相关试卷

1、如图1，已知四边形 $A B C D$ 是正方形，点 $E ， F$ 分别是边 $A B ， B C$ 上的点（不与正方形的顶点重合），且满足 $A E = B F$ ，连结 $A F ， D E$ 相交于点 $G$ ．

(1)、求证： $∠ A G D = 9 0^{∘}$ ；

(2)、如图2，连结 $A C$ 交 $D E$ 于点 $P$ ，作 $∠ D G F$ 的角平分线 $G M$ 交 $A C$ 于点 $M$ ．
①当 $A E = A P ， A G = 2$ 时，求 $A M^{2}$ 的值；
②试猜想 $A G ， G M ， G D$ 之间满足的数量关系，并证明．

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2、如图1，有一张长为 $40 (c m)$ ，宽为 $l (c m)$ 的长方形硬纸片．

(1)、若裁去角上的四个小正方形之后，折成如图2所示的无盖纸盒，当 $l = 30$ ，纸盒的底面积为 $600 (c m^{2})$ 时，求裁去的正方形边长是多少？

(2)、若裁去部分图形后，折成如图3所示底面是正三角形的无盖纸盒，则此时 $l$ 的长为多少？当纸盒的底面积与侧面积（三个长方形的面积）相等时，底面正三角形的边长是多少？

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3、观察以下式子：记 ${x_{n}}^{2} = {(1 + n \sqrt{2})}^{2}$ ，则
① $x_{1}^{2} - x_{0}^{2} = {(1 + \sqrt{2})}^{2} - 1^{2} = (1 + \sqrt{2} + 1) (1 + \sqrt{2} - 1) = 2 + 2 \sqrt{2}$ ；
② $x_{2} ^{2} - x_{1} ^{2} = {(1 + 2 \sqrt{2})}^{2} - {(1 + \sqrt{2})}^{2} = 6 + 2 \sqrt{2}$ ； $⋯ ⋯$

(1)、计算观察】 ${x_{3}}^{2} - {x_{2}}^{2} =$ ； ${x_{4}}^{2} - {x_{3}}^{2} =$ ．（直接写出结果即可）

(2)、【归纳验证】猜想： $x_{n}^{2} - x_{n - 1}^{2} =$ （ $n$ 为正整数）；并证明．

(3)、【应用推广】令 $M_{n} = x_{n}^{2} - x_{n - 1}^{2}$ ，计算 $M_{1} + M_{2} + M_{3} + ⋯ + M_{20}$ 的值．

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4、如图，一次函数 $y = a x + b$ 的图像与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图像交于点 $A (4, m)$ ， $B (- 6, - 2)$ ．

(1)、求 $k$ 的值和一次函数的表达式；

(2)、直接写出关于 $x$ 的不等式 $a x + b > \frac{k}{x}$ 的解集．

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5、某班为选拔一名选手参加校 $A I$ 知识竞赛，从自愿报名、综合表现等角度确定了甲、乙两名考察对象，在学校组织的辅导过程中，共安排了6次测试，满分10分，每次测试具体得分如图．
得分对象
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
方差（分2）
甲
7
7
7
③
乙
7
①
②
3.2

(1)、将表格补充完整

(2)、请结合历次测试成绩，你将推荐谁参加校 $A I$ 知识竞赛，并说明理由．

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6、如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF ，

(1)、求证：AE＝CF；

(2)、求证：四边形AECF的平行四边形．

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7、计算：

(1)、 $\sqrt{8} - \sqrt{\frac{1}{2}}$

(2)、 $\sqrt{12} \times \sqrt{3} + \sqrt{\frac{1}{3}}$ ．

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8、如图，在 $▱ A B C D$ 中，作点 $B$ 关于 $A C$ 的对称点 $E$ ，连结 $C E$ 交 $A D$ 于点 $F$ ，连结 $B E$ ，若 $△ A E F$ 是等腰直角三角形，则 $∠ A C B =$ ； $△ A B E$ 与 $△ C F D$ 的面积之比是．

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9、定义：对于任意实数 $a ， b ， c ， d$ ，有 $[a ， b] * [c ， d] = a c - b d$ ，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如： $[3 ， 2] * [5 ， 1] = 3 \times 5 - 2 \times 1 = 1$ 对已知类于 $x$ 的方程 $[x ， m] * [x + 5 ， 5] = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是．

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10、在一次广播操比赛中，801班、802班、803班的各项得分如下表，若对于“服装统一”、“动作整齐”、“动作准确”三个项目按 $2 : 3 : 5$ 进行加权计算，则得分最高的班级是．

服装统一
动作整齐
动作准确
801班
80
84
87
802班
98
78
80
803班
90
82
83

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11、已知在温度不变的条件下，汽缸内气体的体积 $V (m L)$ 和气体对气缸壁所产生的压强 $p (k P a)$ 成反比例关系，当 $V = 80$ 时， $p = 75$ ，则当 $V = 120$ 时， $p =$ ．

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12、如图，在矩形 $A B C D$ 中，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A C$ 于点 $E ， ∠ D A C = 29 °$ ，则 $∠ B D E$ 的度数为．

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13、化简 $\sqrt{{(- 2025)}^{2}} =$ ．

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14、已知点 $A (m ， t + 1) ， B (m - 1 ， 2)$ 都在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图像上，则下列说法正确的是（　　）

A、若 $k (t - 1) < 0$ ，则 $m > 1$ B、若 $m > 1$ ，则 $k (t - 1) < 0$ C、若 $k (t - 1) > 0$ ，则 $m < 1$ D、若 $m < 1$ ，则 $k (t - 1) > 0$

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 4$ ，点 $D$ 是 $A C$ 上一点，连结 $B D$ ，点 $F$ 是 $B D$ 的中点，连结 $A F$ ，作 $A E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，连结 $E F$ ，若 $A F = \frac{5}{2}$ ，则 $E F$ 的长为（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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16、《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为 $x$ 尺，根据题意，可列方程为（　　）

A、 $x^{2} + 4^{2} = 1 0^{2}$ B、 ${(10 - x)}^{2} + 4^{2} = 1 0^{2}$ C、 ${(10 - x)}^{2} + 4^{2} = x^{2}$ D、 $x^{2} + 4^{2} = {(10 - x)}^{2}$

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17、如图，过反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 上一点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线，交 $y$ 轴于点 $B$ ，点 $C ， D$ 在 $x$ 轴上，满足四边形 $A B C D$ 是平行四边形，若 $▱ A B C D$ 的面积为4，则 $k$ 的值是（　　）

A、 $- 8$ B、8 C、 $- 4$ D、 $4$

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18、已知在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C ， B D$ 交于点 $O$ ，添加下列条件后，不一定能使其成为菱形的是（　　）

A、 $A D = A B$ B、 $∠ A D B = ∠ C D B$ C、 $O A = O B$ D、 $A C ⊥ B D$

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19、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + a x + 2 = 0$ 的一个根是 $x = - 2$ ，则 $a =$ （　　）

A、 $- 1$ B、1 C、2 D、 $3$

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20、用反证法证明命题“若 $a^{2} \geq 0$ ，则 $a \geq 0$ ”时，则应先假设（　　）

A、 $a < 0$ B、 $a \leq 0$ C、 $a = 0$ D、 $a \neq 0$

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得分对象	平均数（分）	中位数（分）	众数（分）	方差（分2）
甲	7	7	7	③
乙	7	①	②	3.2

	服装统一	动作整齐	动作准确
801班	80	84	87
802班	98	78	80
803班	90	82	83