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1、我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳复量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条还剩余1尺．木条长多少尺？如果设木条长 $x$ 尺，绳子长 $y$ 尺，那么可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} y = x + 4.5 \\ \frac{1}{2} y = x - 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} y = x + 4.5 \\ y = 2 x - 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} y = x + 4.5 \\ \frac{1}{2} y = x + 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} y = x - 4.5 \\ y = 2 x + 1 \end{array}$

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2、若a，b是正整数，且满足 $\underset{9 个 3^{a} 相加}{\underset{︸}{3^{a} + 3^{a} + ⋯ + 3^{a}}} = \underset{9 个 3^{b} 相乘}{\underset{︸}{3^{b} \times 3^{b} \times ⋯ \times 3^{b}}}$ ，则a与b的关系正确的是（）

A、 $a + 2 = b^{9}$ B、 $a + 2 = 9 b$ C、 $2 a - 9 = b$ D、 $2 a = 9 b$

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3、下列计算中，正确的是（）。

A、 ${(a^{7})}^{2} = a^{9}$ B、 $a^{7} ⋅ a^{2} = a^{14}$ C、 $2 a^{2} +3 a^{3} =5 a^{5}$ D、 ${(ab)}^{3} = a^{3} b^{3}$

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4、下列图形中， $∠ 1$ 和 $∠ 2$ 是对顶角的是（）

A、 B、 C、 D、

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5、如图1，“燕尾洲”是金华江、东阳江和武义江三江交汇之处，孕育了一代又一代金华人。如图 2，现测得三江交汇处夹角 $∠ A O B = 120^{\circ}, ∠ B O C = 100^{\circ}, ∠ A O C = 140^{\circ}$ ，为了点亮金华，现在 $M 、 N 、 P$ 处各安装一盏可旋转 $180^{\circ}$ 的探照灯，分别从 MA、NB、PC 开始按顺时针方向旋转，现测得 $∠ O M N = ∠ O N M = 30^{\circ}, ∠ O N P = ∠ O P N = 40^{\circ}, ∠ O M P = ∠ O P M = 20^{\circ}$ ，灯 M 的旋转速度为每秒 $8^{\circ}$ ，灯 N 的旋转速度为每秒 $a^{\circ}$ ，灯 P 的旋转速度为每秒 $b^{\circ}$ ，且满足 $| 2 a - 5 b | + (a + b - 7)^{2} = 0$ ．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、求灯 $M$ 开始旋转几秒时，灯光 $M A$ 第一次与 $O C$ 平行？

(3)、设三盏灯同时从起始点开始旋转，在三盏灯各旋转到 $180^{\circ}$ 之前，求当其中两盏灯的光线平行时，灯的旋转时间；

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6、“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现。例如图1，可得等式 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 或 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$

(1)、如图2，请写出你发现的恒等式：

(2)、利用（1）中的发现计算：若 $x^{2} + 4 y^{2} + 9 z^{2} = 4, 2 x y + 6 y z + 3 x z = 6$ ，求 $x + 2 y + 3 z$ 的值；

(3)、利用6个相同的宽为a，长为b的小长方形，拼成如图3所示的大长方形AMGN，记长方形ABCD面积与长方形EFGH的面积差为S，求 S(用含a的代数式表示).

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7、DeepSeek 公司开发了两款 $A I$ 模型，分别为模型 $A$ 和模型 $B$ 。由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理一批数据，模型A工作了3小时，模型B工作了5小时，一共处理了 $550 G B$ 数据．已知模型 $B$ 每小时处理的数据量比模型 $A$ 少 $10 G B$ 。

(1)、问模型 $A$ 和模型 $B$ 每小时分别处理多少 $G B$ 的数据？

(2)、现要求恰好7小时处理完550GB数据，已知此时模型A、B不能同时运行，为了能及时完成任务，把模型 B 的每小时数据处理量提高 $a G B$ ，且两模型处理数据的时间都是整小时，则整数 $a =$ ；

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8、如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点 $A 、 B 、 C$ 在小正方形的顶点上．

(1)、将 $△ A B C$ 向右平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位，请网格中画出平移后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、求出线段BC扫过的面积。

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9、如图，已知： $∠ 1 + ∠ 2 = 180^{\circ}$ ，求证： $a / / b$ ；

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10、先化简，再求值：
$(a - 2)^{2} + (2 a - 1) (a + 4)$ ，当 $a = 2$ 时，求代数式的值；

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11、已知 $x - y = \frac{1}{2}, x y = \frac{4}{3}$ ，求下列代数式的值：

(1)、 $x^{2} y - x y^{2}$ ；

(2)、 $x^{2} + y^{2}$ ．

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12、

(1)、解二元一次方程组 ${\begin{matrix} x + 2 y = 3 \\ x + 3 y = 1 ． \end{matrix}$

(2)、因式分解： $a^{2} - 10 a + 25$ ．

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13、图 1 为自制的＂福＂字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为（ $2 a + b$ ）的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁剪掉部分.图2的四个角落图形相同，其中四边形 $A B C D$ 和 $O P D Q$ 分别是边长为 $a$ 和 $\frac{a}{2}$ 的正方形，中间处是边长为（ $b - a$ ）的正方形，图3阴影部分是由四块边长为a的正方形和一块边长为b的正方形组成，且图2和图3两块阴影部分的面积都是60，则未裁剪前大正方形红布的边长为

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14、小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折登 $L E D$ 护眼灯，其示意图如图所示， $E F$ 与桌面 $M N$ 垂直．当发光的灯管 $A B$ 恰好与桌面 $M N$ 平行时，若 $∠ D E F = 116^{\circ}, ∠ B C D = 114^{\circ}$ ，则 $∠ C D E$ 的度数为

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15、若方程组 ${\begin{matrix} 3 x + y = k + 1 \\ x + 3 y = 3 \end{matrix}$ 的解 $x, y$ 满足 $x + y = 5$ ，则 $k$ 的取值 $=$

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16、已知 $x^{m} = 3, x^{n} = 4$ ，则 $x^{m + n}$ 的值是

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17、分解因式： $4 - y^{2} =$

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18、如图，将直线 $l_{1}$ 沿着 $A B$ 的方向平移得到直线 $l_{2}$ ，若 $∠ 1 = 65^{\circ}$ ，则 $∠ 2 =$

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19、对于关于x的整式，规定：若将此整式减去x，则称为一次“A操作”；若将此整式中的x替换成 $x + 1$ ，则称为一次＂ $B$ 操作＂．对于关于 $x$ 的整式我们可进行多次这样的操作，并把连续 $n$ 次相同的＂ $A$ 操作＂用＂ $A^{n}$ ＂表示，连续 $m$ 次相同的＂ $B$ 操作＂用＂ $B^{m}$ ＂表示．例如，对于整式 $x^{2}$ 依次进行 $A A A B B A$ 六次操作，这六次操作可简记为＂ $A^{3} B^{2} A$ ＂，六次操作后的化简结果为（）

A、 $x^{2} + 2$ B、 $x^{2} - 2$ C、 $2 x - 2$ D、 $2 x + 2$

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20、一个人从点 $A$ 出发，沿北偏东 $70^{\circ}$ 的方向走到 $B$ 处，再从点 $B$ 处沿南偏西 $15^{\circ}$ 的方向走到点 $C$ 处，那么 $∠ A B C$ 的度数是（）

A、 $55^{\circ}$ B、 $85^{\circ}$ C、 $105^{\circ}$ D、 $125^{\circ}$

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