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1、如图，在△ABC中，以AC为边向下作等边△ACD，连接BD，△ABD为等腰直角三角形，∠ADB=90°，点I为线段BC上的动点，连接IA，将IA绕点I顺时针旋转60°得到IA'，连接BA'、CA'，点P、Q分别为线段AB、A'B上的两个动点，连接PQ，BQ=A'P，连接AP，点O为△BPQ的外心，点T为直线AC上的动点，连接OA、OC、OP、OT，当A'B与OP同时取最小值时，若△COT和△BA'C相似，则 $\frac{S_{△ A O T}}{S_{△ A O P}}$ =。

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2、对于△ABC给出如下定义：若点M是边BC上一定点，且以M为圆心的半圆满足：
①所有点均在△ABC的内部或边上：
②半径最大。
则称此半圆为BC边上的点M关于△ABC的最大内半圆。若点M是BC边上一动点（M不与B、C重合），则在所有的点M关于△ABC的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为边BC关于△ABC的内半圆。
已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点E的坐标为（3，0），点P在直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 上运动，将OE关于△OEP的内半圆半径记为R，当 $\frac{3}{4} \leq R \leq 1$ 时，设点P的横坐标为t，则t的取值范围是。

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3、我们规定：对于四位数 $M = \bar{a b c d}$ （a、b、c、d分别为千位、百位、十位、个位数字），若满足a+b=c+d=10，则称该四位数为“十全数”。例如四位数1928，因1+9=2+8=10，故1928是“十全数”.对于“十全数” $M = \bar{a b c d}$ ，将其千位与个位数字调换、百位与十位数字调换，得到新数 $M^{,} = \bar{d c b a}$ ，记 $F (M) = \frac{M - M^{'}}{909}, G (M) = \frac{M + M^{'}}{11} 。$ 若 $\frac{4 F (M) + G (M^{'}) + 15}{13}$ 与 $\frac{\bar{a b} + \bar{c d}}{17}$ 均为整数，则满足条件的M的值是。

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4、解方程 $2^{\frac{3 x + 5}{x - 3}} + 2^{\frac{x - 17}{x - 3}} = 6 \sqrt{2}$ 的结果是。

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5、如图，△ABC内接于⊙O，连接OC，过点A作AF⊥BC于点F，延长AF交⊙O于点H，点E为 $\hat{A B}$ 上的点，连接CE交AH于点G，交AB于点G，∠ACE=∠OCB，GH=2BF，过点O作OK⊥BC于点K，EG=2OK，当 $O C = \sqrt{6}$ 时，AG=（）

A、 $3 - \sqrt{3}$ B、 $1 + \sqrt{7}$ C、 $4 - \sqrt{5}$ D、 $3 + \sqrt{2}$

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6、如图，在△ABC中，将△ABC的边AC绕点C顺时针旋转 $α (18 0^{\circ} - ∠ A C B < α < 18 0^{\circ})$ 至CD，直线CD、AB交于点F，∠BEC=60°，AB=AC=6，点P在线段AD上， $A P = \frac{3}{2} C F,$ 点G、H分别为线段CP、AP上的两点，连接GH，将△ACP沿GH折叠，使得点P的对应点点P落在AC上，连接PP'交GH于点O，当CP最小时，点O到AC的距离为（）

A、3 B、 $3 \sqrt{7} - 3 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{9 \sqrt{7}}{14}$

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7、 1837年，法国数学家旺策尔首次严格证明了尺规作图无法实现三等分任意角的结论，即如果给出一个任意角，只使用圆规和一把没有标出刻度的直尺，不可能把这个角三等分.但数学上从未不允许使用其他工具来三等分一个角。为实现这一目的，人们想出了很多机械工具，并把这类工具称为三分角器.如图1所示的阴影部分就是一个三分角器，其简图如图2所示。已知A、B、O三点共线，其中AB=OB，BD⊥AC，以点O为圆心，OB长为半径作圆，⊙O与直线OB交于另一点C，直线BD与⊙O相切于点B，将∠KSM的顶点S放到这个三分角器的直线BD上，使∠KSM的一边过点A，另一边SM与⊙O相切于点N，设SO与⊙O交于点Q，与BN交于点P，连接BN，记 $△ B S O,$ △BOQ，△BNC的面积分别为S₁、S₂、S₃ ，若 $O B = 1,5 S_{2} = S_{1} + S_{3},$ 记线段l的长度为OS+2CN+OB，若用线段l围成一个平行四边形，其面积为S，周长为C，则 $\frac{S}{S + C}$ 的最大值是（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{3}{11}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{2}{5}$

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8、古希腊著名的约瑟夫环问题讲的是：共有127个士兵，围成一个环，从一号位的士兵开始，每个存下活来的人依次杀死相邻的下一位士兵。若一名叫做约瑟夫的士兵想要存活到最后，那么他最开始应当站在几号位上?（）

A、1 B、63 C、127 D、31

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9、已知函数 $y = {\begin{array}{l} - \frac{1}{4} {(x - 1)}^{2} + 1, - \frac{7}{3} \leq x \leq 3 \\ \frac{1}{2} x^{2} - \frac{9}{2}, x ≻ 3 \end{array}$ ，当 $- \frac{7}{3} \leq x \leq t - n$ 时，y的最小值为 $\frac{11}{9} - \frac{5}{t},$ 最大值为 $\frac{8}{3} - ı,$ 则实数n的取值范围是（）

