相关试卷

1、我国古代问题：以绳测井，若将绳对折测之，绳多三尺；若将绳三折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳量井深，把绳对折来量，井外余绳三尺；把绳三折来量，并外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设井深为x尺，则下面所列方程正确的是（　　）

A、 $2 (x + 3) = 3 (x + 1)$ B、 $2 x + 3 = 3 x + 1$ C、 $2 (x - 1) = 3 (x - 3)$ D、 $2 x - 3 = 3 x - 1$

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2、A，B两个海上观测站的位置如图所示，A在灯塔O北偏东 $40 °$ 方向上， $∠ A O B = 110 °$ ，则B在灯塔O的（）

A、南偏东 $30 °$ 方向 B、南偏东 $40 °$ 方向 C、南偏西 $50 °$ 方向 D、东偏南 $30 °$ 方向

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3、下列采用的调查方式中，合理的是（　　）

A、对全国所有中小学生进行健康调查，采用普查方式 B、统计成都树德实验中学七年级六班学生视力情况，采用抽样调查 C、检查神舟飞船十七号的各零部件，采用抽样调查 D、了解某品牌新能源电动汽车的碰撞测试效果，采用抽样调查

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4、如图，数轴上有A，B，C，D四点，其中表示互为相反数的点是（　　）

A、点A和B B、点B和C C、点C和D D、点A和D

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5、下列物体，形状类似于圆柱的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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6、已知关于 $x$ 的函数 $y = a x^{2} - 4 a x + k - 2$ ．

(1)、当 $a > 0$ ， $k = 4$ 时，
①求当 $x \leq 0$ 时，该函数的最小值；
②当 $0 \leq x \leq 5$ 时， $y$ 有最小值为 $- 2$ ，求当 $0 \leq x \leq 5$ 时， $y$ 的最大值．

(2)、当 $k = a$ 时，若该函数图象与坐标轴有两个交点，求 $a$ 的值；

(3)、当 $a < 0$ ，且 $k = a$ 时，若该函数图象与 $x$ 轴有两个不同交点，试说明该图象与直线 $y = k x - 2$ 始终有两个交点，并求出这两点之间距离的取值范围．

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7、如图，将锐角 $△ A E F$ 的边 $A E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $A C$ ，过 $C$ 作 $B C ∥ E F$ ，交边 $F A$ 的延长线上于点 $B$ ，连接 $B C$ ，作 $△ A B C$ 的外接圆，交边 $A E$ 于点 $D$ ，连接 $D C$ ．

(1)、若 $∠ E F A = 60 °$ ，且 $E D = 2$ ，求 $∠ A D C$ 的度数，并求 $D C$ 的长；

(2)、求证： $E F = B D$ ．

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8、大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中 $A B$ ， $C D$ 为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面3.5米的墙体 $A$ 处，另一端固定在墙体 $D$ 处，骨架最高点 $P$ 到墙体 $A B$ 的水平距离为2米，且点 $P$ 离地面的高度为3.75米．
请尝试数学建模解决以下问题：

(1)、在图1中，以 $B$ 为原点，水平直线 $B C$ 为 $x$ 轴， $A B$ 所在直线为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为 $y$ （米），该处离墙体 $A B$ 的水平距离为 $x$ （米），求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段 $A E$ ， $F G$ 组成，其中点 $E$ ， $F$ 在顶棚抛物线形骨架上， $F G ∥ A B$ 交 $A E$ 于点 $G$ ．为不影响耕作，将点 $E$ 到地面的距离定为1.5米．求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度．

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9、在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（同心圆）面积的方法．现有以下工具（图1）：①卷尺：②直棒 $E F$ ：③ $T$ 型尺（ $C D$ 所在的直线垂直平分线段 $A B$ ）．
【活动1】找出大圆的圆心．
小天同学选择用 $T$ 型尺找到大圆圆心，操作方法如图2所示：
小河同学说：“类似小天的方法，我发现可以利用没有刻度的直尺和圆规找到任意一个圆的圆心．”
【活动2】求环形花坛面积．
如图3，小河说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法是：将直棒与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点 $M$ ， $N$ 之间的距离，就可求出环形花坛的面积．”
小天思考后，说：“如图4，如果直线与大圆两交点分别为 $M$ ， $N$ ，与小圆两交点分别为 $P$ ， $Q$ ，只要测出 $M N$ ， $P Q$ 的长度，也可求出环形花坛的面积．”
【解决问题】

