相关试卷

1、如图，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 分别与 $x$ 轴， $y$ 轴交于点 $B, C$ ，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过点 $B$ 和点 $C$ ，且与 $x$ 轴交于点 $A$ ，连接 $A C$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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2、解下列方程：

(1)、 $2 x^{2} - 3 x - 5 = 0$ ；

(2)、 $2 x - 4 = {(x - 2)}^{2}$ ．

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3、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5, B C = 3$ ，将矩形 $A B C D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到矩形 $A E F G$ ，点 $B, C, D$ 旋转后的对应点分别为 $E, F, G$ ．若点 $E$ 落在边 $C D$ 上，延长 $C D$ 交 $F G$ 于点 $H$ ，连接 $A H$ ，则 $A H$ 的长为．

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4、景德桥是一座敞肩式单孔圆弧弓形石拱桥，位于山西省晋城市，始建于1189年，是山西省省级文物保护单位．如图所示是它的示意图，其拱桥可近似地用抛物线的一部分表示．若当水面宽度 $A B$ 为 $20 m$ 时，水面到拱顶的高度 $C O$ 为 $4 m$ ，则当水位在此基础上继续上涨 $1 m$ 时，水面的宽度为 $m$ ．（结果保留根号）

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5、某数学小组同学利用计算机中的画图软件，把图1中的基本图形旋转一定角度若干次后，得到图2的图案，该数学小组同学设定的旋转角为．

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6、若抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴的公共点是 $(- 5, 0), (3, 0)$ ，则这条抛物线的对称轴为．

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7、若一元二次方程 $x^{2} + b x + c = 0$ 无实数根，请写出一个满足条件的一元二次方程：．

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8、如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(0, - 2)$ ，点 $B$ 在 $x$ 轴上， $∠ O B A = 30 °$ ．若把 $Rt △ O A B$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $30^{\circ}$ ，得到 $Rt △ E A C$ ，点 $B$ 旋转后的对应点为 $C$ ，则点 $C$ 的坐标为（）

A、 $(4, - 2)$ B、 $(2, 2)$ C、 $(2, 2 - 2 \sqrt{3})$ D、 $(2, 2 \sqrt{3} - 2)$

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9、用 $12 m$ 长的木条围成如图所示的“日”字形窗框，则窗户的最大透光面积（木条宽度和损耗忽略不计）为（）

A、 $6 m^{2}$ B、 $16 m^{2}$ C、 $24 m^{2}$ D、 $36 m^{2}$

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10、新能源汽车以其环保性、经济性和智能性逐渐受到广大民众的青睐．某品牌新能源汽车2025年4月的销售量为25万台，6月销售量为36万台．若该品牌新能源汽车这两个月的月平均增长率为 $x$ ，则下列方程正确的是（）

A、 $25 {(1 - x)}^{2} = 36$ B、 $25 {(1 + x)}^{2} = 36$ C、 $36 {(1 + x)}^{2} = 25$ D、 $25 + 25 (1 + x) = 36$

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11、把抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 1$ 向右平移 $1$ 个单位长度，再向下平移 $1$ 个单位长度后，得到的抛物线对应的函数解析式为（）

A、 $y = - {(x - 2)}^{2} + 1$ B、 $y = - {(x + 2)}^{2} - 1$ C、 $y = {(x - 2)}^{2} + 1$ D、 $y = - x^{2} + 1$

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12、如图， $D$ 为 $Rt △ A B C$ 斜边 $A B$ 的中点，以点 $D$ 为中心，把 $Rt △ A B C$ 逆时针旋转，使点 $C$ 落在点 $A$ 处，得到Rt $△ F E A$ ，点 $A, B, C$ 旋转后的对应点分别为 $F, E, A, A E$ 与 $B C$ 交于点 $G$ ．若 $∠ B = 25 °$ ，则 $∠ C G A$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $45 °$ C、 $50 °$ D、 $55 °$

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13、一元二次方程 $- 2 x^{2} - 12 x + 16 = 0$ 配方正确的是（）

A、 ${(x + 3)}^{2} = 17$ B、 ${(x - 3)}^{2} = 17$ C、 ${(x + 3)}^{2} = 1$ D、 ${(x - 3)}^{2} = - 1$

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14、已知函数 $y = x^{2}$ ，当 $x < - 2$ 时， $y$ 的取值范围为（）

A、 $y > 2$ B、 $y > 4$ C、 $y < 2$ D、 $y < 4$

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15、若点 $A$ 的坐标为 $(- 3, 2)$ ，则它关于原点对称的点的坐标为（）

