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1、有八张完全相同的直角三角形纸片，如图1所示，其边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a < b < c$ ．现将其中四张纸片拼得如图2所示的正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 和正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ ．

(1)、正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边长为_________．

(2)、请你用两种不同的方法表示正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ 面积，并写出 $a^{2}$ ， $b^{2}$ ， $c^{2}$ 之间的数量关系．

(3)、若将剩余的四张纸片按图3的方式拼在图2外围，可得正方形 $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ ．若正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的面积为49，正方形 $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ 的面积为289，求正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ 的面积．

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2、若一个两位数 $t$ 满足其十位数字小于个位数字，则称这个两位数为“逐增数”，将“逐增数” $t$ 的个位数字与十位数字的差放在 $t$ 的前面得到的三位数记为 $t_{1}$ ，将 $t$ 的个位数字与十位数字的差放在 $t$ 的后面得到的三位数记为 $t_{2}$ ， $F (t) = \frac{t_{1} - t_{2}}{9}$ ，如：当 $t = 25$ 时， $t_{1} = 325$ ， $t_{2} = 253$ ， $F (t) = \frac{325 - 253}{9} = 8$ ，若m为最大的“逐增数”，则 $F (m) =$ ，已知 $x = 10 a + b$ ， $y = 10 b + c$ ( $a$ ， $b$ ， $c$ 为整数且 $1 \leq a$ ， $b$ ， $c \leq 9$ )， $x$ ， $y$ 均为“逐增数”且满足 $\frac{F (x) + F (y) + x + y}{11}$ 为完全平方数，则 $x + y$ 的最大值与最小值之差为．

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3、已知 $x^{m} = 2$ ， $x^{n} = 5$ ，则 $x^{3 m - n}$ 的值为．

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4、如图，一艘船从点 $A$ 出发，沿东北方向航行至点 $B$ ，再从点 $B$ 出发沿南偏东 $15 °$ 方向航行至点 $C$ ，则 $∠ A B C =$ $°$ ．

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5、已知：如图，点 $A$ ， $D$ ， $C$ 在同一条直线上， $A B ∥ D E$ ， $A B = A D$ ， $A C = D E$ ，

(1)、求证： $∠ C = ∠ E$ ；

(2)、若 $A B = 3$ ， $D E = 5$ ，求 $C D$ 的长．

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6、填空：（请补全下列证明过程及括号内的推理依据）
已知：如图， $∠ A = ∠ D$ ， $∠ B = ∠ C$ ．求证： $∠ 1 = ∠ 2$ ．
证明：∵ $∠ B = ∠ C$ （已知），
∴ $A B ∥ C D$ （______）．
∴ $∠ D = ∠$ ______（______）．
∵ $∠ A = ∠ D$ （已知），
∴ $∠ A = ∠ 4$ （等量代换）
$∴ A H ∥$ ______（______）．
∴ $∠ 1 = ∠$ ______（______）．
∵ $∠ 2 = ∠ 3$ （______），
∴ $∠ 1 = ∠ 2$ （等量代换）．

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7、先化简，再求值： $[{(2 x - y)}^{2} + (2 x - y) (y + 2 x) - 2 x (x - 3 y)] \div 2 x$ ，其中 $x = 2 ， y = - 1$ ．

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8、计算：

(1)、 $- 1^{2024} - |- 3| + {(\frac{1}{3})}^{- 2} + {(π - 3.14)}^{0}$ ；

(2)、 $a^{3} \cdot a^{5} + {(a^{2})}^{4} + {(- 2 a^{4})}^{2}$

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9、如图，点D在 $△ A B C$ 边 $A B$ 的延长线上，且 $A B = B D$ ．以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交 $△ A B C$ 边 $A C$ ， $A B$ 于点M，N；再以点D为圆心，以 $A N$ 长为半径画弧，交 $A D$ 于点 $N^{'}$ ；再以点 $N^{'}$ 为圆心，以 $M N$ 长为半径画弧交前弧于点 $M^{'}$ ，作射线 $D M^{'}$ ．已知点E为射线 $D M^{'}$ 上一点，连接 $B E$ ，请你添加一个条件，使 $△ A B C ≌ △ D B E$ ．（写出一个条件即可）

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10、若代数式x²+3x+5可以表示为（x+1）²+a（x+1）+3的形式，则a＝．

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11、若 ${(a - 2)}^{2} + |b - 6| = 0$ ，则以a、b为边长的等腰三角形的周长是．

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12、如果 $(a - b - 3) (a - b + 3) = 40$ ，那么 $a - b$ 的值为（　　）

A、49 B、7 C、﹣7 D、7或﹣7

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13、在 $△ A B C$ 中， $∠ A : ∠ B : ∠ C = 1 : 4 : 5$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、锐角三角形

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14、如果锐角 $α$ 的余角是 $48 °$ ，那么锐角 $α$ 是（）

A、 $42 °$ B、 $132 °$ C、 $48 °$ D、 $138 °$

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15、“墙角数枝梅，凌寒独自开”，梅花因为其自强不息、坚贞不屈的高洁品质常被世人传颂．若某梅花花粉直径约为 $0.000042$ 米，则数据 $0.000042$ 用科学记数法表示为（）

A、 $42 \times 10^{- 6}$ B、 $4.2 \times 10^{- 6}$ C、 $42 \times 10^{- 5}$ D、 $4.2 \times 10^{- 5}$

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16、下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{8}$ C、 ${(3 a^{3} b^{3})}^{2} = 9 a^{6} b^{6}$ D、 $a^{8} \div a^{4} = a^{2}$

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17、如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别在 $A D ， C D$ 上，且 $A E = D F$ ， $B E$ 与 $A F$ 相交于点 $O$ ， $P$ 是 $B F$ 的中点，连接 $O P$ ．

(1)、 $B E$ 与 $A F$ 之间有怎样的关系？请说明理由．

(2)、若 $A E = D F = 1$ ， $A B = 4$ ，求 $O P$ 的长．

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18、如图， $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 是 $A C$ 上一点，连接 $B E$ ， $D E$ ．且 $B E = D E$ ．

(1)、求证： $E O ⊥ B D$ ；

(2)、若 $A B = 20 cm$ ， $∠ B A C = 60 °$ ，求 $▱ A B C D$ 的面积．

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19、如图，已知 $▱ A B C D$ ，延长 $A B$ 到 $E$ ，使 $B E = A B$ ，连接 $B D$ ， $E D$ ， $E C$ ，若 $E D = A D$ ．

(1)、求证：四边形 $B E C D$ 是矩形；

(2)、连接 $A C$ ，若 $A D = 6$ ， $C D = 3$ ，求 $A C$ 的长．

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20、如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架 $A C = 80 cm$ ， $B C = 60 cm$ ，两轮中心的距离 $A B = 100 cm$ ．

(1)、判断支架 $A C$ ， $B C$ 是否垂直；

(2)、求点C到 $A B$ 的距离

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