初中数学苏科版（2024）-试题列表-第28页

1、如图，数轴上点P表示的数可能是（）

A、

- 1.2

B、

- 0.7

C、

- 0.3

D、

- 0.2

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2、请认真阅读材料

材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程 $a x_{}^{2} + b x + c = 0, (a \neq 0, b_{}^{2} - 4 a c \geq 0)$ 的两根 $x_{1}^{}, x_{2}^{}$ 有如下的关系： $x_{1}^{} + x_{2}^{} = - \frac{b}{a}, x_{1}^{} x_{2}^{} = \frac{c}{a}$ ；

材料2：如果实数m、n满足 $m_{}^{2} - m - 1 = 0$ 、 $n_{}^{2} - n - 1 = 0$ ，且 $m \neq n$ ，则可利用根的定义构造一元二次方程 $x_{}^{2} - x - 1 = 0$ ，将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根；

材料3：如果实数m、n满足 $(m + 1)_{}^{2} + 4 (m + 1) + 2 = 0$ 、 $(\frac{n}{k})_{}^{2} + 4 (\frac{n}{k}) + 2 = 0$ ，且 $m + 1 \neq \frac{n}{k}$ ，则可利用根的定义构造一元二次方程 $x_{}^{2} + 4 x + 2 = 0$ ，将 $m + 1$ 、 $\frac{n}{k}$ 看作是此方程的两个不相等的实数根；

材料4：如果实数m、n满足 $m + n = - \frac{b}{a}$ 、 $m n = \frac{c}{a}$ ，则可利用韦达定理构造一元二次方程 $a x_{}^{2} + b x + c = 0$ ，将m、n看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有m、n两个实数根。

请根据上述材料解决下面问题：

(1)、已知实数m、n满足

m^{2} + 4 m - 2 = 0

、

n^{2} + 4 n - 2 = 0

，求

m_{}^{2} + n_{}^{2}

的值．

(2)、已知实数p、q满足

p_{}^{2} - 3 p - 2 = 0

、

1 - 3 q - 2 q_{}^{2} = 0

，且

p q \neq 1

，求

p + \frac{1}{q} + \frac{p}{q}

的值．

(3)、已知实数a、b、c满足

a + b + \frac{2 c}{c - 1} = 0

、

a b + \frac{2 + c}{1 - c} = 0

，求c的最大值．

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3、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．

(1)、尺规作图：过点D作DE∥AC，且

D E = \frac{1}{2} A C

，并使得点E在点D的左侧，连接AE，CE；（不用说明作图过程，保留作图痕迹）

(2)、在（1）的作图要求下，完成下边两问

①求证：四边形OCED为矩形；

②若菱形ABCD的边长为4，∠BCD＝60°，求AE的长．

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4、为了更好推广东本地美食——绿豆饼，让我们一起制定销售方案吧：

主题：绿豆饼销售方案制定问题
广东本地美食绿豆饼历史悠久，为了能吸引不同口味需求的人流进店消费，某店推出“榴莲绿豆饼”，“抹茶绿豆饼”两个新品．
素材1	榴莲绿豆饼：每份21元	抹茶绿豆饼：每份19元
素材2	经统计，该店7月份“榴莲绿豆饼”销售量为500份，9月份销售量为720份；而“抹茶绿豆饼”9月份销售量为660份．
素材3	为了尽快减少库存，决定10月份对“抹茶绿豆饼”作降价促销，已知每份“抹茶绿豆饼”的成本为10元．经试验，发现该款抹茶绿豆饼每降价1元，月销售量就会增加110份．
问题解决
⑴任务1	求该甜品店“榴莲绿豆饼”7月份到9月份销售量的月平均增长率是多少？
⑵任务2	为了使该店10月份“抹茶绿豆饼”的总利润达到6160元，求该抹茶绿豆饼应该降价多少元？

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5、在如图的方格纸中，△O₁A₁B₁与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．

(1)、在图中标出位似中心P的位置；

(2)、以原点O为位似中心，在第三象限画出△OAB的一个位似△OA₂B₂ ，使它与△OAB的位似比为2：1；

(3)、分别写出A，B的对应点A₂ ， B₂的坐标：A₂ ， B₂ ．

(4)、已知S_△_OAB的面积为2.5，则四边形ABB₂A₂的面积为．

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6、为了缅怀科学家，九年级某班要召开一次“科学强国”主题活动，李老师做了编号为A，B，C，D的四张卡片（如图，除编号和内容外，其余均相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．

(1)、随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为A的概率为；

(2)、小聪从4张卡片中随机抽取1张不放回，小明再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述相关科学家为国家乃至全世界做出卓越贡献的事迹，请用画树状图或列表的方法，求小聪、小明两人中恰好有一人讲述物理学家杨振宁事迹的概率．