A、 $n ⩽ - \frac{2}{3}$ 或 $n \geq \frac{3 \sqrt{11} - 5}{3}$ B、 $n \leq \frac{5 - 3 \sqrt{11}}{3}$ 或 $n \geq \frac{2}{3}$ C、 $\frac{5 - 3 \sqrt{11}}{3} \leq n \leq \frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3} \leq n \leq \frac{3 \sqrt{11} - 5}{3}$

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10、对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”。如：四位数7311，∵7—1=6，3—1=2，∴7311是“天真数”：四位数8421，∵8—1≠6，∴8421不是“天真数”，若一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记.P（M）=3（a+b）+c+d，Q（M）=a-5，若 $\frac{P (M)}{Q (M)}$ 能被10整除，则满足条件M的最大值是（）

A、9173 B、9313 C、8972 D、9014

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11、已知关于x的多项式 $A_{n} = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + \dots + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0},$ 其中n为正整数，各项系数各不相同且均不为0，交换任意两项的系数，得到的多项式我们称为原多项式的“兄弟多项式”，则下列说法中正确的个数是：（）
①多项式A₃共有6个不同的“兄弟多项式”：
②多项式An=（1-2x）"的所有系数之和为±1：
③若多项式A₂₀₂₅=（1—2x）²⁰²⁵ ，则 $a_{2025} + a_{2023} + a_{2021} + \dots + a_{3} + a_{1} = \frac{- 1 - 3^{2025}}{2} 。$

A、3 B、2 C、1 D、0

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12、为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方。点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动。设AQ为x（km），（0≤x≤n），PQ²为y（km²）。y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过点E（1，225）和F（n，225）两点。下列选项正确的是（）

A、m=12 B、n=24 C、点C的纵坐标为240 D、点（15，85）在该函数图象上

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13、在狼人杀游戏中，有一个板子叫做“灯影预言家”，规则如下：好人阵营有“真预言家”和“灯影预言家”两名预言家，但两人均不知道自己是否是灯影，两人每晚可查验一名玩家：1.真预言家若查验到好人，则显示为好人，若查验到狼人，则显示是狼人：2.灯影预言家若查验到狼人，则显示为好人，若查验到好人，则显示是狼人。现在有12人玩游戏，4个狼人，1个预言家，1个灯影预言家，1个女巫，1个守卫，1个骑士，3个平民。第一天白天时，1号起跳预言家报明4号为好人，4号起跳报1号好人，5号起跳报1号狼人，8号起跳报4号狼人，若没有好人假跳预言家，则这4个人中是狼人的组合可能是（）

A、1号和4号 B、4号和5号 C、1号和5号 D、5号和8号

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14、如图，已知四边形ABCD内接于⊙O， BD为⊙O的直径， $\hat{A C} = \hat{B C},$ 过点C作 CG⊥BD分别交 BD， AB， ⊙O于点 E， F， G.

(1)、求证： ①∠GCB=∠CBA. ②BE=AD+DE

(2)、当BF=2GF时，求 $\frac{S_{△ D C E}}{S_{△ B E F}}$ 的值.

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15、在平面直角坐标系xOy中，点P为抛物线 $y = x^{2} + 2 t x + t^{2} + 2 t$ 的顶点.

(1)、求点 P的坐标(用含t的代数式表示).

(2)、直线OP 交抛物线于点 Q(x₂ ， y₂).
①若点O恰为PQ的中点，求此时t的值.
②点 M(x₃ ， y₃)在抛物线上，当 $0 < x_{3} < 2$ 时，y_2＜y₃始终成立，求t的取值范围.

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16、如图， E是正方形ABCD的边CD上一点(不与C， D重合)，分别以B，E为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ BE长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，直线MN交AC于点 F，连结BF， DF， EF
.

(1)、根据题中的尺规作图法可知：直线MN是线段BE的.

(2)、求证： FD=FE.

(3)、当∠EBC=20°时，求∠ABF的度数.

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17、某班数学兴趣小组的同学在计算探究中发现：
$\frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{13}{6} > 2,1 + 1 = 2, \frac{4}{3} + \frac{3}{4} = \frac{25}{12} > 2,2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} > 2,$ …于是猜想：任意正数与它倒数的和一定大于等于2.

(1)、这个猜想用代数式可表示为：.

(2)、请用代数推理的方法证明这一猜想.

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18、某影视城引入一款智能导游机器人，让其与景区人工导游开展“景点讲解”项目的比拼，邀请10位游客分别对二者进行打分，打分成绩采用百分制，结果如下：

平均数
中位数
众数
方差
机器人
92
b
95
8.2
人工
a
90
c
108.8
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、上述表格中： a= ， b= ， c=.

(2)、根据以上数据分析，智能导游机器人和人工导游在“景点讲解”项目谁更有优势，并说明理由.

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19、如图，在△ABC中， ∠B=30°， sinC= $\frac{3}{4}$ ， AC=8.

(1)、求AB的长.

(2)、求△ABC的面积(结果保留根号).

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20、解不等式组： ${\begin{matrix} 2 x - 1 < 3, \\ x + 4 > 5 . \end{matrix}$

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	平均数	中位数	众数	方差
机器人	92	b	95	8.2
人工	a	90	c	108.8