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1、某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点 D 为直线 BC 上一动点(点 D 不与B，C重合)，以AD 为边在AD 右侧作正方形 ADEF，连接CF.
(1)、观察猜想如图①，当点 D 在线段 BC上时，
①BC 与CF 的位置关系为；
②BC，CD，CF 之间的数量关系为(将结论直接写在横线上).
(2)、数学思考如图②，当点 D 在线段CB 的延长线上时，(1)中的结论①、②是否仍然成立?若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明.
(3)、拓展延伸如图③，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G，连接GE，若已知AB= ， ， 请求出GE 的长.
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2、如图，在正方形ABCD中，E 是边AB上的一动点(不与点A，B 重合)，连接DE，点A 关于直线DE 的对称点为 F，连接EF 并延长交BC于点G，连接DG，过点 E 作EH⊥DE 交 DG的延长线于点 H，连接BH.
(1)、求证：GF=GC.(2)、用等式表示线段 BH 与AE 的数量关系，并证明. -
3、如图，在正方形ABCD 中，E 是DC 的中点，点 F 在BC 上，∠EAF=∠DAE，则下列结论中正确的是( ).
A、∠EAF=∠FA B、B. C、AF=AE+FC D、AF=BC+FC -
4、如图，在正方形ABCD 外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A 作AE 的垂线交DE 于点P.若AE=AP=1，PB= ， 下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=.其中正确的序号是( ).
A、①③④ B、①②⑤ C、③④⑤ D、①③⑤ -
5、如图，在正方形ABCD中，AB=6，G 是BC 的中点.将△ABG 沿AG 对折至△AFG，延长GF 交 DC 于点E，则 DE 的长为( ).
A、1 B、1.5 C、2 D、2.5 -
6、如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点 E 作EF⊥AB 于点F，EG⊥BC 于点G，连接DE，FG.下列结论：①DE=FG；②DE⊥FG；③∠BFG=∠ADE；④FG的最小值为3.其中正确的结论有( ).
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 -
7、如图，在正方形 ABCD 中，E 为AB 的中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC 交BD 于点O，则∠DOC 的度数为( ).
A、60° B、67.5° C、75° D、54° -
8、如图，正方形ABCD 的对角线AC，BD 交于点O，点M 是边AD 上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD 于点N.若四边形 MOND 的面积是1，则AB 的长为.
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9、(1)、如图，四边形 ABCD 是正方形，E 是边 BC 的中点，∠AEF=90°，且EF 交正方形的外角∠DCG 的角平分线CF 于点 F.求证：AE=EF.
(2)、变式思考：⑴从特殊到一般
如图，当E 为 BC 上的任意一点或 BC 延长线上一点(除B 点外)，其余条件不变，结论“AE=EF”还成立吗?
⑵推广原题
如图，将“正方形 ABCD”改为“正三角形 ABC”，F 为∠ACG 的平分线上一点，则当∠AEF 等于多少时，结论“AE=EF”成立?
⑶考查逆命题
如图，已知正方形边 BC 在直线MN 上，E 是 BC 上一点，以 AE为边在直线MN 的上方作正方形AEFG，连接FC，求证：∠FCN=45°.
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10、如图，正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是DA 的中点，连接BE 与CF 相交于点 P.求证：AP=AB.
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11、
(1)、如图①，已知正方形 ABCD 和正方形CGEF(CG>BC)，B，C，G在同一直线上，M 为线段AE 的中点.探究：线段MD，MF的关系.(2)、如图②，若将正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转45°，使得正方形CGEF 对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上，M 为AE 的中点.试问：(1)中探究的结论是否还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由. -
12、 如图，二次函数(b，c 为常数) 的图象交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，已知点 B的坐标为 (9，0)，点 C的坐标为 (0，-3)，连接 AC，BC.
(1)、 求抛物线的解析式.(2)、 若点 P为抛物线上的一个动点，连接 PC，当时，求点 P 的坐标.(3)、 将抛物线沿射线 CA 的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点 E 在新抛物线上，点 F 是原抛物线对称轴上的一点，若以点 B，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点 E 的坐标. -
13、 如图，E， F是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的两点， ， ， 连接 AE，AF，CE，CF.
(1)、 求证：.(2)、 若四边形 AECF 的周长为 ， 求 EF 的长. -
14、 某景区需要购买A，B两种型号的帐篷. 已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元.(1)、 求A，B两种帐篷的单价各多少元？(2)、 若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的 ， 则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？
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15、 已知的面积是1.
(1)、 如图1，若D， E分别是边BC和AC的中点，AD与BE交于点F，则四边形CDFE的面积为.(2)、 如图2，若M， N分别是边BC和AC上距离C点最近的6等分点，AM与BN相交于点G，则四边形CMGN的面积为. -
16、 如图，在中，按以下步骤作图：(1) 以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC于点D；(2) 分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；(3) 画射线AF交BC于点E. 若 ， ， ， 则AE的长为.
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17、 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ， ⊙O的半径为6，则BD的长为.
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18、 已知方程的两根分别为a和b，则代数式的值为.
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19、 已知一次函数 ， 当时，y的值可以是.（写出一个合理的值即可）
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20、 如图，是的外接圆，BC是的直径，点在BC的延长线上，连接AE，.
(1)、 求证：AE是的切线.(2)、 过点作 ， 垂足为 ， 若的面积是的面积的 3 倍， ， 求AE的长.