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相关试卷

1、某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题.下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应地任务：

关于根的判别式的探究
素材	对于一个关于x的二次三项式 $a x^{2} + b x + c$ （a，b，c为常数，a≠0），利用根的判别式可以求该多项式的最值.比如：求 $x^{2} + 2 x + 5$ 的最小值，令 $y = x^{2} + 2 x + 5,$ 得 $x^{2} + 2 x + (5 - y) = 0$ ，则 $△ = 2^{2} - 4 \times 1 \times (5 - y) \geq 0 ，$ 解得 $y \geq 4$ ，所以 $x^{2} + 2 x + 5$ 的最小值为4.这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法.
问题解决
⑴任务1	感受新知：用判别式法求 $4 x^{2} + 4 x - 2$ 的最小值；
⑵任务2	探索新知：若关于x的二次三项式 $x^{2} + a x + 2$ （a为常数）的最小值为 $- 2$ ，求a的值；
⑶任务3	应用新知：如图，有一老板打算利用一些篱笆，一面利用墙，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃.若要围成面积为400平方米的花圃， ①设需要用的篱笆是l米，AD=x米，用含l和x的代数式表示AB的长为 ▲ 米； ②需要用的篱笆最少是多少米?

2、综合与实践：如何拍出大长腿的效果?
【数学眼光】如图（a），低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条.

(1)、【数学思维】针孔相机的成像原理：如图（b），由于光的直射，人的足部A与头部B通过小孔O的成像分别在A'，B'处，线段AB的像是线段A'B'，AB上点C的像是点C'.若 $A^{^{'}} B^{^{'}} ‖ A B,$ 求证： $\frac{A^{'} C^{'}}{B^{'} C^{'}} = \frac{A C}{B C};$

(2)、【数学语言】如图（c），小美站立在A处，摄影师给小美仰拍.小美的身高AB的像为A'B'，腿部AC的像为A'C'.试说明能拍出大长腿效果的理由.

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3、某水果批发商店经销一种高档水果，进货价为10元/千克，若按15元/千克批发，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若批发价每千克每涨价1元，日销售量将减少10千克，

(1)、当某水果批发价每千克涨价2元时，每天销售量为千克，每天共盈利元；

(2)、现该商店要保证每天盈利4500元，同时又要使顾客得到实惠，那么水果批发价每千克应涨价多少元？

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4、物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成，老师为帮助学生理解物理变化和化学变化，在课程学习中制作了如下四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，将四张卡片背面朝上。（提示：用A，B，C，D分别表示火树银花、晾干衣服、水果发霉、冰雪消融）

(1)、从中随机抽取一张，则抽到的卡片内容是物理变化的概率是；

(2)、从中随机抽取两张，利用画树状图或列表的方法求抽到的卡片内容都是物理变化的概率。

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5、解方程：

(1)、 ${(x - 1)}^{2} = 3 (x - 1)$ ；

(2)、 $x^{2} - 2 x - 4 = 0 .$

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6、如图，矩形ABCD中，∠ADB=26°，根据尺规作图痕迹，计算∠1的大小为°.

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7、近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分.如图，小刚将二维码打印在5×5的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影部分的面积为.

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8、请你写出一个负整数m的值：，使关于x的一元二次方程 ${(x - 4)}^{2} = m + 3$ 有实数根.

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9、小亮与小明在解一道一元二次方程时都发生了小错误，小亮在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是3和2；小明在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-1和-2，则原来的方程是（）

A、 $x^{2} + 5 x - 2 = 0$ B、 $x^{2} + 3 x - 6 = 0$ C、 $x^{2} - 3 x + 6 = 0$ D、 $x^{2} - 5 x + 2 = 0$

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10、如图是装满了液体的高脚杯示意图（左侧图）（数据如图），用去一部分液体后如右侧图所示，此时液面AB的宽度是（）

A、2.8cm B、3cm C、3.2cm D、3.6cm

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11、若 $\frac{x}{y} = \frac{2}{5},$ 则下列结论一定正确的是（）

A、x=2，y=5 B、2x=5y C、 $\frac{x}{x + y} = \frac{5}{7}$ D、 $\frac{x + y}{y} = \frac{7}{5}$

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12、第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举办，某体育比赛馆开设了A，B，C三个安检通道.甲从A通道进入体育比赛馆的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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13、下列方程中，是一元二次方程的是（）

A、 $2 x^{2} + 3 = 0$ B、-2x+4=0 C、 $x^{2} - \frac{1}{x} - 1 = 0$ D、 $x^{2} - y = 0$

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14、教材问题重现：

在小颖的实验中，燃烧时间每增加1m in，香可燃烧部分的长度就减少0.5cm。也就是说，随着时间的增加，香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少。为什么香的燃烧会有这样的“均匀”变化呢?与同伴进行交流。

（所谓“均匀”变化是指：一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的。）

对于“均匀”变化，下面是深度学习小组通过查阅相关资料和文献搜索后的研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务。

