相关试卷

1、综合与实践：
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：
如图1， $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = 90 °$ ，点E为 $△ A B C$ 外一点， $A E ⊥ C E$ ，过B作 $B F ⊥ A E$ ，垂足分别为 $E 、 F$ ．求证： $E F = B F - C E$ ．
独立思考：（1）请证明王老师提出的问题．
实践探究：（2）王老师把原题作如下的更改，并提出新问题，请你解答．
“如图2， $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B A C = 90 °$ ，点D是 $B C$ 上一点， $B A = B D ， C E ⊥ A D$ 于E，求证： $A D = 2 C E$ ”．
问题解决：
（3）数学活动小组同学进一步对上述问题进行研究之后发现：
“如图3， $△ A B C$ 中， $A B = A C,∠ B A C = 90 °$ ，点D为 $B C$ 上一点， $A E ⊥ C E$ ，过点A作 $A M ⊥ A E$ ，且 $A M = A E$ ，连接 $B M$ ．若 $C E = 2$ ，请直接写出 $A G$ 的值为 ▲ ． ”

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2、【阅读】例题：在等腰三角形 $A B C$ 中，若 $∠ A = 80 °$ ，求 $∠ B$ 的度数.
点点同学在思考时是这样分析的： $∠ A$ ， $∠ B$ 都可能是顶角或底角，因此需要进行分类.他认为画“树状图”可以帮我们不重复，不遗漏地分类（如图），据此可求出 $∠ B$ 的度数.
【解答】
由以上思路，可得 $∠ B$ 的度数为__________；
【应用】
将一个边长为5，12，13的直角三角形拼上一个三角形后可以拼成一个等腰三角形，图2就是其中的一种拼法.请你利用备用图画出三种可能的情形，使得拼成的等腰三角形腰长为13.
（注意：请对所拼成图形中的线段长度标注数据）

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3、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 30 °$ ， $∠ B = 62 °$ ， $C E$ 是 $△ A B C$ 的角平分线．

(1)、求 $∠ B C E$ 的度数．

(2)、若 $C D ⊥ A B$ ，垂足为 $D$ ， $∠ C D F = 74 °$ ，求证： $△ C F D$ 是直角三角形．

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4、如图，已知 $△ A B C$ 的周长为33， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线， $A B = \frac{3}{2} A C$ ．

(1)、当 $A C = 10$ 时，求 $B D$ 的长；

(2)、 $A C$ 能否等于12？为什么？

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $B D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $∠ A = 60 °$ ， $∠ B D C = 95 °$ ．

(1)、尺规作图：作 $D E ∥ B C$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ．

(2)、求 $△ B D E$ 的各内角的度数．

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6、如图，在△ABC中，∠A=50°，O是△ABC内一点，且∠ABO=20°，∠ACO=30°．求∠BOC的度数．

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7、如图， $∠ D A B = ∠ D A C$ ， $∠ B = ∠ C$ ，求证 $B D = C D$ ．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $C E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，若 $∠ B = 50 °$ ， $∠ A C E = 20 °$ ，则 $∠ A D C$ 的度数是．

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9、如图，在锐角三角形 $A B C$ 和锐角三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 中， $A D$ ， $A^{'} D^{'}$ 分别是边 $B C$ ， $B^{'} C^{'}$ 上的高，且 $A B = A^{'} B^{'}$ ， $A D = A^{'} D^{'}$ ．要使 $△ A B C ≌ △ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则可以补充条件（填写一个即可）．

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10、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B \neq A C$ ， $A D$ 是斜边 $B C$ 上的高， $D E ⊥ A C$ ， $D F ⊥ A B$ ，垂足分别为 $E$ ， $F$ ，则图中与 $∠ C$ （ $∠ C$ 除外）相等的角的个数是（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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11、下列说法正确的是（）

A、全等三角形是指形状相同的两个三角形 B、全等三角形的周长和面积分别相等 C、面积相等的两个三角形是全等三角形 D、所有的等边三角形都是全等三角形

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12、图中的两个三角形全等，则 $∠ α$ 等于（）

A、 $72 °$ B、 $58 °$ C、 $60 °$ D、 $50 °$

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13、如图O是 $△ A B C$ 的重心，若 $△ A B C$ 的面积是12，则阴影部分的面积和是（）

A、4 B、6 C、8 D、12

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14、已知等腰三角形的一边长为3，周长为13，则它的底边长为（）

A、7 B、3 C、7或3 D、5

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15、下列四个图中，线段 $B E$ 是 $△ A B C$ 的高的是（）

A、 B、 C、 D、

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16、如图，用窗钩 $A B$ 可将窗户固定，其所运用的几何原理是（）

A、两点之间，线段最短 B、两点确定一条直线 C、垂线段最短 D、三角形具有稳定性

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17、已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象经过原点 $O (0, 0)$ 和点 $A (4, 0)$ ，顶点为B，且顶点B的纵坐标为2．

(1)、求抛物线的对称轴；

(2)、求证： $△ A B O$ 是以点B为直角顶点的等腰直角三角形；

(3)、设点P是抛物线上一点（P不与点O，A，B重合），点Q在x轴上．是否存在正三角形 $A P Q$ ？若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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18、已知函数 $y_{1} = x^{2} + b x + \frac{1}{4} b^{2} - b - 1$ 的图象与函数 $y_{2} = 2 x - 1$ 的图象在同一个平面直角坐标系中．解答下列问题：

(1)、当 $b = 2$ 时，求函数 $y_{1}$ 表达式；

(2)、求证：函数 $y_{1} = x^{2} + b x + \frac{1}{4} b^{2} - b - 1$ 的顶点在函数 $y_{2} = 2 x - 1$ 图象上；

(3)、小慧说函数 $y_{1}$ 的图象与函数 $y_{2}$ 的图象一定有两个交点，而且这两个交点间的距离为定值．请说明这种说法是正确的，并求出这个定值．

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19、某品牌运动鞋专卖店销售一款经典运动鞋．经市场调研，该鞋的进货成本为每双 $50$ 元．根据以往销售数据和市场分析，店铺发现：当销售单价为 $80$ 元/双时，月平均销售量为 $200$ 双．销售单价每提高1元，月销售量就会减少5双；销售单价每降低1元，月销售量就会增加5双．设该运动鞋的销售单价为 $x (x > 50)$ 元/双，月销售总利润为y元［总利润＝（销售单价－进货成本）×月销售量]．

(1)、求月销售总利润y关于销售单价x的函数关系式；

(2)、销售单价定为多少元时，可获得最大月利润？最大月利润是多少元？

(3)、销售单价在什么范围内时，店铺销售该运动鞋才能盈利？

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20、小叶在学习二次函数图象平移内容时，研究了抛物线的移动方法．
课本方法：把顶点先向左或向右平移一定距离，再向上或向下平移一定距离得到新的抛物线．
在以前的学习过程中，小叶知道确定物体位置的方法可以用方向与距离表示．
迁移方法：于是他想，在移动抛物线时也可以通过确定移动的方向后，再一次性把顶点移动一定距离就到位．例如：如图，二次函数 $y = 3 x^{2} + 6 x + 3$ 图象沿北偏东 $60 °$ 方向移动4个单位得到二次函数 $y = 3 {(x - 2 \sqrt{3} + 1)}^{2} + 2$ 的图象．

(1)、仿照迁移方法，把抛物线 $y = x^{2}$ 沿方向移动个单位得到抛物线 $y = {(x + 1)}^{2} + 1$ ；

(2)、比较课本方法与迁移方法，写出迁移方法的优点与缺点（至少各一条）．

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