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1、我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，列出的方程组应为（）

A、 ${\begin{matrix} 5 x - 2 y = 10, \\ 2 x + 5 y = 8 \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} 5 x + 2 y = 8, \\ 2 x + 5 y = 10 \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} 5 x + 2 y = 10 ， \\ 2 x + 5 y = 8 \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} 5 x + 2 y = 10, \\ 2 x - 5 y = 8 \end{matrix}$

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2、如图，把一张长方形纸片 $A B C D$ 沿 $A F$ 折叠，使点 $B$ 落在点 $B^{'}$ 处。若 $A B^{'} / / B D, ∠ A D B = 20^{\circ}$ ，则 $∠ B A F$ 的度数是（）

A、 $75^{\circ}$ B、 $70^{\circ}$ C、 $65^{\circ}$ D、 $55^{\circ}$

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3、已知 $\frac{1}{2} x^{a - 1} y^{3}$ 与 $- π x^{- b} y^{2 a + b}$ 是同类项，那么 $a, b$ 的值分别是（）

A、 ${\begin{matrix} a = 2, \\ b = - 1 \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} a = 2, \\ b = 1 \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} a = - 2, \\ b = - 1 \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} a = - 2, \\ b = 1 \end{matrix}$

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4、观察如图所示的图形，依据图形面积的关系，可以验证的一个乘法公式是（）

A、 $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ B、 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ C、 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ D、 $a (a + b) = a^{2} + a b$

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5、在跳远比赛中，某同学从点 $C$ 处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示。测是线段 $A B$ 的长度作为他此次跳远的成绩（近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（）

A、两点确定一条直线 B、两点之间，线段最短 C、垂线段最短 D、两直线平行，内错角相等

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6、已知关于 $x, y$ 的方程组 ${\begin{matrix} 2 x + m y = 0, \\ x - 2 y = 3 \end{matrix}$ 的解是 $\{\begin{cases} x = 5 \\ y = * \end{cases}$ ${\begin{matrix} x = 5, \\ y = *, \end{matrix}$ 其中 $y$ 的值被遮住了，但仍能求出 $m$ 的值是（）

A、10 B、-10 C、8 D、-2

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7、如图 1，三根木条 $a, b, c$ 相交成 $∠ 1 = 80^{\circ}, ∠ 2 = 110^{\circ}$ ，固定木条 $b, c$ ，将木条 $a$ 绕点 $A$ 顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（）

A、 $80^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $40^{\circ}$ D、 $30^{\circ}$

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8、下列运算中，正确的是（）

A、 $a^{3} + a^{3} = a^{6}$ B、 ${(a^{3})}^{3} = a^{6}$ C、 $3 a^{2} \cdot a = 3 a^{3}$ D、 $a^{6} \cdot a^{2} = a^{12}$

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9、甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字早期形式。下列甲骨文中，能看作由其中一部分平移得到的是（）

A、 B、 C、 D、

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10、如图1，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A，P在x轴正半轴上，且∠BOA=60°， OA=OB=2.

(1)、求∠OAB 的度数.

(2)、探究：
①过点O作OC∥BP，过点B作BC∥x轴，两平行线相交于点C，连结CP，试判断CP是否有最小值?若有，求出最小值；若没有，说明理由；
②如图2，作点P关于AB的对称点 P'，连结 PP'， BP'， AP'，若以点 O， A， B， P'为顶点的四边形面积是△APP'面积的 3倍，求点 P'的坐标.

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11、学习了《第 2章一元二次方程》后，小明与 DeepSeek进行了一次交流：小明问：请问，若碰到关于x的一元二次方程中，除了变量x还含有其他字母的问题，应该如何思考?
DeepSeek(深度思考)：先看二次项系数是不是零(决定它是一元一次还是一元二次方程)，再根据题目要求的根的情况(比如有根的条件，有几个根，正负等)，利用一元二次方程的知识列出关于字母的不等式或方程，解字母的值并检查答案是否合理.
根据对话，解答下列问题：
已知关于x的方程 $4 k x^{2} - 4 k x + k + 1 = 0$ 的两根为x₁ ， x₂.

(1)、当k=-1时，求x₁ ， x₂的值；

(2)、求证：不存在实数k，使 $(2 x_{1} - x_{2}) (x_{1} - 2 x_{2}) = - \frac{3}{2} ；$

(3)、若 $\frac{x_{1}}{x_{2}} + \frac{x_{2}}{x_{1}} - 2$ 的值为整数，求实数k的值.

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12、某社区为丰富居民文化生活，新建了一个图书室，初始藏书量为 200册.参照以往的管理统计，当每本书的月借阅费定为 6元时，所有藏书均可被借出；月借阅费每增加 1元(增加费用不超过 5元)，未被借出的图书将增加 4册；已借出的书每册月维护成本为 2元(包括消毒、修补)；未被借出的书每册月仓储管理成本为 1元.

(1)、当月借阅费为10元时，求图书的借阅量；

(2)、设每本书的月借阅费增加a元，写出该图书室月维护与管理成本的总和(用含a的代数式表示)；

(3)、若每月借阅收益为1144元，求每本书的月借阅费.

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13、如图，在▱ABCD中，直线EF过对角线BD的中点O，分别交AB， CD于点E， F，且2∠ABD=∠DBC.

(1)、已知∠C=69°，求∠ADB的度数.

(2)、猜想AE与CF的数量关系，并证明你的猜想.

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14、已知某地有甲，乙两家民宿.甲民宿2025年1~6月营业额(单位：万元)分别为1.0， 2.8， 3.6， 4.4， 10， 8.2.

(1)、求甲民宿的月平均营业额.

(2)、为了更好地经营民宿，现利用EXCEL 助手，把甲，乙民宿上半年月营业额绘制成如图所示的箱线图，请根据箱线图，评价两家民宿的经营状况，并提出合理的优化建议.

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15、记 $\sqrt{10}$ 的整数部分为m，小数部分为n，求代数式 $m^{2} - n^{2}$ 的值.

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16、解方程：

(1)、 $2 x^{2} = 5 x ；$

(2)、 $3 x^{2} - x - 4 = 0 .$

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17、计算：

(1)、 $\sqrt{9} - \sqrt{2} + \sqrt{8} ；$

(2)、 $(2 \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{3}) \times \sqrt{12} .$

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18、如图，四边形ABCD是正方形，点E在AB的延长线上(AB>BE)，在AB的下方作正方形BEFG，连结DG， DF.若 AB=7 $\sqrt{2}$ ， △DFG的面积为18，则DG的长为.

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19、如图，在一次游学活动中，小叶同学从O地出发，沿北偏东60°方向走了 $500 \sqrt{3} m$ 到达A地，然后又沿北偏西30°方向走了500m到达目的地B地，则O，B两地的距离是.

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20、已知长方形相邻两边的长是一元二次方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的两个根，则这个长方形的周长是.

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