相关试卷

1、某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（）
原方程
甲
乙
丙
丁
$2 x^{2} + 4 x - 1 = 0 \to$
$2 x^{2} + 4 x = 1 \to$
$x^{2} + 2 x = 1 \to$
$\begin{array}{l} x^{2} + 2 x + 1 = 1 + 1, \\ 即 {(x + 1)}^{2} = 2 \end{array} \to$
$\begin{array}{l} x_{1} = \sqrt{2} - 1, \\ x_{2} = - \sqrt{2} - 1 \end{array}$

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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2、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 70 °$ ，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点O，则 $∠ A B D$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $35 °$ C、 $40 °$ D、 $45 °$

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3、2025年是乙巳年，也是我们俗称的“蛇年”，其中“乙”是天干，“巳”是地支．其中地支包括子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪．从“地支”中抽一个，抽到“巳蛇”的概率是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{1}{12}$ D、 $\frac{1}{22}$

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4、已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴相交于点C，顶点为 $P$ ，对称轴为直线 $x = 1$

(1)、根据题目信息填空： $b =$ __________， $△ A B C$ 的面积＝__________；

(2)、直线 $y = k x + k - 1 (k \neq 0)$ 与抛物线相交于两点 $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2}), (x_{1} < x_{2})$ ，当 $|x_{1} - x_{2}|$ 最小时，求M，N的坐标；

(3)、首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为 $L$ ，若线段 $B O$ 在 $x$ 轴上移动，求 $L$ 的最小值，并求此时 $B$ 点的坐标．

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5、在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动：
【实践探究】：（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接 $A G 、 A C$ ，则 $∠ A C G =$ __________ $°;$
【解决问题】：（2）将矩形 $A Q G F$ 绕点A顺时针转动，边 $A F$ 与边 $C D$ 交于点M，连接 $B M$ ， $A B = 10, A D = 6$ ．
①如图2，当 $B M = A B$ 时，求证： $A M$ 平分 $∠ D M B$ ，写出证明过程；
②如图3，当点F落在 $D C$ 上时，连接 $B Q$ 交 $A F$ 于点O，则 $A O =$ __________；
【迁移应用】：（3）如图4，正方形 $A B C D$ 的边长为 $5 \sqrt{2}, E$ 是 $B C$ 边上一点（不与点 $B 、 C$ 重合），连接 $A E$ ，将线段 $A E$ 绕点E顺时针旋转 $90 °$ 至 $F E$ ，作射线 $F C$ 交 $A B$ 的延长线于点G，则 $B G =$ __________；
（4）如图5，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 120^{°}, E$ 是 $C D$ 边上一点（不与点 $C 、 D$ 重合），连接 $B E$ ，将线段 $B E$ 绕点E顺时针旋转 $120 °$ 至 $F E$ ，作射线 $F D$ 交 $B C$ 的延长线于点G，若 $B G = 6 \sqrt{3}$ ，求 $C G$ 的长并说明理由．

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6、广州市花都区是全国著名的蓝莓产地，某蓝莓基地近几年不断改良种植技术，产量明显增加，2023年的产量是5000千克，2025年的产量达到7200千克．

(1)、若平均每年蓝莓产量的增长率相同，求该蓝莓基地产量平均每年的增长率是多少？

(2)、已知该蓝莓的种植成本为30元／千克，根据市场调查发现，批发价定为50元／千克时，每天可销售400千克，为尽快扩大市场占有率，在保证盈利的情况下，基地采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．求当降价多少元时，蓝莓基地每天的利润能达到9759.5元？

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7、某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高 $\frac{20}{9} m$ ，当球出手后水平距离为 $4 m$ 时到达最大高度 $4 m$ ，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系．

(1)、抛物线的顶点坐标为__________；

(2)、求出抛物线的解析式；

(3)、若队员与篮圈中心的水平距离为 $7 m$ ，篮圈距地面 $3 m$ ，问此球能否准确投中？

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8、已知二次函数的图象如图所示

(1)、当__________时，y随x的增大而增大；

(2)、根据图象回答，当__________时， $y > 0$ ；

(3)、求这个二次函数的解析式．

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9、已知关于 $x$ 的方程： $x^{2} + (m - 2) x - m = 0$ ．

(1)、求证：无论 $m$ 取何实数，方程总有两个不相等的实数根．

(2)、设 $x_{1}, x_{2}$ 是方程的两个根，且 $(x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = - 1$ ，求 $m$ 的值．

