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1、【定义感知】如图1，对于抛物线（C： 以x轴上的点P（m，0)为中心，将抛物线C绕点P旋转180°得到一个新抛物线，则我们称这个新抛物线是抛物线C关于点P的“共轭抛物线”，点P为“共轭中心”。
图1 图2
图3 备用图
【理解应用】
已知顶点为 D 的抛物线 C： 与x轴交于点 A，B。
(1)、如图2，当m=0时，求抛物线C关于共轭中心P（0，0)的共轭抛物线C1的表达式；(2)、如图3，当m>0时，若抛物线C关于共轭中心P（m，0)的共轭抛物线C2恰好经过抛物线 C的顶点 D，求m的值；(3)、【拓展延伸】过点P（m，0)作x轴垂线，分别交抛物线C和它关于共轭中心P（m，0)的共轭抛物线 C3于点M，N，记MN的长为n，n与m的函数关系图象为 C4。当平行于m轴的直线与C4的公共点个数为3个时，求此时m的值。
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2、综合与实践
【问题背景】
如图1是某公园的半球形景观灯，它的灯柱高度AB为4m，数学实验小组为测量半球形景观灯的半径，拟订如下方案开展了实地测量活动。
【问题解决】
请你根据各小组拟订的方案和测量得到的数据，对景观灯的半径进行求解。
(1)、方案1：如图2，第一小组利用测角仪在点 B 处测得边缘点 C的仰角为α（测角仪高度忽略不计)，已知景观灯的边缘AC与地面BD平行，求景观灯的半径AC的长：（用含α的代数式表示)
(2)、方案2：如图3，某一时刻，在太阳光线的照射下，第二小组测得身高FG为1.6m的小明的影长GH为1.2m，此时景观灯在地面上的影长BP为3.75m，求景观灯的半径AC的长；
(3)、方案3：如图4，第三小组在地面的点Q处放置一块平面镜。目高为1.5m（即EF=1.5m)的小亮在点 F处从平面镜中观测到景观灯边缘点C，当他走到点N处时，在平面镜中观测到景观灯另一边缘点 D，并测量得到如下三个数据：BQ=a， QF=b， FN=c。已知∠DQB=∠MQN， ∠CQB=∠EQN，请根据方案，从以上测量得到的三个数据中选择所需要的数据，求景观灯半径AC的表达式。（结果可含字母)
我选择数据： ▲ ，
求解过程如下：
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3、在 中， BC=BD。
图1 图2
(1)、如图1，在 CD边上求作一点 E，连接BE，使得BE 最短； （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)、如图2，以BD为直径的半圆交AB于点 F， G是CD上一点，连接DF， BG，在不添加新的线的前提下，请增加一个条件： ▲ ， 使得四边形BDHF为矩形，并说明理由。 -
4、 2026年被公认为“智能AI 元年”，AI产品深受欢迎。某销售公司针对市场情况，计划购进一批AI产品进行销售。据了解，购进1件A型和1件B型产品需要4万元，2件A 型和3件B型产品需要11万元。(1)、求每件A 型和B型产品的进价分别是多少万元?(2)、若该公司计划购买这两种型号的产品共12 件（两种型号的产品均购买)，购买总费用不超过20万元，那么该公司至少需要购进多少件A型产品?
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5、某电商在社交媒体投放广告，以促销某商品，已知该商品售价为100元/个。为了评估广告效果，该电商随机抽取了 500 名看过广告的用户和 500 名未看过广告的用户，统计了他们一周内的消费金额（单位：元)，并将它们分成以下六类：A类0元，B类100元， C类200元， D类300元， E类400元， F类500元，进行了如下分析。
(1)、【整理数据】补全条形统计图，扇形统计图中m= ▲ ；
(2)、【分析数据】下表中a= ， b=；
消费金额的平均数
消费金额的中位数
消费金额的众数
看过广告组
186
200
a
未看过广告组
117
b
0
(3)、【判断决策】电商是否有必要继续投放该商品的广告?请你根据上述数据，做出判断并说明理由。
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6、先化简，再求值： 其中a=2。
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7、计算：
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8、如图，在Rt△ABC中， ∠BAC=90°， AD为斜边上的中线， BE⊥AD于点E。若AE=2， 则△ACD 的面积为。
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9、排箫的发声频率f和音管长度L之间的关系为 其中c为常数。已知自然大调各音阶的频率 fn与半音数n之间的关系如下表所示，其中 则音阶 xi对应的音管长度是音阶 fa对应的音管长度的倍。
音阶
do
re
mi
fa
so
la
xi
do'
半音数n
0
2
4
5
7
9
11
12
频率
f0
f0·q2
f0·q4
f0·q5
f0·q7
f0·q9
f0·q11
f0·q12
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10、如图，已知正方形ABCD的边长为 ， 对角线AC，BD交于点O，将△ABO向右平移得到△DCE，则四边形CEDO的周长为。
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11、老师制作了10个完全相同的香囊（除香料外)，其中艾草香囊3个，薰衣草香囊5个，桂花香囊2个。小明将它们混合放在一个不透明的袋子里，从中随机拿出1个香囊，则他拿到艾草香囊的概率为。
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12、写出不等式x-3>0的一个整数解：。（写出一个即可)
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13、在某校组织的研学活动中，有中巴和大巴两种车型可供租用，相关租车信息如图所示。设中巴每辆租金为x元，大巴每辆租金为y元，根据信息，下列所列方程（组)中，正确的是（ ）
A、5（x+180)+4x=7200 B、 C、 D、 -
14、在平面直角坐标系xOy中，已知A（4， 0)， B（0， 4)，点C是直线y=2x在第一象限内的图象上一个动点，连接AC，BC，记△OAC的面积为S1 ， △OBC的面积为S2 ， 则 的值为（ ）
A、 B、1 C、 D、2 -
15、如图，城市道路上的“人行横道预告标线”为白色菱形图案。根据国家标准《道路交通标志和标线》的规定，菱形的标准尺寸是：横向宽度AC为1.5m，纵向长度BD为3m，则菱形ABCD的边长是（ ）
A、 B、 C、 D、 -
16、如图，从家用双面人字梯抽象出的四边形ABCD中， ∠ADC=∠DAB=∠DCB=35°，则∠ABC的大小为（ ）
A、70° B、90° C、105° D、140° -
17、如图，一块玻璃破损成三块，通过测量图中哪组角的大小可以判断a∥b（ ）
A、∠1=110°， ∠2=70° B、∠1=110°， ∠4=110° C、∠2=70°， ∠3=70° D、∠1=110°， ∠3=70° -
18、下列计算正确的是（ ）A、 B、 C、 D、
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19、如图是某太空金属3D打印机打印的一个零件模型，它的主视图是（ ）
A、
B、
C、
D、
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20、阅读与应用
“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题.同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题.
如图，题目中的所有网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，且点 O，A，B，C，D都在格点上.
(1)、 如图 1， AB的长度为 ▲ ， 求△AOB的面积；(2)、如图 2，在正方形网格中构造△ABC，可以比较 与 的大小，其理由如下：因为在 中，点A，B，C都为小正方形的顶点 （构造图形)，所以 AB+BC >AC （三角形任意两边之和大于第三边).因为 （勾股定理) ， BC=1， 所以 请你参考例子中的方法，在图 3中构造图形，比较 与 的大小，并说明理由；(3)、 如图 4， 直接写出∠DAB+∠CAB的度数.