相关试卷

1、如图，在 $△ A B C$ 中， $B D$ 是 $A C$ 边上的高， $∠ A = 70 °$ ， $C E$ 平分 $∠ A C B$ 交 $B D$ 于点 $E$ ， $∠ B E C = 115 °$ ，求 $∠ A B C$ 的度数．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于点D，点E是 $A D$ 上一点，连接 $C E$ ， $A B = C E$ ， $∠ B = ∠ C E D$ ，若 $B D = 4$ ， $A E = 2$ ，则 $C D$ 的长为．

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3、如图，点 $D$ ， $E$ 分别在线段 $A C$ ， $B C$ 上，连接 $A E$ ， $B D$ 交于点 $F$ ．若 $∠ A = 27 °$ ， $∠ B = 45 °$ ， $∠ C$ $= 38 °$ ，则 $∠ D F E$ 的度数为（）

A、 $110 °$ B、 $115 °$ C、 $120 °$ D、 $125 °$

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4、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 6$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，已知 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ．

(1)、求抛物线及直线 $B C$ 的解析式；

(2)、若 $P$ 为抛物线上位于直线 $B C$ 上方的一点，求 $△ P B C$ 面积 $S$ 的最大值，并求出此时点 $P$ 的坐标；

(3)、直线 $B C$ 与抛物线的对称轴交于点 $D$ ， $M$ 为抛物线上一动点，点 $N$ 在 $x$ 轴上，若以点 $D$ 、 $A 、 M 、 N$ 为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点 $M$ 的坐标．

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5、综合与实践：

素材1

福州地铁某站在工作日早高峰 $（ 7 : 00 - 9 : 00 ）$ 期间，地铁运营部门通过闸机感应系统统计发现，在 $7 : 00 - 9 : 00$ 这两小时内，A出口的人流量y（人次）与时间t（分钟）存在如下关系：以 $7 : 00$ 为起始时间点（ $t = 0$ ）

t（分钟）	0	30	60	90	120
y（人次）	10	60	80	70	30

任务1

根据已知条件，将 $(0,10)$ ， $(30,60)$ ， $(60,80)$ ， $(90,70)$ ， $(120,30)$ 在平面直角坐标系中描点，观察发现它们的连线形状近似于抛物线，所以猜想y与t满足二次函数的关系式，请求出该二次函数解析式．

素材2

福州凭借丰富的历史文化底蕴、美丽的自然风光以及特色美食，吸引了大量游客前来游玩．三坊七巷内人潮涌动；游客们穿梭于古街古巷，感受着福州的历史韵味；鼓山风景区迎来络绎不绝的登山客，俯瞰城市美景；烟台山的文艺街区也聚集了众多游客打卡拍照．某假期为吸引游客，福州地铁特推出免费乘车活动，使得客流量较平日呈现显著攀升态势，导致 $7 : 30$ 后A出口在原有人流量基础上每分钟较前一分钟额外增加2人．例如 $7 : 31$ 的人流量比原来增加2人， $7 : 32$ 的人流量比原来增加4人，以此类推……

任务2

求 $7 : 30 - 9 : 00$ 时段y与t的关系式，并指出人流量达到最大值时对应的具体时刻；

素材3

在地铁大客流应对措施中，栏杆绕行是颇为常见且有效的一种手段．通常，地铁车站会选用可移动的金属安全围栏，也就是俗称的“铁马”来设置特定的通行路径，较为常见的是设置“S”形铁马阵．

任务3

为保障乘客安全和通行效率，若地铁运营规定，当出口闸门人流量达到或超过200人次/分钟时，需启动一级客流管控，工作人员会在安检通道摆放铁马，设置绕行，以减缓客流进入站台的速度．根据任务2中y与t的关系式，通过计算，直接写出该出口需要启动一级客流管控的持续时长．

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6、如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C $(0, 3)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ．

(1)、求抛物线的解析式及点A，B的坐标．

(2)、点P为第一象限内抛物线上一点，且 $△ P A B$ 的面积等于6，求点P的坐标．

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7、某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查，每降价1元，每星期可多卖出20件，在确保盈利的前提下，设每件降价x（x为整数）元，每星期售出商品的利润为y元，解答下列问题：

(1)、请写出x与y之间的函数关系式；

(2)、当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
小明解答过程如下：
解：（1）根据题意，可列出表达式：
$y = (60 - x) (300 + 20 x) - 40 (300 + 20 x)$ ．
即 $y = - 20 x^{2} + 100 x + 6000$ ．
（2）∵ $a = - 20 < 0$ ，
∴当 $x = - \frac{b}{2 a} = 2.5$ 时，y有最大值， $y = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} = 6125$ ．
所以，当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润为6125．
老师看了小明的解题过程，说小明第（1）问的表达式是正确的，但自变量x的取值范围不准确．（2）问的答案，也都存在问题．请你就老师说的问题，进行探究，写出你认为（1）（2）中正确的答案，或说明错误原因．

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8、如图，在平面直角坐标系中，三角形 $A B C$ 的三个顶点都在格点上，请在网格中按要求画出图形（保留作图痕迹）：

(1)、画出 $△ A B C$ 以点O为旋转中心顺时针旋转 $90 °$ 后的 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(2)、画出 $△ A B C$ 关于点O的中心对称图形 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

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9、解下列方程：

(1)、 $x^{2} + 4 x + 3 = 0$ ；

(2)、 ${(2 x - 1)}^{2} - x^{2} = 0$ ．

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10、已知关于x的方程 $x^{2} + a x = 0$ ，若该方程的一个根为3，则a的值为．

