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1、如图是由边长为1的小正方形组成的 $6 \times 7$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，格点A、B、C在同一个圆上．只用无刻度的直尺分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．

(1)、在图①中，画出圆心O；

(2)、在图②中，在 $⊙ O$ 上画点D，使 $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{A D}$ ．

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2、已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A C$ ， $B C$ 是 $⊙ O$ 的弦， $D$ 为 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点， $O D$ 与 $A C$ 交于点 $E$ ．

(1)、如图①，若 $∠ B O D = 128 °$ ，连接 $B D$ ，求 $∠ B A C$ 和 $∠ C B D$ 的大小；

(2)、如图②，过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线与 $O D$ 的延长线交于点 $F$ ，若 $D C ∥ A B$ ，半径为2，求 $C F$ ， $D F$ 的长．

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3、学完圆的切线知识后，爱好数学的小明想尝试“过圆上一点作圆的切线”，下面是他设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图1， $⊙ O$ 及圆上一点 $A$ ．
求作： $⊙ O$ 的切线 $A B, A$ 为切点．
作法步骤：①连接 $O A$ 并延长到点 $C$ ，如图2；②分别以点 $A, C$ 为圆心，大于 $A C$ 长的一半为半径作弧，两弧交于点 $D$ （点 $D$ 在直线 $O A$ 上方）；③以点 $D$ 为圆心， $D A$ 的长为半径作 $⊙ D$ ；④连接 $C D$ 并延长，交 $⊙ D$ 于点 $B$ ，作直线 $A B$ ．直线 $A B$ 就是所求作的切线．
使用直尺和圆规，依上述作法补全图形（保留作图痕迹）．

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4、如图，在 $⊙ O$ 的内接四边形 $A B C D$ 中， $A B$ 是直径，过点D的切线与直线 $A B$ 交于点P， $∠ A D P = 25 °$ ，连接 $O D$ ，求 $∠ B C D$ 的度数．

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5、如图，A，B，C，D是 $⊙ O$ 上的四个点，且 $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{B C}$ ．求证：

(1)、 $∠ A O C = ∠ B O D$ ；

(2)、 $△ A C D ≌ △ B D C$ ．

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6、如图，点 $P$ 是边长为 $1$ 的正方形 $A B C D$ 的边 $A B$ 上一动点，连接 $D P$ ，交对角线 $A C$ 于点 $E$ ，作 $△ A D P$ 的外接圆 $⊙ O$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ，连接 $P F$ ．若 $C F = \sqrt{2} A P$ ，则 $A P =$ ．

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7、如图， $A B$ 是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转 $45 °$ 得到半圆 $O^{'}$ ，点B的对应点为 $B^{'}$ ．若 $A B = 6$ ，则阴影部分的面积为（结果保留 $π$ ）．

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8、如图是某机器的皮带传动装置，由主动带轮 $A$ 和从动带轮 $B$ 组成，皮带紧绷且传动时无滑动．已知主动带轮半径为 $6 c m$ ，从动带轮半径为 $8 c m$ ，当主动带轮转动的圆心角为 $240 °$ 时，从动带轮转动的圆心角为 $°$ ．

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9、如图， $P A$ ， $P B$ 是 $⊙ O$ 的两条切线，A，B是切点，C是 $\overset{⌢}{A B}$ 上一点，过点C画 $⊙ O$ 的切线，分别交 $P A$ ， $P B$ 于点D，E， $P A = 12 c m$ ，则 $△ P D E$ 的周长是 $c m$ ．

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10、如图，正五边形 $A B C D E$ 内接于 $⊙ O$ 中，P是劣弧 $B E$ 上一点，则 $∠ D P C$ 的度数为．

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11、已知一个三角形的三边长分别为 $5$ 、 $5$ 、 $8$ ，则其外接圆的半径为．

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12、如图， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 五点在 $⊙ O$ 上，连接 $E A$ ， $E B$ ， $E C$ ， $E D$ ．若 $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{B C} = \overset{⌢}{C D}$ ， $∠ A E B = 21 °$ ，则 $∠ A E D$ 的度数是．

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13、如图，车轮的半径 $O A = 30 c m$ ，车轮边缘上一点 $A$ 绕点 $O$ 转过的角 $∠ A O B = 80 °$ ，则劣弧 $A B$ 的长为 $c m$ （结果保留 $π$ ）．

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14、如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，点 $D$ 在弦 $A C$ 所对的优弧上，连接 $B D$ 、 $C D$ ，若 $∠ B A C = 35 °$ ，则 $∠ B D C$ 的度数为 $°$ ．

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15、已知矩形 $A B C D$ ， $A B = 4$ ， $A D = 3$ ，以点 $A$ 为圆心， $A B$ 为半径作 $⊙ A$ ，则点 $D$ 在 $⊙ A$ （填“外”“内”或“上”）．

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16、如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ，点E，F分别在 $C D ， A D$ 上， $C E = D F ， B E ， C F$ 相交于点G，连结 $D G$ ．当点E从点C运动到点D的过程中， $D G$ 的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{5} - 2$ C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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17、花都岭南园，坐落于风景秀丽的花都湖国家湿地公园内，融合了广东地区独特的建筑风格与自然景观，展现了岭南文化的深厚底蕴和精湛技艺．园内亭台楼榭错落有致，有一处“月影通楼”的拱门建筑，外观可以看作圆形．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的 $⊙ O$ 与长方形的边 $B C$ 相切于点 $M$ ，点 $E$ 为拱门的最高点，经测量， $A B = 0.2 m$ ， $B C = 1.4 m$ ，则拱门最高点 $E$ 到地面 $B C$ 的距离是（）

A、 $1.325 m$ B、 $1.525 m$ C、 $2.45 m$ D、 $2.65 m$

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18、在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 10$ ，且 $A C = 6$ ，则这个三角形的内切圆半径为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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19、如图， $⊙ O$ 的半径为 $1$ ，若 $∠ A = 60 °$ ， $∠ C = 75 °$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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20、如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形，若 $∠ A B C = 100 °$ ，则 $∠ A O C$ 的度数是（）

A、 $40 °$ B、 $80 °$ C、 $100 °$ D、 $160 °$

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