相关试卷

1、【代数推理】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”.小华和小明对“智慧数”进行了深入的研究.

(1)、小明的方法是从小到大逐一列举：
3 $= 2^{2} - 1^{2}, 5 = 3^{2} - 2^{2}, 7 = 4^{2} - 3^{2}, 8 = 3^{2} - 1^{2}, 9 = 5^{2} - 4^{2}, 11 = 6^{2} - 5^{2}, \dots$ …
则小明列举的第8个“智慧数”是.

(2)、小华在小明列举的基础上发现：除1外，所有的正奇数都是“智慧数” ，并进行了如下证明：
证明：设k是正整数，
$∵ {(k + 1)}^{2} - k^{2} = (k + 1 + k) (k + 1 - k) = 2 k + 1,$
又∵k是正整数，
∴2k+1为大于或等于3的奇数.
∴除1 外，所有的正奇数都是“智慧数”.
她还发现：除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数” ，请参考上面的方法进行证明。

(3)、用含有k的式子表示除1、2、4外的其它非“智慧数”：.（k是正整数)

(4)、根据（3）的结论，将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是多少?

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2、如图，在锐角 $△ A B C$ 中，点E是AB边上一点， $B E = C E, A D ⟂ B C$ 于点D， AD与EC交于点G.

(1)、求证： $△ A E G$ 是等腰三角形.

(2)、若BE=10，CD=3，G为CE中点，求AG的长.

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3、“满筐圆实骊珠滑，入口甘香冰玉寒”，提子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C，深受大家喜爱，某水果超市为了解两种提子市场销售情况，购进了一批数量相等的青提和红提供客户对比品尝，购买2千克红提和5千克青提用了78元，购买3千克红提和4千克青提用了75元.

(1)、求每千克红提和青提进价各是多少元.

(2)、若该水果商城决定再次购买同种红提和青提共40千克，且再次购买的费用不超过450元，且每种提子进价保持不变，若红提的销售单价为13元，青提的销售单价为18元，则该水果超市应如何进货，使得第二批的红提和青提售完后获得利润最大?最大利润是多少?

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4、如图，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，以点O为原点建系.

(1)、将△ABC先向上平移5个单位，再向右平移 1 个单位得到△A₁B₁C₁ ，画出△A₁B₁C₁ ，并直接写出A₁的坐标 ▲ ；

(2)、将△A₁B₁C₁绕点（0，-1)顺时针旋转90°得到△A₂B₂C₂ ，画出△A₂B₂C₂；

(3)、 △A₂B₂C₂是由△ABC绕点（写坐标)顺时针旋转度得到的.

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5、解不等式组：

(1)、 $\{\begin{cases} \begin{matrix} 3 x - 2 < 2 x + 2 \end{matrix} \\ 6 - x \geq 1 - 3 （ x - 1) \end{cases}$

(2)、 ${\begin{matrix} 5 x + 12 > 6 - 3 x \\ \frac{4 + x}{3} - 1 \geq \frac{1 - x}{3} . \end{matrix}$

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6、如图， D是等边三角形ABC外一点，连接AD、BD、CD，已知BD=8， CD=3，则AD的最小值为.（此时∠BDC=

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7、如图△ABC中， $A C = \sqrt{2}, A B = 3, ∠ C A B = 4 5^{\circ},$ ，将BC边绕点B顺时针旋转90°至BD，连接AD，则AD=.

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8、在Rt△ABC中， ∠C=90°， BC=6，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ EF的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP交BC于点D.若∠B=∠CAD，则BD的长为.

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9、如图，点O是等边△ABC内一点， OA=2， OB=2 $\sqrt{3}$ ， OC=4，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，则 $S_{△ A B C} - S_{△ A O C}$ 的值为（ )

A、 $5 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{11 \sqrt{3}}{2}$

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10、若关于x的不等式组 ${\begin{matrix} 2 x - a < 0 \\ \frac{x - 1}{2} + 2 \leq x \end{matrix}$ 的解集只有3个整数解，则a的取值范围是（ )

A、10<a≤12 B、10≤a<12 C、9≤a<10 D、9<a≤10

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11、如图，△ABC中， ∠BAC=55°，将△ABC逆时针旋转（ $α （ 0^{\circ} < α < 5 5^{\circ})$ 得到△ADE ， DE交AC于F .当α=42°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（ )

