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1、定义：在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，任意两点 $P (x_{1}, y_{1})$ 与 $Q (x_{2}, y_{2})$ 的“曼哈顿距离”为： $d (P, Q) = | x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ ．例如：若点 $M (- 1, 3)$ ，点 $N (4, 1)$ ，则点 $M$ 与点 $N$ 的“曼哈顿距离”为： $d (M, N) = | - 1 - 4 | + | 3 - 1 | = 5 + 2 = 7$ ．
根据以上定义，下列说法正确的序号为．
①点 $A (- 2, 3)$ ，点 $B (- 1, 7)$ ，则 $d (A, B) = 5$ ；
②点 $C (x, y)$ ，其中 $x \geq 0$ ， $y \geq 0$ ，且 $d (C, O) = 3$ ，则满足条件的所有点 $C$ 组成的图形长度为 $3 \sqrt{2}$ ；
③点 $D (x, y)$ 是函数 $y = \frac{1}{| x |}$ 图象上的一个动点，则满足 $d (D, O) = 4$ 的点 $D$ 有 $2$ 个；
④点 $E (x, y)$ ，且 $d (E, O) = 3$ ，若二次函数 $y = \frac{1}{4} x^{2} - 2 x + \frac{1}{4} m + 3$ 图象与满足条件的所有点 $E$ 组成的图形有交点，则 $m$ 的取值范围是 $- 45 \leq m \leq 4$ ．

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2、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 图象与直线 $x = 1$ ， $x = 2$ ， $x = 3$ ， $\dots$ ， $x = n$ （ $n \geq 1$ 且 $n$ 为整数）分别交于点 $A_{1} (x_{1}, y_{1})$ ， $A_{2} (x_{2}, y_{2})$ ， $A_{3} (x_{3}, y_{3})$ ， $\dots$ ， $A_{n} (x_{n}, y_{n})$ ，则 $y_{1} y_{2} + y_{2} y_{3} + y_{3} y_{4} + ⋯ + y_{2025} y_{2026} =$ ．

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3、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 3 c m$ ， $∠ D A B = 60 °$ ．动点P从点A开始沿 $A B$ 边以 $2 c m / s$ 的速度向点B运动，动点Q从点C开始沿 $C D$ 边以 $1 c m / s$ 的速度向点D运动，点P ，点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．当 $P Q ∥ B C$ 时， $P Q$ 与 $B D$ 交于点H ，四边形 $A P H D$ 、四边形 $B C Q H$ 的面积分别为 $S_{1}$ （ $c m^{2}$ ）、 $S_{2}$ （ $c m^{2}$ ）．则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值为．

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4、已知一组数据1，2，4，5，x的平均数是3.2，则这组数据的众数为．

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5、不等式组 ${\begin{array}{l} 7 x - 5 \geq x + 1 \\ x - 1 < \frac{2 x + 1}{3} \end{array}$ 的整数解有个．

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6、一次函数 $y = 2 x + 1$ 图象上有两点 $A (3, y_{1})$ ， $B (5, y_{2})$ ，则 $y_{1}$ $y_{2}$ ．（填“>”“<”或“=”）

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7、如图，在边长为6的正方形 $A B C D$ 中，点 $F$ 在 $C D$ 上， $D F = 2$ ，点 $E$ 为 $A D$ 上的动点，连接 $B E$ ，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 翻折，得到 $△ A^{^{'}} B E$ ，连接 $A^{'} D$ 、 $A^{'} F$ ，当 $A^{'} D = A^{'} F$ 时， $A E$ 的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{11}}{2}$ B、 $\frac{5 \sqrt{11}}{11}$ C、 $\frac{6 \sqrt{11}}{11}$ D、 $\frac{5 \sqrt{11}}{6}$

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 120 °$ ， $A B = A C = 4$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到 $△ D E C$ ，点 $B$ 经过的路径为 $\overset{⌢}{B E}$ ，点 $A$ 经过的路径为 $\overset{⌢}{A D}$ ， $C E$ 与 $\overset{⌢}{A D}$ 交于点 $F$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{20 π}{3} - 4 \sqrt{3}$ B、 $8 π - 4 \sqrt{3}$ C、 $12 π - 4 \sqrt{3}$ D、 $\frac{28 π}{3} - 4 \sqrt{3}$