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11、如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线 $x = 1$ ，点B坐标为 $(- 1, 0)$ ．则下面的五个结论：① $a b c > 0$ ；② $4 a - 2 b + c > 0$ ；③当 $y < 0$ 时， $x < - 1$ 或 $x > 3$ ；④ $2 c = 3 b$ ；⑤ $a + b > m (a m + b)$ （ $m$ 为实数且 $m \neq 1$ ）．其中正确的结论有（）个

A、1 B、2 C、3 D、4

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12、在二次函数 $y = - {(x - m)}^{2} + 6$ 中，若 $x > 2$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小，则 $m$ 的取值范围是（　　）

A、 $m = 2$ B、 $m > 2$ C、 $m \geq 2$ D、 $m \leq 2$

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13、下面的图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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14、如图 $1$ ，在平面直角坐标系中，等腰 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， C A = C B$ ，点 $B 在 x$ 轴正半轴上，点 $C 在 y$ 轴正半轴上，其中 $B (b, 0) 、 C (0, c)$ ，斜边 $A B 交 y$ 轴于点 $D$ ．

(1)、若 $b - c = 1 ， b^{2} - c^{2} = 3$ ，直接写出点 $B$ 的坐标为，点 $C$ 的坐标为，点 $A$ 的坐标为．

(2)、如图 $2$ ，已知 $A E ⊥ A B 交 x$ 轴负半轴于点 $E$ ，连接 $C E ， C F ⊥ C E ， C E 交 A B$ 于点 $F$ 、求证：点 $F 到 y$ 轴的距离等于 $c$ ；

(3)、在 $(2)$ 的条件下，若点 $A$ 在第三象限的角平分线上，记 $△ E A B$ 的面积为 $S_{1} ， △ C D F$ 的面积为 $S_{2} ， O E$ 的长度为 $a$ ．
$①$ 求证：点 $D$ 是线段 $A F$ 的中点；
$②$ 猜想一下， $S_{1} 与 S_{2}$ 有怎样的数量关系，先给出结论再写出理由 $. ($ 提示：尝试用 $a ， b ， c$ 去表示 $S_{1} 与 S_{2})$

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15、“读有益之书，做有益之事，成有益之人”，我们不妨约定：如果一个整数能表示成两个整数的平方差形式 $($ 即可以写成 $a^{2} - b^{2}$ 的形式其中 $a 、 b$ 是整数 $)$ ，则称这个数为“有益数” $.$ 例如， $3$ 是“有益数”，理由：因为 $3 = 2^{2} - 1^{2}$ ，所以 $3$ 是“有益数”．

(1)、按要求填空．
$①$ 已知 $20$ 是“有益数”，请将它写成 $a^{2} - b^{2} (a 、 b$ 是整数 $)$ 的形式； $($ 写一种即可 $)$
$②$ 整式 $x^{2} - 6 x - 7$ 可表示成 $(x - m)^{2} - n^{2} (m 、 n$ 为常数且 $n > 0)$ ，则 $m n$ 的值是；
$③$ 请判断 $122$ 是否为“有益数”，； $($ 填“是”或“否” $)$

(2)、已知 $Y = x^{2} - 2 x y - 3 y^{2} - 12 y + t (x 、 y$ 是整数， $t$ 是常数 $)$ ，要使 $Y$ 为“有益数”，试求出符合条件的一个 $t$ 值，并说明理由．

(3)、已知 $x_{1}$ 是关于 $x$ 的方程 $(k - 1) x + k = 0$ 的解， $x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $(k - 2) x + k - 1 = 0$ 的解 $($ 其中 $k$ 是常数 $)$ ，求“有益数” $Y = x_{1}^{2} - x_{2}^{2} (x_{1}, x_{2}$ 是整数 $)$ 的值．

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D 是 B C$ 边上的中线， $∠ B A D = ∠ C A D ， C E ∥ A D ， C E 交 B A$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、若 $∠ B A C = 120 ° ， A C = 5$ ，求 $C E$ 的长；

(2)、求证： $△ A B C$ 为等腰三角形．

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17、“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进 $7$ 个甲型头盔和 $6$ 个乙型头盔需要 $600$ 元，购进 $5$ 个甲型头盔和 $8$ 个乙型头盔需要 $670$ 元．

(1)、购进 $1$ 个甲型头盔和 $1$ 个乙型头盔分别需要多少元？

(2)、若该商场准备购进 $200$ 个这两种型号的头盔，总费用不超过 $10200$ 元，以甲型头盔 $58 元 /$ 个、乙型头盔 $98 元 /$ 个的价格销售完，要使总利润不少于 $6190$ 元，有多少种进货方案？

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18、阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于 $- 1$ ，记为识 $i^{2} = - 1$ ，这个数 $i$ 叫做虚数单位 $.$ 那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为 $a + b i (a, b$ 为实数 $) ， a$ 叫这个复数的实部 $. b$ 叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算： $(2 + i) + (3 - 4 i) = 5 - 3 i$ ．

(1)、填空： $i^{3} =$ ， $i^{4} =$ ；

(2)、计算： $① (3 + i) (3 - i) ； ② (3 + i)^{2}$ ；

(3)、若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知： $(x - y) + 5 i = (1 - x) - y i (x, y$ 为实数 $)$ ，求 $x ， y$ 的值．

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19、如图 $2$ ，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线 $B D$ 上，转轴 $B$ 到地面的距离 $B D = 2.5 m .$ 乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点 $A$ 时，过点 $A 作 A C ⊥ B D 于 C$ ，点 $A$ 到地面的距离 $A E = 1.5 m (A E = C D)$ ，当他从 $A$ 处摆动到 $A'$ 处时， $A' B = A B$ ，若 $A' B ⊥ A B$ ，作 $A' F ⊥ B D$ ，垂足为 $F . 求 A' 到 B D$ 的距离 $A' F$ ．

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