相关试卷

1、我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程。在数学史上，我国及其他国家的数学家还研究过一元二次方程的几何解法。
例：用几何解法求方程 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ 即x（x+2）=3的正根。

(1)、方法（I）：三国时期数学家赵爽用4个以x和x+2为邻边的矩形，用“拼”的方式构造边长为x+x+2的大正方形（如图1）；
根据图1的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程： ${(x + x + 2)}^{2} = 3 \times 4 + 2^{2}$ ，解得正根；

(2)、方法（Ⅱ）：阿拉伯数学家以x和x+2为邻边构造一个矩形（如图2），利用“割”、“拼”、“补”的方式构造边长为x+1的正方形（如图3、4）；
根据图4的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：，解得正根；

(3)、实际上，对关于x的方程x（x+m）=n，可以用方法（I）、（Ⅱ）求出方程的正根。若图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16，那么，此方程中的n= ，求得方程的正根为；

(4)、类比图1、图4，请选择一种方法求方程 $2 x^{2} + 5 x = 3$ 的正根。
①在图5的正方形中设计构图，并在图上标出相应的线段长度；
②根据①中的构图，可以得到新的方程： ▲ ，解得正根为 ▲ 。

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2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边上一点，连接CD，分别过点A、C作CD、AB的平行线相交于点E。

(1)、在不添加新的点和线段的前提下，请增加一个条件： ▲ ，使得四边形ADCE是菱形，并说明理由；

(2)、在（1）的条件下，尺规作图：求作点P，使得四边形ACBP为矩形。（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）

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3、深圳湾文化广场凭借“AirPods”造型建筑成网红打卡地，某商家推出以其建筑轮廓为原型的金属纪念徽章。运营数据显示：每个徽章的进货成本为30元，若每个徽章定价60元，平均每天可售出20个；当每个徽章的售价每降低5元，平均每天的销售量就会增加10个。

(1)、当每个徽章的售价降低20元时，该商家平均每天可售出个徽章，每天销售徽章的利润可达到元；

(2)、为让顾客得到实惠，每个徽章的售价降低多少元时，该商家每天销售徽章的利润可达到750元?

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4、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB的顶点都在格点上，点A、B的坐标分别为（2，8）、（6，6）。请按要求完成下列问题：

(1)、以点O为位似中心，在网格内画出 $△ P_{1} O P_{2}$ ，使 $△ P_{1} O P_{2}$ 与△AOB位似，且相似比为1：2；

(2)、△P₁OP₂的面积为；

(3)、点P₃是△AOB边上的格点（不与顶点重合），若 $△ P_{1} P_{2} P_{3}$ 与△AOB相似，则点P₃的坐标为。

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5、为让学生感受传统文化魅力、学会规划时间，某图书馆在“世界读书日”期间推出“二十四节气·时光书签”限定套装作为阅读打卡的纪念礼。套装内有四枚同款金属书签，正面分别以“春之萌芽”、“夏之繁茂”、“秋之收获”、“冬之蓄力”为主题，融合对应季节的节气元素。已知书签的形状、大小、质地均相同，且背面也完全相同，现将四枚书签正面朝下放在桌面上。

(1)、小亮从中随机抽取一枚，抽出的书签恰好是“秋之收获”的概率是；

(2)、若将四种不同主题的书签分别用A，B，C，D表示，小亮从中随机抽取一枚后放回，再从中随机抽取一枚，请用画树状图或列表的方法求出小亮抽出的两枚书签恰好是同一主题的概率。

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6、解方程：

(1)、 $x^{2} - 6 x + 5 = 0$

(2)、x（3x+2）=6x+4

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7、如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD=4DC，点E是线段BD上一点，将△BCE沿CE折叠，使点B落在AC边上的点F处，若EF⊥BD，则 $\frac{D C}{B E} =$ 。

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8、中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴。如图是一个中国结装饰，可以近似看作菱形ABCD，测得BD=16cm，AC=12cm，则菱形周长为 cm。

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9、在一次综合实践课上，小华测得旗杆的影子长为12米，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离为13米，如果此时附近一座纪念塔的影子长为60米，那么这座纪念塔的高度为米。

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10、一个不透明的盒子里有 n个除颜色外都相同的小球，其中有3个红球，每次摸球前先将盒子摇匀，任意摸出1个球记下颜色后放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的概率为20%，那么可以推算出n大约是。

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11、若3x=4y，则 $\frac{y}{x} =$ 。

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12、如图，正方形ABCD中，点E、F是BC、DC边上的点，连接AE、AF分别交DC、BC的延长线于点G、H，若∠FHG=90°，DF=FC=1，则CE的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{6}{5}$

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13、在小孔成像问题中，根据如图所示，蜡烛长2cm，若O到AB的距离是4cm，O到CD的距离是1cm，则像CD的长是（）

A、1cm B、 $\frac{2}{3}$ cm C、0.5cm D、0.4cm

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14、电影《731》上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房10亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（）

A、3（1+x）=10 B、 $3 {(1 + x)}^{2} = 10$ C、 $3 (1 + x) + 3 {(1 + x)}^{2} = 10$ D、 $3 + 3 (1 + x) + 3 {(1 + x)}^{2} = 10$

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15、在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠BAD的角平分线交BC于点E，若∠AOB=45°，则∠OAE=（）

A、12.5° B、22.5° C、20° D、65°

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16、关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + a = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）

A、a<1 B、a≤1 C、a<1且a≠0 D、a≤1且a≠0

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17、黄金分割率被视为最美丽的几何学比率，广泛地应用于建筑和艺术中。如图，已知P是笛子AB的黄金分割点 $(\frac{B P}{A B} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2})$ ，若笛子AB长52cm，则PB长为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} c m$ B、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2} c m$ C、 $26 (\sqrt{5} - 1) c m$ D、 $26 (3 - \sqrt{5}) c m$

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18、如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上.若线段AB=4，则线段BC长为（）

A、12 B、16 C、18 D、2

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19、方程 $x^{2} = 4$ 的根是（）

A、x=2 B、 $x_{1} = 2, x_{2} = - 2$ C、x=-2 D、 $x_{1} = 2, x_{2} = 0$

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20、类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1的项称为“准同类项”，例如：a²b³与3a³b²是“准同类项”.

(1)、下列单项式：①3a⁴b⁵ ， ②-5a³b³ ， ③2a²b⁴ ， ④ab⁴ ， ⑤3a³b⁴c其中与2a³b⁴是“准同类项”的是（填写序号）.

(2)、已知A、B、C均为关于a，b的多项式 $A = a^{4} b^{5} + 3 a^{3} b^{4} + (n - 2) a^{2} b^{3}, B = 2 a^{2} b^{3} - 3 a^{2} b^{n}$ +a⁴b⁵ ， C=A-B.若C的任意两项都是“准同类项”，求n的值.

(3)、|x-3|表示x与3之差的绝对值，也可以理解为在数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离.已知D，E均为关于a，b的单项式，D=3a⁵b"，E=2a"b³ ，其中m、n是正整数，n=|x-2|+m，q=m（|y+3|+|y-2|）-n，x，y和q都是有理数.若D与E是“准同类项”，则x的所有可能的结果中最大的是， q的所有可能的结果中最小的是.

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