相关试卷

1、在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B = α (0 ° < α \leq 90 °)$ ，点 $O^{'}$ 在对角线 $A C$ 上运动（点 $O^{'}$ 不与点 $A$ 、点 $C$ 重合）， $\frac{O^{'} C}{A C} = k$ ，以点 $O^{'}$ 为顶点作菱形 $A^{'} B^{'} C^{'} O^{'}$ ，且菱形 $A^{'} B^{'} C^{'} O^{'}$ 与菱形 $A B C D$ 的形状、大小完全相同，即 $A^{'} B^{'} = A B$ ， $∠ B^{'} = ∠ B$ ，在菱形 $A^{'} B^{'} C^{'} O^{'}$ 绕点 $O^{'}$ 旋转的过程中， $O^{'} A^{'}$ 与边 $B C$ 交于点 $E$ ， $O^{'} C^{'}$ 与边 $C D$ 交于点 $F$ ．

(1)、【特例感知】
如图1，当 $α = 90 °$ ， $k = \frac{1}{2}$ 时，则 $C E$ 、 $C F$ 、 $B C$ 之间满足的数量关系是；

(2)、【类比探究】
如图2，菱形的边长为8， $α = 60 °$ ，求 $C E + C F$ 的值（用含 $k$ 的代数式表示）；

(3)、【拓展应用】
在（2）的条件下，连接 $O^{'} B$ ，且 $O^{'} B = 7$ ， $C F = \frac{7}{5}$ ，请补全图形并求 $C E$ 的长度．

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2、截至2025年，贵州省已建和在建的桥梁总数超3万座，世界前100座高桥中近半数位于贵州，贵州省被誉为“世界桥梁博物馆”．为了更好地研究桥梁的结构，某数学兴趣小组借助电脑绘图工具，绘制了一幅桥梁模拟图，如图1所示，拱桥是抛物线的一部分，拱顶到桥面 $A B$ 的距离为8 m，桥面 $A B$ 与河面 $C D$ 平行， $A B = 40 m$ ， $C D = 60 m$ ，以 $A$ 为原点， $A B$ 所在直线为 $x$ 轴，过点 $A$ 且垂直于 $A B$ 的直线为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系．

(1)、求拱圈抛物线的函数关系式；

(2)、一艘露出水面 $C D$ 10.5m高的航船能否在不触碰桥面 $A B$ 的情况下安全通过该拱桥？请通过计算说明理由；（不考虑航船的宽度）

(3)、如图2，为确保拱桥的稳固性，需在桥面与拱圈之间每隔5 m处设置1根垂直吊杆，若从左起第 $t$ 根与第 $(t + 1)$ 根吊杆的高度差为0.5 m，求 $t$ 的值．

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3、如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 为 $⊙ O$ 上的一点，连接 $B C$ ，点 $D$ 为 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，过点 $D$ 分别作 $A B$ 、 $B C$ 的垂线，交 $A B$ 于点 $F$ 、交 $B C$ 的延长线于点 $E$ ，连接 $B D$ ．

(1)、证明： $D E = D F$ ；

(2)、试判断 $D E$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

(3)、若 $D E = \sqrt{3}$ ， $∠ A B D = 30 °$ ，求图中阴影部分的面积．

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4、如图1，小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头，图2为洗手盆及水龙头的示意图，完全开启后，把手 $A M$ 与水平线的夹角为 $37 °$ ，此时把手端点 $A$ 、出水口点 $B$ 和落水点 $C$ 在同一直线上．其相关数据 $A M = 10 c m$ ， $M D = 6 c m$ ， $D E = 22 c m$ ， $H E = 50 c m$ ， $∠ M A N = 90 °$ ， $B D / / C E / / N M$ ，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 、 $M$ 、 $N$ 、 $H$ 均在同一平面内．（参考数据： $s i n 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $c o s 37 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $t a n 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ）

(1)、水流和水池底面的夹角 $∠ A C E$ 的度数是；

(2)、求落水点距水池边缘的距离 $C H$ 的长度．

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5、贵州省某初中科技社团甲、乙两个小组各制作了两台遥控小车，分别命名为“天眼号”和“花江号”，在100 m跑道测试中，两车从起点同时出发，已知“天眼号”的速度比“花江号”的速度快 $1 m / s$ ，当“天眼号”到达终点时，“花江号”离终点还差10 m．

(1)、求两车的速度；

(2)、甲队的同学认为：既然“天眼号”到达终点时，“花江号”距离终点10 m，那么“天眼号”从原起点向后退10 m作为新起点出发，“花江号”从原起点出发，通过这样的操作，两车就能同时出发，且同时到达终点，你赞同甲队同学的看法吗？通过计算说明理由．

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6、如图，已知在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 和 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A C = 10$ ， $B D = 8$ ．