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9、现有三双除颜色外其它都相同的运动鞋，分别是红色、黄色和绿色，将左脚的运动鞋都放在一个盒子里，将右脚的运动鞋都放在另一个盒子里，从每个盒子里随机取出一只，这两只运动鞋颜色相同的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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10、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以点B为圆心，以 $B C$ 长为半径作弧，交 $A C$ 于点 $C$ 和点 $D$ ，连接 $B D$ ，再分别以点 $C$ 和点 $D$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} C D$ 长为半径作弧，两弧在 $∠ D B C$ 内交于点 $F$ ，作射线 $B F$ 交 $A C$ 于点 $E$ ．若 $∠ A = 50 °$ ，则 $∠ E B C$ 的大小为（）．

A、 $15 °$ B、 $20 °$ C、 $25 °$ D、 $30 °$

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11、下列说法正确的是（）

A、多边形的外角和都等于 $360 °$ B、一组数据的方差越大，这组数据越稳定 C、 $\sqrt[3]{- 64} = 4$ D、两条边与一个角分别对应相等的两个三角形一定全等

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12、一个圆柱的底面半径为2，高为4，则它的侧面积为（）

A、 $4 π$ B、 $8 π$ C、 $12 π$ D、 $16 π$

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13、如图所示的几何体的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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14、大庆是现代宜居的生态城市，拥有湿地7470000亩．数字7470000用科学记数法表示为（）

A、 $7.47 \times 1 0^{4}$ B、 $7.47 \times 1 0^{5}$ C、 $7.47 \times 1 0^{6}$ D、 $7.47 \times 1 0^{7}$

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15、中国结是中国传统手工艺品，寓意吉祥．如图中的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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16、 2035的相反数是（）

A、 $\frac{1}{2035}$ B、 $- 2035$ C、 $2035$ D、 $- \frac{1}{2035}$

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17、已知方程 $x^{2} - 2 x - 2 = 0$ ，求一个关于 $x$ 的一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两个根的3倍．
解：设所求方程的根为 $y$ ，则 $y = 3 x ， x = \frac{y}{3}$ ，
把 $x = \frac{y}{3}$ 代入 $x^{2} - 2 x - 2 = 0$ ，得 ${(\frac{y}{3})}^{2} - 2 (\frac{y}{3}) - 2 = 0$ ，化简得 $y^{2} - 6 y - 18 = 0$ ，
这种利用方程的代换求新方程的方法称为“换元法”．请按照这种方法解决下列问题．

(1)、已知方程 $x^{2} - x - 4 = 0$ 的两个根分别为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，求一个关于 $y$ 的方程，使得它的两个根分别为： $y_{1} = x_{1} - 1$ ， $y_{2} = x_{2} - 1$ ，则所求方程为___________（要求写成二次项系数为1，且为一般形式）．

(2)、已知方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0 ， c \neq 0)$ ，求一个关于 $x$ 的一元二次方程，使它的两个根与已知方程的两个根互为倒数．

(3)、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个实数根分别为 $x_{1} = 1$ 和 $x_{2} =$ $- \frac{1}{4}$ ，求关于 $y$ 的一元二次方程 $c {(y - 2026)}^{2} + b (y - 2) = 2024 b - a (c \neq 0)$ 的两个实数根．

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18、复兴路中学计划成立五个课外兴趣小组（要求每名学生只能参加一个兴趣小组）：A．音乐；B．美术；C．篮球；D．阅读；E．棋类．为了了解学生对以上兴趣小组活动的参与情况，学校老师随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图、根据图中信息，完成下列问题：

(1)、①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）：
②扇形统计图中的圆心角 $α$ 的度数为________．

(2)、若该校有 $1800$ 名学生，估计该校参加E组（棋类）的学生人数．

(3)、该学校从A组中挑选出了成绩优秀的两名男生和两名女生，计划从这四名同学中随机抽取两名同学参加市里举办的“中学生新年文艺汇演”，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．

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19、两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图1，将一条线段 $A B$ 分割成长、短两条线段 $A P ， P B$ ，若 $\frac{P B}{A P} = \frac{A P}{A B}$ ，则把这种分割叫作黄金分割，点P叫作线段 $A B$ 的黄金分割点．如图2，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B C = 2 ， ∠ A = 36 °$ ， $C D$ 为 $∠ A C B$ 的平分线．

(1)、求证：点D为 $A B$ 的黄金分割点．

(2)、求 $B D$ 的长．

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20、如图，在正方形 $A B C D$ 中，E是 $B C$ 上一点，连接 $A E$ ，以点B为圆心， $A E$ 的长为半径画弧，交边 $C D$ 于点F，求证： $A E ⊥ B F$ ．

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