A、80° B、82° C、84° D、86°

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12、如图，在△ABC中， BC=9cm.将△ABC沿BC所在直线向右平移，所得的对应图形为△DEF ，当点E在点C左侧时，连接AD，若AD=2CE，则平移的距离是（ )

A、12cm B、9cm C、6cm D、15cm

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13、如图，函数y= ax+4和y=2x的图象相交于点A（m，3)，则不等式 ax+4>2x的解集为（ )

A、 $x < \frac{3}{2}$ B、x<3 C、 $x > \frac{3}{2}$ D、x>3

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14、下列由左到右的变形中属于因式分解的是（ )

A、 $24 x^{2} y = 3 x \cdot 8 x y$ B、 $x^{2} + 2 x + 1 = {(x + 1)}^{2}$ C、 $x^{2} - 2 x - 3 = x (x - 2) - 3$ D、 $(x + 3) (x - 3) = x^{2} - 9$

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15、下列图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ )

A、 B、 C、 D、

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16、如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，对角线AC与BD相交于点E ，对角线AC平分∠BAD.点F在线段AC上，满足CF=CD ，连接FB ， FD.

(1)、求证：△ABE∽△ACD；

(2)、若S_△_BCD=S_△_BFD ，求 $\frac{A B + A D}{B D}$ 的值；

(3)、若∠BFD=∠BCD ， ⊙O的半径为1，记DE=x ， $\frac{C D}{A B} \cdot \sqrt{\frac{A C}{C E}} + \frac{1}{C E \cdot A D} = y$ ，试求出y关于x的函数解析式，并直接写出 $\frac{1}{y}$ 的最大值.

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17、如图，抛物线y=ax²+bx+c（abc≠0）与x轴交于点A（x₁ ， 0），B（x₂ ， 0）（0＜x₁＜x₂），与y轴交于点C ，顶点为点D ，直线CD与x轴交于点M ，点O为坐标原点，不妨约定：若M为线段OB中点，则称该抛物线为“X—型”抛物线；若M为线段CD中点，则称该抛物线为“Y—型”抛物线.根据该约定，完成下列各题.

(1)、下列抛物线中是“X—型”抛物线的有：（填序号）；
①y=x²-3x+4；②y=x²-2x-3；③y=x²-4x+3；

(2)、若抛物线y=ax²+bx+c（abc≠0）为“Y—型”抛物线，且直线CD的解析式为y=-2x+c ，求 $\frac{x_{2} - x_{1}}{x_{1}}$ 的值；

(3)、抛物线G：y=x²+bx+c为“X—型”抛物线，若将抛物线G向下平移2个单位长度后得到的新抛物线是“Y—型”抛物线，试求出抛物线G的解析式.

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18、如图，已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.6米.（参考数据： $s i n 3 7^{°} \approx \frac{3}{5}$ ， $c o s 3 7^{°} \approx \frac{4}{5}$ ， $t a n 3 7^{°} \approx \frac{3}{4}$ ， $s i n 2 2^{°} \approx \frac{3}{8}$ ， $c o s 2 2^{°} \approx \frac{15}{16}$ ， $t a n 2 2^{°} \approx 0.4$ ）.

(1)、真空管上端B到水平线AD的距离；

(2)、求安装热水器的铁架水平横管BC的长度.

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19、 2026年央视春晚舞台上，多款国产智能机器人惊艳亮相，展现了我国人工智能与机器人技术的飞速发展.某科技公司计划采购A、B两款小机器人，用于科普展览.已知购买1台A型机器人与2台B型机器人共需要700元；购买2台A型机器人与3台B型机器人共需要1200元.

(1)、求A型机器人和B型机器人的单价分别为多少元？

(2)、该公司计划采购A、B两种型号机器人共200台，且总费用不超过50000元，那么最多能购买A型机器人多少台？

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20、如图，AB是⊙O的直径，AE是⊙O的弦，作OC⊥AB交AE于点F ，连接AC交⊙O于点D ，若CE=CF.

(1)、试判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)、若AB=6，OF=1，求AE的长.

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