相关试卷

1、一个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，这个不等式可以是（）

A、 $x - 1 < 0$ B、 $x - 1 > 0$ C、 $x - 1 \leq 0$ D、 $x - 1 \geq 0$

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2、阅读下列材料：
利用完全平方公式，可以把多项式 $a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）变形为 $a {(x + m)}^{2} + n$ 的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题．
例如：① $x^{2} + 4 x + 3 = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} - 2^{2} + 3 = {(x + 2)}^{2} - 4 + 3 = {(x + 2)}^{2} - 1$ ，
∵ ${(x + 2)}^{2} \geq 0$ ，
∴ $x^{2} + 4 x + 3 = {(x + 2)}^{2} - 1 \geq - 1$ ．
∴当 $x = - 2$ 时，多项式 $x^{2} + 4 x + 3$ 的最小值为 $- 1$ ；
② $- x^{2} + 8 x + 1 = - (x^{2} - 8 x) + 1 = - (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2} - 4^{2}) + 1 = - {(x - 4)}^{2} + 16 + 1 = - {(x - 4)}^{2} + 17$ ，
∵ $- {(x - 4)}^{2} \leq 0$ ，
∴ $- x^{2} + 8 x + 1 = - {(x - 4)}^{2} + 17 \leq 17$ ．
∴当 $x = 4$ 时，多项式 $- x^{2} + 8 x + 1$ 的最大值为 $17$ ．
根据上述材料解决下列问题：

(1)、【尝试应用】求多项式 $x^{2} - 2 x + 6$ 的最小值，并求出相应的x的值；

(2)、【拓展延伸】如果多项式 $x^{2} - 2 m x$ 的最小值是 $- 25$ ，那么m的值为________；

(3)、【迁移升华】：如图，某学校打算用18米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边 $A B = x$ 米，请求出x 为多少时，该花坛的面积最大，最大面积是多少平方米．

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3、图①是一个长为 $2 m$ 、宽为 $2 n$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．

(1)、用两种方法表示图②中的阴影部分的面积；

(2)、请运用你得到的关系式计算：若 $x + y = - 6$ ， $x y = 2.75$ ，求 ${(x - y)}^{2}$ 的值；

(3)、若 ${(2024 - m)}^{2} + {(m - 2025)}^{2} = 15$ ，求 $(2024 - m) (m - 2025)$ 的值．

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4、一个正方体盒子的棱长为 $0.3 m$ ．（答案均用科学记数法表示）

(1)、这个正方体的体积是多少？

(2)、若有一个小立方块的棱长为 $1 \times 10^{- 3} m$ ，则需要多少个这样的小立方块才能将正方体盒子装满？

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5、如图，某校园内有一块长为 $(3 a + 2 b) m$ ，宽为 $(2 a + b) m$ 的长方形活动场地．计划在场地中间开辟一个长为 $(a + 2 b) m$ ，宽为 $(a + b) m$ 的长方形舞台用于文艺表演，舞台之外的阴影部分将铺设塑胶跑道供学生活动．

(1)、求铺设塑胶跑道区域（阴影部分）的面积；

(2)、若 $a = 5$ ， $b = 4$ ，铺设塑胶跑道的价格为 $100$ 元 $/ m^{2}$ ，则铺设塑胶跑道共需多少元？

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6、先化简，再求值： $[{(x + 2 y)}^{2} - (3 x + y) (- y + 3 x) - 5 y^{2}] \cdot (- \frac{1}{2} x)$ ，其中 ${(x + 1)}^{2} + |y - 2| = 0$ ．

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7、计算：

(1)、 ${(- 2 x^{2})}^{3} + x^{2} \cdot x^{4} - {(- 3 x^{3})}^{2}$

(2)、 ${(π - 3)}^{0} - {(- \frac{1}{2})}^{- 2} + (\frac{2}{3}) \times (- 1.5)$

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8、下述四个结论中：其中正确的是（填序号）．
①若 $- 5 b^{n} a^{2 m}$ 与 $8 a^{4} b^{2}$ 是同类项，则 $m = n$ ；
②若关于x的多项式 $3 (a x^{2} - x + 1) - (6 x^{2} + 5 x + a^{2})$ 的运算结果中不含 $x^{2}$ 项，则常数项为 $- 1$ ；
③已知2个多项式分别为： $A = 3 x^{2} + 2 x + 1$ ， $B = x^{2} + 2 x - 1$ ，无论x取何值，一定都有 $A > B$ ；
④若 $a + b + c = 0$ ， $a b c \neq 0$ ，则 $\frac{- b - c}{|a|} - \frac{|b|}{a + c} + \frac{c}{|c|} + \frac{|a b c|}{a b c}$ 的结果只有一种．