A、 $(- 2, 3)$ B、 $(2, - 3)$ C、 $(3, 2)$ D、 $(3, - 2)$

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16、剪纸是我国最古老的民间艺术之一，先后入选我国国家级非物质文化遗产名录和联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸图案中，是中心对称图形的为（）

A、 B、 C、 D、

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17、一元二次方程 $x (x - 1) = 0$ 的根为（）

A、 $x_{1} = x_{2} = 0$ B、 $x_{1} = x_{2} = 1$ C、 $x_{1} = 0, x_{2} = 1$ D、 $x_{1} = 0, x_{2} = - 1$

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18、综合与探究
问题情境：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．如图1，取一块均匀的三角形纸板，用一根细线从重心 $O$ 处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．
探究过程：如图2， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $△ A C D$ 与 $△ A B D$ 等底等高，面积相等，记作 $S_{△ A C D} = S_{△ A B D}$ ．若 $△ A B C$ 的三条中线 $A D$ ， $B E$ ， $C F$ 交于点 $G$ ，则 $G D$ 是 $△ G B C$ 的中线，利用上述结论，可得 $S_{△ G C D} = S_{△ G B D}$ ，同理，可得 $S_{△ G B F} = S_{△ G A F}$ ， $S_{△ G A E} = S_{△ G C E}$ ．
猜想证明：
（1）如图2，若设 $S_{△ G C D} = x$ ， $S_{△ G B F} = y$ ， $S_{△ G A E} = z$ ，猜想 $x$ ， $y$ ， $z$ 之间的数量关系，并证明你的猜想；
拓展延伸：
（2）如图2，在 $△ A B C$ 中，若 $S_{△ G A B} = 12$ ，则 $△ A B C$ 的面积 $S$ 为________；
（3）在图2中，求 $B G : G E$ 的值．

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19、综合与实践
【问题情境】
如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站 $A$ 出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后到达空间站 $B$ ．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径．
【数学建模】：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作 $B$ 关于能源站所在直线l的对称点 $B^{'}$ ，连接 $A B^{'}$ ，与直线 $l$ 的交点即为最优燃料点 $C$ ，此时路径 $A C + C B$ 最短．
【推理论证】：如图3，在直线 $l$ 上另取任意一点 $C^{'}$ ，连接 $A C^{'}$ ， $B C^{'}$ ， $B^{'} C^{'}$ ，只要说明 $A C + C B < A C^{'} + C^{'} B^{'}$ 即可．
证明： $∵$ 直线 $l$ 是点 $B$ ， $B^{'}$ 的对称轴，点 $C$ ， $C^{'}$ 在 $l$ 上，
$∴ C B =$            ， $C^{'} B^{'} =$            ，
$∴ A C + C B = A C + C B^{'} =$            ．
$∵$ 在 $△ A C^{'} B^{'}$ 中， $A B^{'} < A C^{'} + C^{'} B^{'}$ ，
$∴$            $< A C^{'} + C^{'} B^{'}$ ，即 $A C + C B$ 最小．
【问题解决】

(1)、本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的 $A$ ， $B$ 转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证；

(2)、请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径；

(3)、如图4，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ ．若点 $P$ 在 $A D$ 上移动，点 $Q$ 在 $A C$ 上移动，如何确定 $P C + P Q$ 的最小值？

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20、阅读与思考

下面是小明同学研究某三角形性质时的笔记片段，请阅读并完成相应任务．

【概念理解】如果一个三角形的一条角平分线与一条中线互相垂直，那么这个三角形的某两条边必有倍半关系，这个三角形称为“线垂”三角形，被这条内角平分线所平分的内角叫作“分角”．如图，在 $△ A B C$ 中， $B D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $A E$ 是 $△ A B C$ 的中线， $A E ⊥ B D$ ，垂足为 $F$ ．

【问题解决】问题1：写出 $△ A B C$ 中小明同学所发现的结论：________．

证明： $∵ B D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，

∴ $∠ A B D = ∠ C B D$ ．

∵ $A E ⊥ B D$ ，

∴ $∠ B F A = ∠ B F E = 90 °$ ，

∴ $∠ A B D + ∠ B A F = ∠ C B D + ∠ B E F = 90 °$ ，

∴ $∠ B A F = ∠ B E F$ ，

∴ $B A = B E$ （依据），

…

问题2：在图中，若“线垂”三角形 $A B C$ 是直角三角形，求 $∠ D B C$ 的度数．

任务：

(1)、问题1中的结论为________，问题1中的依据是________________________；

(2)、请你完成问题2的解答．

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