(1)、若 $A C ⊥ B D$ ，试求四边形 $A B C D$ 的周长；

(2)、若 $A C$ 与 $B D$ 的夹角 $∠ A O D = 60 °$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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7、如图，点 $A (2, y_{1})$ 、 $B (5, y_{2})$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象上， $A C ⊥ y$ 轴，垂足为点 $C$ ， $B D ⊥ x$ 轴，垂足为点 $D$ ，延长 $C A$ 交 $D B$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、根据图象，直接比较 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 的大小： $y_{1}$ （选填“>”“<”或“=”） $y_{2}$ ；

(2)、若四边形 $O C E D$ 的面积为20，求反比例函数的表达式．

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8、为迎接3月14日国际数学日，某校举办了数学素养大赛，如表所示是八年级（1）班和（2）班前10名学生的成绩（单位：分）：
（1）班
70
80
75
90
85
80
80
75
80
85
（2）班
70
75
80
70
90
80
80
80
85
90
表格中的数据可以用折线统计图直观展示，如图所示（不完整）．
请根据上述信息，解答下列问题：

(1)、请在图中作出（1）班前10名学生成绩的折线统计图；

(2)、现要在同一个班中选出5名学生参加全区八年级数学素养团体大赛，并尽可能取得好成绩，请通过计算分析，确定应从哪个班级选拔更为合理；

(3)、参赛的5名同学中，有 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 两名男生， $B_{1}$ 、 $B_{2}$ 、 $B_{3}$ 三名女生．
若从中随机抽取两名同学担任团队的队长，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女担任队长的概率．

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9、

(1)、计算： $2^{- 1} + 2 c o s 60 ° - (3 - π)^{0}$ ；

(2)、从下列三个方程中任选一个方程，并用适当的方法解方程：
① $x^{2} - 1 = 0$ ；② $x^{2} + 3 x = 0$ ；③ $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ ．

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10、已知，如图1， $△ A B C$ 是等边三角形， $A B = 6$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别为边 $B C$ 、 $A C$ 上的两个动点（不与端点重合），且 $B D = C E$ ，连接 $A D$ 、 $B E$ 交于点 $F$ ，则 $∠ A F B =$ $°$ ；若连接 $C F$ ，如图2所示，则线段 $C F$ 的最小值为．

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11、将“”和“”按如图所示的方式有规律地排列．设图中“”的个数为 $x$ ， “”的个数为 $y$ ，写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为．

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12、学完《概率的进一步认识》后，小敏为了知道池塘中鱼的数量，捕捞了100条鱼进行标记后放回池塘．一周后，小敏又随机捕捞50条鱼，发现有2条鱼有标记，则小敏估计池塘中鱼的数量为条．

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13、计算 $\sqrt{3} \times \sqrt{5}$ 的结果是．

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14、如图1为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流 $I (A)$ 与电阻 $R (Ω)$ 之间的函数关系如图2所示，根据图象获得下列信息：
① $I$ 与 $R$ 的函数解析式是 $I = \frac{50}{R} (R > 0)$ ；②当 $R = 200 Ω$ 时， $I = 2.5 A$ ；
③在第一象限， $I$ 随 $R$ 的增大而减小；④当 $100 < R < 1000$ 时， $I$ 的取值范围是 $0.05 < I < 0.5$ ．其中正确的结论个数是

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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15、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，分别以点 $A$ 、 $C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于 $E$ 、 $F$ 两点，连接 $E F$ 交 $A C$ 于点 $O$ ，连接 $B O$ ．若 $B C = 2$ ， $A B = 4$ ，则 $O B$ 的长为

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、2.5 D、 $\sqrt{5}$

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16、“二十四节气”是华夏祖先历经千百年的实践创造出来的宝贵遗产，它与白昼时长密切相关，已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产名录，是反映气候和物候变化、指导农事活动、把握农时的重要依据．如图所示是北半球某地一年中部分节气所对应的白昼时长示意图．下列选项中白昼时长超过14小时的节气是

A、芒种 B、白露 C、立冬 D、惊蛰

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17、如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ．若 $B O = 5$ ， $A B = 6$ ，则矩形 $A B C D$ 的面积为

A、28 B、48 C、50 D、120

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18、如图所示，为了测量一颗玻璃球的体积，小明进行了下列操作：①将300 mL的水倒进一个容量为570 mL的杯子中；②将5颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗相同的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围在

A、36 mL以上，45 mL以下 B、54 mL以上，63 mL以下 C、50 mL以上，60 mL以下 D、45 mL以上，54 mL以下

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19、如图是红、黄两队某局冰壶比赛结束后的冰壶分布图．以大本营内的中心点 $O$ 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．按比赛规则，更靠近原点的冰壶为本局胜方，则获胜的冰壶所在位置位于

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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20、若分式 $\frac{2}{x + 1}$ 在实数范围内有意义，则实数 $x$ 的取值范围是

A、 $x > - 1$ B、 $x < - 1$ C、 $x = - 1$ D、 $x \neq - 1$

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（1）班	70	80	75	90	85	80	80	75	80	85
（2）班	70	75	80	70	90	80	80	80	85	90