(1)、利用尺规在图5中找到圆心（保留作图痕迹，不写作法）：

(2)、图3中，如果测得 $M N = 10 m$ ，求这个环形花坛的面积；

(3)、填空：图4中，如果测得 $M N = a$ ， $P Q = b$ ，用含 $a$ ， $b$ 的式子表示环形花坛的面积 $S_{环形花坛} =$ _____．

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10、已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + 3 (a \neq 0)$ 中的 $x$ ， $y$ 满足下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 -1 ■ 3 …

(1)、求这个二次函数的解析式；

(2)、直接写出当 $y < 0$ 时， $x$ 的取值范围．

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11、校体育节即将开幕，篮球、排球、拔河比赛将同时开展，三项比赛均需要多名志愿者协助，小聪和小明分别被随机分配到其中一项比赛担任志愿者．

(1)、求小聪被分配到篮球比赛当志愿者的概率．

(2)、请用画树状图或列表的方法，求出小聪和小明被分配到同一比赛当志愿者的概率．

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12、如图，在 $Rt △ O A B$ 中， $∠ O A B = 90 °$ ，且点 $B$ 的坐标为 $(4, 2)$ ，将 $△ O A B$ 绕点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $△ O A_{1} B_{1}$ ．

(1)、画出 $△ O A_{1} B_{1}$ ；

(2)、求在旋转过程中，线段 $O B$ 扫过的面积（结果保留 $π$ ）．

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13、在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 1, 3)$ ， $B (5, 3)$ ，若 $C$ 是坐标轴上的一点，且 $∠ A C B = 90 °$ ，则满足条件的点 $C$ 的坐标为．

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14、如图，把 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $75 °$ 得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ．若 $∠ B A C = 35 °$ ，则 $∠ B A C^{'}$ 的度数为．

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15、设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} + 5 x = 0$ 的两个根，则 $x_{1} + x_{2} =$ ．

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16、如图，已知 $△ A B C$ 中， $∠ B = 70 °$ ， $B C = 6$ ，以 $B C$ 为直径作半圆（圆心为点 $O$ ），分别交 $A B$ ， $A C$ 于点 $D$ ， $E$ ．若 $\overset{⌢}{D E} = \overset{⌢}{B D}$ ，则 $\overset{⌢}{C E}$ 的长为（）．

A、 $\frac{10 π}{3}$ B、 $\frac{5 π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{2}$

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17、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 10$ ，点 $O$ 为 $A B$ 的中点，若以点 $O$ 为圆心，5为半径作 $⊙ O$ ，则下列判断正确的是（）．

A、点 $C$ 在 $⊙ O$ 外 B、点 $C$ 在 $⊙ O$ 上 C、点 $C$ 在 $⊙ O$ 内 D、无法判断

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18、下列关于二次函数 $y = {(x - 2)}^{2} - 3$ 的说法正确的是（）

A、图象是一条开口向下的抛物线 B、顶点坐标是 $(- 2, - 3)$ C、函数图象与 $y$ 轴交于正半轴 D、 $y$ 有最大值，最大值为 $- 3$

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19、已知点 $A (m, - 2)$ 与点 $B (3, n)$ 关于原点对称，则 $m + n$ 的值为（）

A、 $5$ B、 $4$ C、 $- 5$ D、 $- 1$

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20、彩票是公平公正的机会游戏，国家发行彩票的目的是筹集社会公益资金，促进社会公益事业发展．已知某种彩票的中奖概率为 $1 %$ ，则下列说法正确的是（）

A、买 $1$ 张这种彩票，不可能中奖 B、买 $200$ 张这种彩票，可能有 $2$ 张中奖 C、买 $100$ 张这种彩票，一定有 $1$ 张中奖 D、若 $100$ 人每人买 $1$ 张这种彩票，一定会有一人中奖

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