相关试卷

1、如图放置的四个几何体中，主视图、左视图和俯视图都一样的是（）

A、 B、 C、 D、

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2、据长沙统计局发布，初步核算，2025年全市实现地区生产总值为 1 573 782 000 000元，数据1 573 782 000 000用科学记数法表示为（）

A、1.573782×10¹³ B、 $1.573782 \times 1 0^{12}$ C、1.573782×10¹¹ D、157.3782×10¹⁰

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3、问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ （其中a、b、c为三角形的三边长， $p = \frac{a + b + c}{2}$ ， S为三角形的面积）．
材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式： $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ ，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S．

(1)、利用材料1解决下面的问题：
当 $a = 3 ， b = 5 ， c = 6$ 时，求这个三角形的面积：

(2)、利用材料2解决下面的问题：
已知 $△ A B C$ 三条边的长度分别是 $a = \sqrt{x + 1}, b = \sqrt{{(5 - x)}^{2}}, c = 4 - {(\sqrt{4 - x})}^{2}$ ，记 $△ A B C$ 的周长为 $C_{△ A B C}$ ．
①当 $x = 2$ 时，请直接写出 $△ A B C$ 中最长边的长度________；
②若x是满足 $0 < x \leq 4$ 的整数，当 $C_{△ A B C}$ 取得最大值时，请用秦九韶公式求出 $△ A B C$ 的面积．

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4、正方形的周长 $C$ 与边长 $a$ 之间的关系为 $C = 4 a$ ，则常量为．

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5、如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝25°，则∠EPF的度数是（　　）

A、100° B、120° C、130° D、150°

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6、如图，一圆柱体底面周长为 $40 cm$ ，高 $A B$ 为 $30 cm$ ， $B C$ 是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，求出爬行的最短路程等于（）

A、 $40 cm$ B、 $50 cm$ C、 $\sqrt{700} cm$ D、 $\sqrt{1300} cm$

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7、一个正方形的面积为8cm $^{2}$ ，则它的对角线长为（　　）

A、2cm B、2 $\sqrt{2}$ cm C、4cm D、3cm

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8、 $\sqrt{16}$ 的值是（）

A、4 B、 $\pm 4$ C、2 D、8

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9、综合与实践：后视镜的视角问题
【素材一】光的反射是生活中常见的现象，图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）．
【素材二】三角形三个内角的和等于 $180 °$ ．
如图2，小明将后视镜抽象成平面镜，画出了汽车与左侧后视镜的示意图，汽车用长方形 $A B C D$ 表示，司机位于车内左前方，眼睛用点 $O$ 表示， $O E ∥ A B$ ，左侧后视镜用线段 $A P$ 表示，左后视镜打开后 $A P$ 与 $A B$ 形成的 $∠ B A P$ 可在一定范围内调节， $∠ B A P$ 不小于 $50 °$ ，不大于 $80 °$ ，点 $H$ 为线段 $A P$ 上的任意一点，且点 $H$ 为入射点， $H H^{'}$ 为法线，图上各点均在同一平面内．
【问题解决】
（1）如图2，当 $∠ B A P = 60 °$ 时，
①若 $∠ E O H = 70 °$ ，求反射角 $∠ H^{'} H O$ 的大小；
②若入射光线 $F H$ 恰好平行于 $A B$ ，求此时 $∠ E O H$ 的大小；
【拓展应用】
（2）如图3， $M P$ ， $N A$ 为入射光线， $P O$ ， $A O$ 为反射光线， $P P^{'}$ ， $A A^{'}$ 为法线．司机在调节左侧后视镜(即 $∠ B A P$ 的大小)和移动眼睛 $O$ 的位置时，满足 $∠ E O A$ 大于 $40 °$ ．若 $∠ A O P$ 的大小始终不变，试判断 $∠ M P O - ∠ N A O$ 的值是否会发生变化，并说明理由；
（3）汽车起步时，司机要观察汽车周围环境，如图4，汽车尾部左侧有一障碍物，但他坐在驾驶位上无法看清该障碍物全貌，此时_______(填写序号)，司机就可以通过左侧后视镜观察到该障碍物全貌．
①人眼 $O$ 沿射线 $O E$ 方向向前移动；
②人眼 $O$ 沿射线 $O Q$ 方向向右移动；
③后视镜 $P A$ 绕 $A$ 点逆时针转动；
④后视镜 $P A$ 绕 $A$ 点顺时针转动．

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10、请用我们学过的知识解决下列问题：如图，平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），C（0，c）， $\sqrt{a + 4} + {(c + 3)}^{2} = 0$ ， b为 $\sqrt{7}$ 的整数部分．