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9、两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为 $S_{1}$ ；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为 $S_{2}$ ．当 $S_{1} + S_{2} = 60$ 时，则图3中阴影部分的面积 $S_{3} =$ ．

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10、运用简便方法计算： $110^{2} - 109 \times 111$ ＝．

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11、若 $a - b = 3$ ， $a^{2} - b^{2} = 12$ ，则 $a + b =$ ．

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12、 $2^{5} \div 2^{3} =$ ．

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13、已知 $a + 2 b - 3 c - 2 = 0$ ，则 $3^{a} \cdot 9^{b} \div 27^{c}$ 的值为（）

A、27 B、9 C、6 D、1

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14、下列等式中能够成立的是（　　）

A、 ${(m + n)}^{2} = m^{2} + n^{2}$ B、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + a b + b^{2}$ C、 ${(x - 2)}^{2} = x^{2} - 4$ D、 ${(a + 2 b)}^{2} = a^{2} + 4 a b + 4 b^{2}$

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15、下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（）

A、 $(- a - b) (- b + a)$ B、 $(x y + z) (- x y + z)$ C、 $(- 2 x - y) (2 x + y)$ D、 $(0.5 x - y) (- y - 0.5 x)$

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16、下列各式计算正确的是（）

A、 $(- 3 a^{n + 1} b) \cdot (- 2 a) = 6 a^{n + 1} b$ B、 $(- 6 a^{2} b) \cdot (- a b^{2}) \cdot \frac{1}{2} b^{3} c = 3 a^{3} b^{6} c$ C、 $(- 4 a b) \cdot (- a^{2} c) \cdot \frac{1}{2} a b^{2} = 2 a^{3} b^{3} c$ D、 $(a^{n} b^{3} c) \cdot (- \frac{1}{3} a b^{n - 1}) = - \frac{1}{3} a^{n + 1} b^{3 n + 1} c$

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17、下列运算正确的是（）

A、 $2 a - 3 a = - 1$ B、 $- 4 a^{3} \cdot a^{2} = - 4 a^{6}$ C、 ${(- 3 a)}^{3} = - 9 a^{3}$ D、 $(a - b) (- a - b) = b^{2} - a^{2}$

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18、水分子的直径为0.0000000004米，这个数用科学记数法表示为（）米

A、 $0.4 \times 10^{- 4}$ B、 $- 4 \times 10^{9}$ C、 $4 \times 10^{- 10}$ D、 $- 4 \times 10^{10}$

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19、定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．
例如：如图1，点A表示的数为 $- 1$ ，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．
若M，N为数轴上两点，点M所表示的数为a，点N所表示的数为b，且满足 $|a + 7| + {(b - 2)}^{2} = 0$ ，现回答下列问题：

(1)、M在数轴上所表示的数为______，N在数轴上所表示的数为______，M、N两点间的距离为______；

(2)、①点E，F，G表示的数分别是 $- 3$ ， $6 ． 5$ ， 11，其中是【M，N】美好点的是______；
②写出【M，N】美好点H所表示的数是______；

(3)、现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N三点中M为其余两点的美好点？（直接写出t的值）

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20、如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点M，N分别为边 $A B$ ， $B C$ 的中点，连接 $M N$ ．
【初步尝试】（1） $M N$ 与 $A C$ 的数量关系是________， $M N$ 与 $A C$ 的位置关系是________．
【特例研讨】（2）如图2，若 $∠ B A C = 90 °$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ，先将 $△ B M N$ 绕点B顺时针旋转 $α$ （ $α$ 为锐角），得到 $△ B E F$ ，当点A，E，F在同一直线上时， $A E$ 与 $B C$ 相交于点D，连接 $C F$ ， $M E$ ．
①猜想 $△ B M E$ 的形状并证明；
②求出 $C D$ 的长．
【深入探究】（3）若 $∠ B A C < 90 °$ ，将 $△ B M N$ 绕点B顺时针旋转 $α$ ，得到 $△ B E F$ ，连接 $A E$ ， $C F$ ．当旋转角 $α$ 满足 $0 ° < α < 360 °$ ，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究 $∠ B A E$ 与 $∠ A B F$ 的数量关系，直接写出你的结论．

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