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10、如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 6$ ，在同一平面内，将 $△ A B C$ 绕点C顺时针旋转至 $△ A^{'} B^{'} C$ 的位置， $∠ B^{'} C A^{'} = 72 °$ ，且 $B^{'} C ∥ A^{'} A$ ．

(1)、 $B^{'} C =$ __________．

(2)、求旋转角 $∠ A^{'} C A$ 的大小．

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11、如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度， $△ A B C$ 的顶点均在格点上．

(1)、画出将 $△ A B C$ 关于原点O的中心对称图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、将 $△ D E F$ 绕点E逆时针旋转 $90 °$ 得到 $△ D_{1} E F_{1}$ ，画出 $△ D_{1} E F_{1}$ ．

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12、已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a, b, c$ 是常数）开口向下，过 $A (- 1, 0), B (m, 0)$ 两点，且 $1 < m < 3$ ．下列四个结论：
① $b > 0$
②若 $m = 2$ 时，则 $2 a + c < 0$
③若方程 $|a x^{2} + b x + c| = 1$ 有四个根，且四个根和为s，则 $0 < s < 4$
④已知点 $P (- 2, y_{1}), Q (3, y_{2}), M (n, y_{3})$ 均在抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上，其中 $2 a n + b = 0$ ，若 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ ，则n的取值范围是 $n > \frac{1}{2}$ ．
其中正确的结论有（写序号）

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13、如图，菱形 $A B C D$ 的对角线交于原点 $O ， A (- 2 \sqrt{3}, 2) ， B (- 1, - \sqrt{3})$ ．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转 $90 °$ ，则第2025次旋转结束时，点C的坐标为．

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14、某学校要组织一次九年级篮球赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），计划安排45场比赛，则设该学校九年级共有x个班级，依据题意，可以列出方程．

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15、阅读下面的材料：为解方程 ${(x^{2} - 1)}^{2} - 5 (x^{2} - 1) + 4 = 0$ 可以将 $(x^{2} - 1)$ 看作一个整体，然后设 $x^{2} - 1 = t$ 则原方程可化为 $t^{2} - 5 t + 4 = 0$ 解得 $t_{1} = 1, t_{2} = 4$ ，再求解 $x$ 的方程．上述解题方法，我们称之为换元法．则 $y = 3 \sqrt{x^{2}} + 4 - x^{2} + 6$ 的最大值为（）

A、12 B、 $\frac{49}{4}$ C、 $\frac{25}{2}$ D、 $5 + 3 \sqrt{5}$

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16、如图，在等边 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ，点 $D$ 是 $B C$ 边上一动点，连接 $A D$ ，将 $A D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到 $A E$ ，点F是 $A C$ 边的中点，连接 $C E 、 E F$ ，则 $E F$ 的最小值是（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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17、用配方法解方程 $x^{2} - 8 x - 4 = 0$ 时，配方正确的是（）

A、 ${(x - 4)}^{2} = 12$ B、 ${(x - 4)}^{2} = 20$ C、 ${(x - 8)}^{2} = 68$ D、 ${(x - 8)}^{2} = 64$

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18、若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程 $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ ，则此三角形的周长为( )

A、8 B、11 C、8或10 D、8或11

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19、已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + m x - 8 = 0$ 的一个根为2，则m的值为（）

A、4 B、2 C、 $- 2$ D、 $- 4$

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20、[背景知识]：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合.在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为8，则C叫做A、B的“幸福中心”.

(1)、如图1，点A表示的数为-1，则A的幸福点C所表示的数应该是；

(2)、如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为-2，点C是M、N的幸福中心，则C所表示的数是多少？

(3)、如图3，点A表示的数是0，点B表示的数是4，若点A、点B同时以1个单位长度/秒的速度向左运动，与此同时点P从10处以2个单位长度/秒的速度向左运动，经过多长时间后，点P是点A、点B两点的幸福中心？

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原方程	甲	乙	丙	丁
$2 x^{2} + 4 x - 1 = 0 \to$	$2 x^{2} + 4 x = 1 \to$	$x^{2} + 2 x = 1 \to$	$\begin{array}{l} x^{2} + 2 x + 1 = 1 + 1, \\ 即 {(x + 1)}^{2} = 2 \end{array} \to$	$\begin{array}{l} x_{1} = \sqrt{2} - 1, \\ x_{2} = - \sqrt{2} - 1 \end{array}$