深度学习小组有关“匀速变化一次函数”的研究报告

研究对象：匀速变化一次函数

研究思路：按“概念————例题————探究”的路径进行研究

研究内容：

【一般概念】设y是x的一次函数，我们取自变量x的取值范围内的两个不同的值x₁ ， x₂ ，当x₁到x₂变化时，对应的y的值由y₁到y₂也随之变化，这时我们称比值 $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 为y在x₁与x₂之间的平均变化速度，当y在自变量x取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度相同时，我们称y是x的匀速变化一次函数。

【探究活动一】根据匀速变化一次函数的概念，对函数y=3x-2的研究如下：

当 $x_{1} = 1$ 时， $y_{1} = 3 \times 1 - 2 = 1$ ；当 $x_{2} = 0$ 时， $y_{2} = 3 \times 0 - 2 = - 2 。$

则 $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{- 2 - 1}{0 - 1} = 3 。$

当 $x_{3} = - 1$ 时， $y_{3} = 3 \times (- 1) - 2 = - 5$ ；当 $x_{4} = - 2$ 时， $y_{4} = 3 \times (- 2) - 2 = - 8 。$

则 $\frac{y_{4} - y_{3}}{x_{4} - x_{3}} = \frac{- 8 - (- 5)}{- 2 - (- 1)} = 3 。$

因为y在自变量x的取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度是同一个数3，所以y是x的匀速变化一次函数。

【深入探索】通过上述方法可以验证函数.y=3x-2为y关于x的匀速变化一次函数，则该函数的平均变化速度刚好等于 ▲ 。

发现结论：若 $(x_{1}, y_{1}) 、 (x_{2}, y_{2})$ 是函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）图象上的两点，则 $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} =$ ▲ .
我们只需再取图象上两点就可以快速地验证y是不是x的匀速变化一次函数。

任务一：

（1）填空：上述材料中的 $▲ =$ ；■= .
（2）请你应用以上规律直接写出过M（1，-2），N（3，4）两点的直线MN的平均变化速度 $k_{M N} =$ ▲ .

【探究活动二】
深度学习小组继续深入研究直线的平均变化速度问题，得到以下两个正确结论：
①当两条直线平行时，这两条直线的平均变化速度是相等的；
②当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的平均变化速度之积是一个定值。

任务二：

（3）如图1，直线AB与直线AC垂直于点A，且A（2，2），B（4，3），C（1，4）。请求出直线AB的平均变化速度kAB与直线AC的平均变化速度k_AC之积。

（4）发现结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的平均变化速度之积是一个定值，这个定值= ▲ 。
（5）应用结论：如图2，平面直角坐标系中正方形ABCD的顶点A（0，4），B（3，0），连接BD，过点D作直线l⊥BD，则直线l的函数表达式为 ▲ 。

15、为鼓励居民合理用电，广东某市电力公司对居民用户采取分月用电量分档收费办法（按夏季和非夏季区分），下表1是某户居民某月电费发票的部分信息：

表1：

××居民电费专用发票（非夏季标准：1~4月、11~12月）
计费期限：一个月
用电量x（度）	电价（元/度）
第一档：0≤x≤200	0.50
第二档：200<x≤400	0.55
第三档：x>400	0.80
本月实付金额：133（元）	（大写）壹佰叁拾叁元零角

表2：

x	0	50	100	200
y	0	25	m	100

根据以上提供的信息解答下列问题：

(1)、如果月用电量用x（度）来表示，实付金额用y（元）来表示，则当0≤x≤200时，y与x之间的函数关系式为。

(2)、根据（1）中函数关系式，列出y与x的几组对应值（如表2），其中m= ▲ ，并在平面直角坐标系中，根据表2中的数值描点，在图3中画出该函数的图象。

(3)、当200<x≤400时，y与x之间的函数关系式为；根据表中该用户的本月实付金额，计算该用户本月的实际用电量为度。

16、如图，三张边长分别为OA，OB，OC大小不同的正方形纸片叠放在一起，OB为边的正方形纸片的面积为20cm² ， AB=BC=1cm。（点O，A，B，C在同一直线上）

(1)、求OB的长。

(2)、若OA=m，OC=n，则：
①mn=；
②m的整数部分为， n的小数部分为。

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17、下面是小雷同学在做数学作业时的解答过程，老师批改时发现解答过程有错误： $\sqrt{3} (\sqrt{3} + 2) + {(\sqrt{3} - 1)}^{2}$
解：原式 $= {(\sqrt{3})}^{2} + 2 \sqrt{3} + {(\sqrt{3})}^{2} - 1$           ①
$= 3 + 2 \sqrt{3} + 3 - 1$           ②
$= 5 + 2 \sqrt{3}$           ③
任务一：小雷同学的解答过程是从第  ▲  步开始出现错误的（写步骤序号）；
任务二：请你写出正确的解答过程。

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18、计算题：

(1)、 $\sqrt{18} - \sqrt{8} + \sqrt{\frac{1}{2}}$ ；

(2)、 $\frac{\sqrt{24} - \sqrt{15}}{\sqrt{3}} + ∣ 2 - \sqrt{5} ∣ - \sqrt{12} \times \sqrt{\frac{1}{3}}$ 。

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19、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB=AD，CE⊥AD交AD的延长线于点E。若AC=6，AB=4，则CE=。

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20、在正比例函数y=（m-1）x中，函数值y随x的增大而增大，请写出一个符合条件的m的值：。

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