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1、如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编修的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一。
如图2，是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用 $弧 A C B$ 表示，点 $O$ 是 $弧 A C B$ 所在圆的圆心， $A B$ 是月洞门的横跨， $C D$ 是月洞门的拱高。现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图。
如图3，已知月洞门的横跨为 $A B$ ，拱高为 $a$ 。作法如下：
①作线段 $A B$ 的垂直平分线 $M N$ ，垂足为点 $D$ ；
②在射线 $D M$ 上截取 $D C = a$ ；
③连接 $A C$ ，作线段 $A C$ 的垂直平分线交 $C D$ 于点 $O$ ；
④以点 $O$ 为圆心， $O C$ 的长为半径作 $\overset{⏜}{A C B}$ 。
则 $\overset{⏜}{A C B}$ 就是所要作的圆弧。
解答下列问题：

(1)、请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、若 $A B = 1 m$ ， $C D = 2.5 m$ ，求 $⊙ O$ 的半径长。

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2、某工厂用甲、乙两种原料生产A，B两种产品。每日原料供应量如表一所示，每件产品所需原料及利润如表二所示：
表一
原料
甲
乙
日供应量（kg）
60
80
表二
产品类型
甲原料(kg/件)
乙原料(kg/件)
利润(元/件)
A
2
4
50
B
4
2
60
应市场需求，工厂要求每天生产的B产品数量不少于A产品数量。

(1)、若全部生产B产品，每日最多可生产件；

(2)、工厂每日最大总利润为元。

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3、如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C A = C B$ ，在 $△ C D E$ 中， $∠ D C E = 90 °$ ， $∠ E = 30 °$ ， $A B = C E = 12$ ，点C，B，E在一条直线上。若在图1的基础上，保持 $△ C D E$ 不动，把 $△ A B C$ 绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边DE上(如图2)，则旋转角 $∠ A C D =____°$ 。

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4、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与直线 $y = m x + n (m \neq 0)$ 相交于点 $P (- 2,3)$ ， $Q (5,7)$ ，则关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = m x + n$ 的解是。

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5、我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”。如图是研究“割圆术”的一个图形， $弧 A B$ 所在圆的圆心为点 $O$ ，四边形 $A B C D$ 为矩形，边 $C D$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $E$ ，连接 $B E$ ， $∠ A B E = 15 °$ ，连接 $O E$ 交 $A B$ 于点 $F$ 。若 $A B = 4$ ，则 $\overset{⏜}{A B}$ 的长为（结果保留 $π$ ）。

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6、某林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
移植的棵数 $a$
100
300
600
1000
7000
15 000
成活的棵数 $b$
87
279
535
887
6337
13 581
成活的频率 $\frac{b}{a}$ （保留小数点后三位）
0.870
0.930
0.892
0.887
0.905
0.905
根据表中的信息，估计银杏树苗在这个条件下移植成活的概率约为（精确到0.1）。

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7、写出一个二次函数，使其图象满足：①开口向下；②经过点（0，2）。这个二次函数的解析式可以是。

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8、如图，在⊙O中，点C是直径AB上的动点(不与点A，B重合)，分别以AC和BC为直径作半圆，记阴影部分Ⅰ的面积为S₁ ，周长为C₁。过点C作 $C D ⊥ A B$ 交⊙O于点D，以CD为直径作圆，记此圆(阴影部分Ⅱ)的面积为S₂ ，周长为C₂。
给出下面四个结论：
①S₁ = S₂； ②S₁ 与S₂ 之和为定值；
③C₁ 为定值；④C₂ 不超过C₁ 的一半。
上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A、①② B、③④ C、①②③ D、①③④

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9、在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系。在低光照强度范围( $200 \leq x$ <； 1000)内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围( $x \geq 1000$ )内，y与x近似成二次函数关系。其部分图象如图所示。根据图象，下列结论正确的是（）

A、当 $x \geq 1000$ 时，y随x的增大而减小 B、当x $= 2000$ 时，y有最大值 C、当y $\geq 0$ .6时， $x \geq 3000$ D、当 $y = 0$ .4时， $x = 600$

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10、已知点A( $- 2$ ， y₁)，B(1，y₂)在抛物线 $y = 2 x$ ² $+ 2 x + 1$ 上，则下列判断正确的是（）

A、1 < y₁ $= y$ ₂ B、y₁ $= y$ ₂ < 1 C、y₁ <1 <y₂ D、y₂ <1 <y₁

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11、如图， $△ A B C$ 内接于⊙O， $∠ B A C = 30$ °。分别以点A和点B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD并延长交⊙O于点E，连接OA，OE，则 $∠ A O E$ 的度数是（）

A、30° B、50° C、60° D、75°

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12、一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的根的情况，下列结论正确的是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法判断根的情况

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13、如图，将 $∆ A B C$ 绕点A逆时针旋转 $90 °$ 得到 $∆ A D E$ ，若 $A C = 6$ ，连接CE，则CE的长为（）

A、3 B、6 C、 $6 \sqrt{2}$ D、12

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14、 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射.下列航天图案是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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15、在下列事件中，不可能事件是（）

A、投掷一枚硬币，正面向上 B、从只有红球的袋子中摸出黄球 C、通常加热到 $100 ° C$ 时，水沸腾 D、射击运动员射击一次，命中靶心

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16、如图，点 $O$ 和点 $O^{'}$ 分别是正方形 $A B C D$ 和正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 对角线的交点，边 $A^{'} B^{'} ∥ A B$ 且过点 $O$ ，与边 $B C$ 交于点E， $A^{'} D$ 与边 $D C$ 交于点F，连接 $O O^{'}$ ．已知 $A B = 8$ ， $A^{'} O = E B^{'} = a (a > 0)$ ．

(1)、求证：重叠部分的四边形 $A^{'} F C E$ 是矩形．

(2)、若 $tan ∠ O^{'} O B^{'} = \frac{5}{4}$ ，求a的值．

(3)、若正方形 $A B C D$ 和正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 分别绕点O和点 $O^{'}$ 顺时针旋转相同的角度后，重叠部分的四边形恰好为正方形，且 $O O^{'} = \sqrt{13}$ ，求重叠部分正方形边长．

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17、如图，花城广场对岸有广州塔AB，小明同学站在花城广场的C处看塔顶点A的仰角为32°，向塔前进360米到达点D，在D处看塔顶A的仰角为45°．

(1)、求广州塔AB的高度（sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625）；

(2)、一架无人机从广州塔顶点A出发，沿水平方向AF飞行300米到 $A^{'}$ 处，求此时从 $A^{'}$ 处看点D的俯角的正切值．

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18、若 $α$ ， $β$ 是方程 $x^{2} + 2 x - 2025 = 0$ 的两个实数根，则代数式 $2 α^{2} + 6 α + 2 β + 5$ 的值为．

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19、解方程： $2 - \frac{2 x - 1}{3} = \frac{x + 8}{4}$

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20、已知 $a$ 和 $b$ 互为相反数， $c$ 为最小正整数， $x$ 的绝对值等于 $2$ ，求式子： $x - (a + b + c) + \frac{a + b}{c}$ 的值．

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产品类型	甲原料(kg/件)	乙原料(kg/件)	利润(元/件)
A	2	4	50
B	4	2	60

移植的棵数 $a$	100	300	600	1000	7000	15 000
成活的棵数 $b$	87	279	535	887	6337	13 581
成活的频率 $\frac{b}{a}$ （保留小数点后三位）	0.870	0.930	0.892	0.887	0.905	0.905

原料	甲	乙
日供应量（kg）	60	80