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1、万楼是湘潭的标志性建筑，学完了三角函数知识后，十二中“数学社团”的同学决定用自己学到的知识测量黄河楼的高度，他们把“测量黄河楼的高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表：

请根据表中的测量数据，求万楼的高 $A B$ ；（精确到0.1米，参考数据 $sin 37 ° \approx 0.6$ ， $cos 37 ° \approx 0.8$ ， $tan 37 ° \approx 0.75$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）；

课题	测量万楼的高		测量说明
测量示意图			说明： $C D$ 是高为 $1.5$ 米的测角仪，在点 $C$ 处测得楼顶 $A$ 的仰角 $∠ A C M = ∠ 1$ ，点 $E$ 处测得此时楼顶 $A$ 的仰角 $∠ A E M = ∠ 2$ ，（ $B$ 、 $F$ 、 $D$ 三点在同一条直线上）
测量数据	$∠ 1$ 的度数	$∠ 2$ 的度数	$C E$ 的水平距离
测量数据	$37 °$	$60 °$	73米

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2、如图．已知 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 是斜边 $A B$ 上的中线，过点A作 $A E ⊥ C D$ ， $A E$ 分别与 $C D$ ， $C B$ 相交于点H，E， $A H = 2 C H$ ．

(1)、求证： $A H \cdot A B = A C \cdot B C$ ；

(2)、求 $\sin B$ 的值；

(3)、如果 $C D = \sqrt{5}$ ，求 $B E$ 的值．

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3、小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物 $O B$ 的影长 $O C$ 为20米，小军的影长 $F G$ 为 $2.4$ 米，其中O、C、F、G四点在同一直线上，且 $O B ⊥ O C$ ， $E F ⊥ F G$ ．

(1)、①图中阳光下的影子属于______投影；
②线段 $B C$ 与线段 $E G$ 之间的位置关系为______．

(2)、已知小军的身高 $E F$ 为 $1.8$ 米，求建筑物 $O B$ 的高．

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4、在平整的地面上，把7个相同的棱长为1cm的小正方体摆成如图所示的几何体，如图所示．

(1)、画出从正面看，从左面看，从上面看该几何体得到的形状图；

(2)、如果在该几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持该几何体从左面看和从上面看得到的形状不变，那么最多可以再添加______个小正体．

(3)、如果需要给原来这个几何体表面喷上蓝漆（接触地面部分不喷漆），则喷漆面积是多少？

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5、计算： $|\sqrt{3} - 1| + (2022 - π)^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} - tan 6 0^{\circ}$ ．

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6、如图，在平面直角坐标系中，光源位于点 $P (3, 4)$ 处．木杆 $A B$ 两端的坐标分别为 $(0, 2)$ ， $(5, 2)$ ，则木杆 $A B$ 在 $x$ 轴上的影长 $C D$ 为．

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 30^{\circ}, tan C = \frac{1}{3}, A B = 4$ ，则 $B C$ 的长为．

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8、已知 $A (2 ， m + 3) ， B (m ， 1)$ 是同一个反比例函数图象上的两个点，则 $m$ 的值为．

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9、已知 $\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$ ，那么 $\frac{2 x}{x + y} =$ ．

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10、反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 与一次函数 $y = - k x + k$ 在同一直角坐标系中的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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11、如图，正方形 $A B C D$ 中， $D C = 3 D F$ ，连接 $A F$ 交对角线 $B D$ 于点 $E$ ，那么 $S_{Δ D E F} : S_{Δ A E B} =$ （）

A、 $1 : 2$ B、 $1 : 3$ C、 $1 : 4$ D、 $1 : 9$

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12、如图， $Rt △ A B C$ ， $∠ B = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，交 $B C$ 于点D， $D E$ 垂直平分 $A C$ ，交 $A C$ 于点E，则 $∠ C$ 的正切值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、1

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13、若 $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$ ，则 $\frac{x + y + z}{x + y - z}$ 的值是（）

A、 $- 9$ B、 $3$ C、 $6$ D、 $9$

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14、“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的16万人增加到2024年的25万人．设该市参加健身运动的人数的年平均增长率为x，则x满足的方程是（）

