相关试卷

1、定义：若一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 满足b=a+c，则称该方程为“和谐方程”.

(1)、下列方程属于“和谐方程”的是；（填序号)
$① 3 x^{2} + 4 x + 1 = 0; ② x^{2} - 2 x - 1 = 0 : ③ 2 x^{2} + 2 x = 0 :$

(2)、求证：和谐方程总有实数根；

(3)、已知一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 为和谐方程，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系.

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2、已知斜边为10的直角三角形的两条直角边长a，b为方程 $x^{2} - m x + 3 m + 6$ =0的两个根.

(1)、求m 的值；

(2)、求直角三角形的面积和斜边上的高.

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3、根据学习“数与式”积累的经验，我们可以通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，观察下列各式：
$① \sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{3 + 1}{3}} = \sqrt{4 \times \frac{1}{3}} = 2 \sqrt{\frac{1}{3}};$
$② \sqrt{2 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{8 + 1}{4}} = \sqrt{9 \times \frac{1}{4}} = 3 \sqrt{\frac{1}{4}};$
$③ \sqrt{3 + \frac{1}{5}} = \sqrt{\frac{15 + 1}{5}} = \sqrt{16 \times \frac{1}{5}} = 4 \sqrt{\frac{1}{5}}, \dots$

(1)、请举出一个符合上述运算规律的例子为；

(2)、如果n 为正整数，用含n的式子表示上述运算规律为；

(3)、用上述运算规律计算： $\sqrt{2024 + \frac{1}{2026}} \times \sqrt{4052} .$

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4、已知关于x 的方程 $x^{2} + x + m^{2} - 2 m = 0$ 有一个实数根为-1，求它的另一个根及m的值.

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5、如图，在△ABC中， CD⊥AB于点D，AC=20，CD=12，BD=9.

(1)、求AB 的长；

(2)、判断△ABC的形状，并说明理由.

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6、

(1)、计算： $(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3}) - \sqrt{27} \div \sqrt{3}$

(2)、解方程： $5 x^{2} - 3 x - 2 = 0$

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7、如图，在水塔O 的东北方向32m处有一座抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一个建筑工地B，在A，B间建一条直水管，则水管的长为.

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8、请写出一个有两个相等实数根的一元二次方程，该方程为

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9、化简： $\sqrt{（ 1 - \sqrt{2})^{2}} =$ .

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10、已知函数y=kx+b 的图象如图所示，则关于x 的一元二次方程x²+bx+k-1=0 的根的情况是（）

A、没有实数根 B、有两个相等的实数根 C、有两个不相等的实数根 D、无法确定

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11、如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC 的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10 cm，则线段EF 的长为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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12、如图，在小正方形组成的网格中，有AB，CD，EF，GH 四条线段，下列选项中，能组成直角三角形的三条线段是（）

A、AB，CD，EF B、AB，CD，GH C、AB，EF，GH D、CD，EF，GH

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13、如图，长方形ABCD 的边AD落在数轴上， A，D 两点在数轴上对应的数分别为-1 和 2 ，AB=1，连接AC，以A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点E，则点E 在数轴上所表示的数为（）

A、3 B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{10} - 1$ D、2.2

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14、根据中国汽车工业协会数据，自2023年以来，中国已经连续两年蝉联全球第一大汽车出口国.已知2025年7月出口量为57.5万辆，9月出口量为65.2万辆.设7月至9月的平均增长率为x，则可列方程为（）

A、57.5（1+x)²=65.2 B、57.5（1+2x)=65.2 C、65.2（1-x)²=57.5 D、57.5（1-2x)=65.2

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15、一个长方形零件如图所示，根据所给尺寸（单位： mm) 可知两孔中心A，B之间的距离是（）

A、11 B、12 C、13 D、14

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16、若一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程（x-2)（x-4)=0 的根，则这个三角形的周长为（）

A、11 B、13 C、11或13 D、12或13

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17、若x₁ ， x₂ 是方程x²-2x-5=0的两个根，则3x₁+3x₂的值为（）

A、6 B、-6 C、10 D、-10

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18、小明运用配方法解一元二次方程，其步骤如下，在进行最终验算时发现所得结果有误，计算开始出现错误的步骤为（   ）
2x²-4x=1
解： x²-2x=1，    ①
x² -  2x+1=1+1，即（x-1)²=2，    ②
$x - 1 = \pm \sqrt{2},$     ③
$∴ x_{1} = 1 + \sqrt{2}, x_{2} = 1 - \sqrt{2}$     ④

A、① B、② C、③ D、④

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19、下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3} - \sqrt{2} = 1$ C、 $2 + \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$

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20、若式子 $\sqrt{X - 3}$ 有意义，则实数x的值可以是（）

A、-1 B、0 C、2 D、4

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