 ∠ B, A G ⊥ B C, D$ 为 $B C$ 的中点， $A C = 8 c m$ ，则 $D G$ 的长为( )

A、 $2 \sqrt{2} c m$ B、 $3 c m$ C、 $4 c m$ D、 $4 \sqrt{2} c m$

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14、若证明命题： “对于任意实数 $x, y, |x| - |y| = |x - y|$ 恒成立”是假命题，只需要举一个反例，则这个反例可以是( )

A、 $x = - 3, y = - 2$ B、 $x = 0, y = 0$ C、 $x = 4, y = 3$ D、 $x = - 5, y = 6$

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15、 $a, b, c$ 都是实数，且 $c - b = a^{2} - 2 a + 1, b + c = 3 a^{2}$ $- 4 a + 6$ ，则 $a, b, c$ 之间的大小关系是 ( )

A、 $a < b \leq c$ B、 $b < a \leq c$ C、 $b \leq c < a$ D、 $c < a \leq b$

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16、如图，点 $P$ 为 $⊙ O$ 外一点，过点 $P$ 作 $⊙ O$ 的两条切线，切点分别为 $A, B$ . 过点 $A$ 作 $P B$ 的平行线交 $⊙ O$ 于点 $C$ . 连结 $P C$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ . 连结 $A E$ 并延长交 $P B$ 于点 $K$ . 求证： $P E \cdot A C = C E \cdot K B$ .

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17、已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ ，无论 $m$ 为任何实数，直线 $y = m (x - 1) - \frac{m^{2}}{4}$ 与该二次函数的图象有且只有一个公共点.

(1)、求 $a, b, c$ 的值.

(2)、当 $k \leq x \leq k + 1$ 时，该二次函数的最小值为 $k$ ，求 $k$ 的值.

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18、如图，在 Rt $△ A B C$ 两直角边 $A C, B C$ 上分别作正方形 $A C D E$ ，正方形 $C B F G$ ，连结 $D G$ . 线段 $A B, B F, F G, G D, D E, E A$ 的中点依次为 $P, L$ ， $K, I, H, Q$ . 若 $A C = 12, B C = 24$ ，求六边形 $H I K L P Q$ 的面积.

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19、按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.

(1)、如图， $A$ 为 $⊙ O$ 上一点，请用无刻度直尺和圆规作出 $⊙ O$ 的内接正方形；

(2)、结合几何图形的性质，只用无刻度直尺作图.
①如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $C D$ 的中点，作 $B C$ 的中点 $F$ .
②如图，在由小正方形组成的 $4 \times 3$ 的网格中， $△ A B C$ 的顶点都在小正方形的顶点上，作 $△ A B C$ 的高 $A H$ .

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20、设实数 $a, b, c$ 满足 $\{\begin{array}{l} a^{2} - b c - 8 a + 7 = 0 \\ a - b - c = 1 \end{array}$ ，求证： 1 $\leq a \leq 9$ .

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