A、 $16 {(1 + 2 x)}^{2} = 25$ B、 $16 {(1 + x)}^{2} = 25$ C、 $16 (1 + x^{2}) = 25$ D、 $16 (1 + 2 x) = 25$

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15、如图，在平面直角坐标系中， $△ A O B$ 与 $△ C O D$ 是以点 $O$ 为位似中心的位似图形，若 $A (- 4, 2)$ ， $B (- 6, 0)$ ， $D (- 4, 0)$ ，则点 $A$ 的对应点 $C$ 的坐标为（）

A、 $(- 5,2)$ B、 $(- 5, 3)$ C、 $(- \frac{8}{3}, \frac{4}{3})$ D、 $(- \frac{7}{2}, \frac{3}{2})$

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16、如图所示的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数字 $- 1 ， 0 ， π ， \sqrt{5}$ ．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不记录且重新转动），则两次记录的数字都是有理数的概率是（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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17、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 0$ B、 $a x^{2} + b x + c = 0$ C、 $(x - 1) (x + 2) = 1$ D、 $3 x^{2} - 2 x y - 5 y^{2} = 0$

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18、【综合探究】探究小组通过动手折叠一张长方形纸片来研究角度问题.

(1)、【操作探究】如图1，将长方形纸片ABCD 的一角折叠，使顶点A落在点A'处，点 E， F是AB， AD 边上的点， EF为折痕，此时测量∠AEF = 70°，则∠A'EF =°；

(2)、【深入探究】如图2，按(1)的折叠方式，将长方形纸片ABCD 的一角沿 EF为折痕折叠，使得 EA'恰好平分∠FEB，求∠FEB 的度数；

(3)、【拓展提升】如图3，在长方形纸片ABCD 中，连接AC，在AC上取一点P，沿经过点 P 的折痕 PM 折叠，使得点 A落在直线 BC上的点 A'处，沿经过点 P 的折痕 PN 折叠，使得点 C 落在线段 AB 上的点 C'处，展开后，连接PA'， PC'， $∠ A^{'} P C^{'} = n^{\circ} (0 < n < 180)$ ，请直接用含 n的代数式写出两条折痕所夹的∠MPN的度数. (0°< ∠MPN <180°)

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19、【综合与实践】某学校数学兴趣小组开展“正方体纸盒的制作”活动.

(1)、【知识准备】纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒.

(2)、【动手操作】在“制作正方体纸盒”的实践活动中，数学兴趣小组利用若干个长方形纸板制作正方体纸盒.(纸板厚度及接缝处忽略不计)
方案一：制作无盖正方体纸盒
①若纸板是个边长为6cm的正方形，按图1所示的方式，在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形，小正方形的边长为 xcm，再沿虚线折合起来，可以得到一个无盖正方体纸盒.
此时， x= ▲ cm.
②若纸板是个边长为a cm的正方形，按图2所示的方式，在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形，小正方形的边长为 xcm，再沿虚线折合起来，可以得到一个无盖正方体纸盒.此时，你发现x与a之间满足的等量关系是 ▲
方案二：制作有盖正方体纸盒
③若纸板是个宽为a cm，长为b cm 的长方形纸板，按图3所示，在长方形纸板的三个角各剪去1个大小相同的小长方形(图中三个阴影部分)，剩下部分恰好可以折合成一个有盖的正方体纸盒，且其大小与方案一图2中的无盖正方体纸盒大小一样.求a与b之间的数量关系?

(3)、【能力拓展】在方案二的条件下，求代数式：2(5a-3b+1)-3(2a-b-1) 的值.

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20、为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的.其自来水收费的价目表如下：(注：水费按每户家庭每月份结算)；

类别	每月用水量	单价
第一阶梯	0~20立方米(包括20立方米)	2.50元/立方米
第二阶梯	20~30立方米(包括30立方米)	4.00元/立方米
第三阶梯	30立方米以上	6.00元/立方米

(1)、小丽家12月份用水10立方米，则应缴水费元；

(2)、小明家12月份用水25立方米，请帮小明计算他家应缴水费多少元？

(3)、小颖家12月份缴水费138元，请问小颖家用了多少水？

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