(1)、a＋b＋c＝　　；

(2)、点P为坐标平面内的一个动点，若S_△_PBC＝2S_△_ABC ，求点A与点P距离的最小值；

(3)、如图2，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标．

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11、水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准 ${8m}^{3}$ ，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表：
时间项目
用水量 $(m^{3})$
费用（元）
1月
11
28
2月
15
44

(1)、请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？

(2)、小明家三月份用水量是 $24 m^{3}$ ，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？

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12、计算： $- 1^{2025} - \sqrt[3]{- 125} + \sqrt{4} + |1 - \sqrt{2}|$ ．

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13、在平面直角坐标系中，已知线段 $A B ∥ x$ 轴，且 $A B = 5$ ，点 $A$ 的坐标是 $(- 2 ， 4)$ ，则点 $B$ 的坐标为．

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14、若 $x - 3 y = 6$ ，则 $10 - x + 3 y =$ ．

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15、春节期间商场优惠促销，将甲，乙两种服装分别按标价的八折和九折出售．某顾客购买甲，乙两种服装各1件，共付182元，两种服装的标价之和为210元，则甲，乙两种服装的标价分别为（）

A、70元，140元 B、50元，100元 C、56元，126元 D、140元，70元

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16、下列命题：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；④若 $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} = 0$ ，则 $a = - b$ ；⑤实数和数轴上的点一一对应；⑥无理数都是无限小数．其中真命题的个数是（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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17、【综合探究】
数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和BDE中，∠ACB=∠BDE=90°， BC=BD=6， AC=DE=8，旋转角为（ $α （ 0^{\circ} < α < 36 0^{\circ}) .$

(1)、【初步感知】
如图1，连接AE， CD，将三角形纸片BDE绕点B旋转，求 $\frac{A E}{C D}$ 的值；

(2)、【深入探究】
如图2，在三角形纸片BDE绕点 B 旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线CF的延长线上时，延长ED交AC于点G，求CG的长；

(3)、【拓展延伸】
在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以AE为直角边的直角三角形.若能，直接写出线段AD的长度；若不能，请说明理由.

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18、【综合与实践】
【情境导入】
周末，小深和同学们到深圳湾体育中心参观。场馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试。工程师告诉大家，喷泉的水流轨迹可以用二次函数精确计算，以实现既美观又节水的效果。广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压。
【数学建模】
将草坡截面抽象为直角三角形，如图，∠ABC=90°，AB=2米，BC=6米，坡面AC上有一棵小树MN（小树粗细忽略不计，点M在斜坡上且与点C不重合，MN⊥BC)，现在斜坡底C处安装一个喷水管CP，水流呈抛物线状，恰好落在A处.技术人员以B为原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到B的水平距离x（米)与水流的高度y （米)的变化规律如表：
x
0
1
2
3
4
…
y
2
$\frac{19}{8}$
$\frac{5}{2}$
$\frac{19}{8}$
2
…
【探究任务】

(1)、根据表格数据，可得该抛物线的顶点坐标为 ▲ ，并求出水流的函数解析式。

(2)、若调试时，水流恰好经过树顶N点，
①为了美观，小树不能太高。请计算在现有水流轨迹下，这棵小树MN的最大可能高度是多少?
②若设计师希望从坡顶A处看，树底M和树顶N的视觉效果对称（即AM=AN)，请求出此时树顶N的坐标。
③在灯光测试中，需要在 MN右侧（靠近C的一侧)再放置一棵与MN等高的小树DE（D在坡面上，树干垂直BC)，且水流也能刚好经过树顶E。为保证两棵树不重叠，请直接写出第一棵树底M的横坐标m的取值范围。

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19、如图，在等腰△ABC中， AH为底边 BC上的高， ∠ACB的角平分线交AH于点D， ⊙O经过C、D两点且圆心O在△ABC的腰AC上.

(1)、请画出⊙O （尺规作图，保留作图痕迹)；

(2)、求证： AH与⊙O相切；

(3)、当 $A B = 12, c o s B = \frac{1}{3}$ 时，求⊙O的半径.

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20、随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生产生活，为人们的工作生活带来了便利.某农业公司欲购进甲、乙两种型号的农用无人机用来喷洒农药，甲型机比乙型机平均每小时少喷洒2公顷农田，甲型机喷洒50公顷农田所用时间与乙型机喷洒60公顷农田所用时间相等.该农业公司共购进甲、乙两种型号的无人机20架，其中甲型无人机4万元/架，乙型无人机5万元/架.
问题解决：

(1)、甲、乙两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地?

(2)、若公司要求这批无人机每小时至少喷洒230公顷农田，那么该公司如何购买甲型和乙型无人机，才能使总成本最低?并求出最低成本.

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时间项目	用水量 $(m^{3})$	费用（元）
1月	11	28
2月	15	44

x	0	1	2	3	4	…
y	2	$\frac{19}{8}$	$\frac{5}{2}$	$\frac{19}{8}$	2	…