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7、解方程：

(1)、（x+2）²﹣144＝0

(2)、2x²﹣7x+3＝0．

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8、如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比，则称该矩形为黄金矩形．如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，且AD＞AB，AD＝2，点E是AD上一点，点G是CD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，使点A落在BC边上的点F处，再将△DEG沿直线EG折叠，使点D落在EF上的点H处，则FH的长为

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9、如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．可以估计“钉尖向上”的概率是

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10、如图在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，为了使四边形BECF是正方形．可以添加一个条件（）

A、CE＝CF B、DE＝DF C、E为AB的中点 D、∠A＝45°

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11、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝8，OH＝5，则菱形ABCD的面积为（）

A、40 B、80 C、160 D、

40 \sqrt{10}

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12、如右图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）

A、

B、

C、

D、

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13、如下表是某同学求代数式ax²+bx（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程ax²+bx＝2的实数根是（）

x	…	-2	-1	0	1	2	…
ax²+bx	…	6	2	0	0	2	…

A、x₁＝﹣1，x₂＝2 B、x₁＝2，x₂＝﹣3 C、x₁＝0，x₂＝1 D、x₁＝﹣2，x₂＝3

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14、如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且DE：AE＝1：2，连接BE并延长交CD的延长线于点F，则DF：FC为（）

A、1：2 B、1：3 C、2：3 D、无法确定

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15、在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为（）

A、28 B、24 C、20 D、16

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16、若两个相似三角形的面积比为1：9，则这两个相似三角形的周长比（）

A、1：9 B、1：3 C、1：1 D、无法确定

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17、【阅读】“关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多……

(1)、【问题提出】如图（a），AD是△ABC的角平分线，求证：

\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{C D};

小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E，利用“三角形相似”；

小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点D分别作DE⊥AB交AB于点E，作DF⊥AC交AC于点F，利用“等面积法”；

请根据小明或小红的思路，选择其中一种并完成证明.

(2)、【理解应用】填空：如图（b），平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，AC=7，BE平分∠ABC交AC于点E，则CE的长度为；

(3)、【深度思考】如图（c），矩形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，将△ABE沿BE所在直线折叠，点A恰好落在边BC上的点F处.若AB=3，BC=4，求EF的长；

(4)、【拓展升华】如图（d），正方形ABCD中，G为CD上一点，连接BG，将DG沿过点G的直线折叠，使点D的对应点D'落在BG上，折痕与AD交于点H，与BC的延长线交于点E.若

B G = 4 \sqrt{5}, B C = 8,

求CE的长.

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18、某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现一元二次方程根的判别式除了可以判断一元二次方程根的情况，还可以解决其他问题.下面是该学习小组收集的素材，请根据素材帮助他们完成相应地任务：

关于根的判别式的探究
素材	对于一个关于x的二次三项式 $a x^{2} + b x + c$ （a，b，c为常数，a≠0），利用根的判别式可以求该多项式的最值.比如：求 $x^{2} + 2 x + 5$ 的最小值，令 $y = x^{2} + 2 x + 5,$ 得 $x^{2} + 2 x + (5 - y) = 0$ ，则 $△ = 2^{2} - 4 \times 1 \times (5 - y) \geq 0 ，$ 解得 $y \geq 4$ ，所以 $x^{2} + 2 x + 5$ 的最小值为4.这种利用判别式求二次三项式最值的方法称为判别式法.
问题解决
⑴任务1	感受新知：用判别式法求 $4 x^{2} + 4 x - 2$ 的最小值；
⑵任务2	探索新知：若关于x的二次三项式 $x^{2} + a x + 2$ （a为常数）的最小值为 $- 2$ ，求a的值；
⑶任务3	应用新知：如图，有一老板打算利用一些篱笆，一面利用墙，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃.若要围成面积为400平方米的花圃， ①设需要用的篱笆是l米，AD=x米，用含l和x的代数式表示AB的长为 ▲ 米； ②需要用的篱笆最少是多少米?

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19、综合与实践：如何拍出大长腿的效果?

【数学眼光】如图（a），低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条.

(1)、【数学思维】针孔相机的成像原理：如图（b），由于光的直射，人的足部A与头部B通过小孔O的成像分别在A'，B'处，线段AB的像是线段A'B'，AB上点C的像是点C'.若

A^{^{'}} B^{^{'}} ‖ A B,

求证：

\frac{A^{'} C^{'}}{B^{'} C^{'}} = \frac{A C}{B C};

(2)、【数学语言】如图（c），小美站立在A处，摄影师给小美仰拍.小美的身高AB的像为A'B'，腿部AC的像为A'C'.试说明能拍出大长腿效果的理由.

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20、某水果批发商店经销一种高档水果，进货价为10元/千克，若按15元/千克批发，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若批发价每千克每涨价1元，日销售量将减少10千克，

(1)、当某水果批发价每千克涨价2元时，每天销售量为千克，每天共盈利元；

(2)、现该商店要保证每天盈利4500元，同时又要使顾客得到实惠，那么水果批发价每千克应涨价多少元？

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