相关试卷

1、如图1所示，有两张完全相同的大正方形纸片 $A$ 、 $B$ ，从纸片 $A$ 的四个角裁剪四个完全相同的小正方形，并将四个小正方形纸片拼放在纸片 $B$ 的四个顶点处．图2中已标出裁剪后 $A$ 、 $B$ 纸片尺寸，并且记裁剪后的面积分别为 $S_{A}$ 、 $S_{B}$ （图2中阴影部分）．
小海认为： $S_{B} + S_{A} = \frac{1}{2} {(b + a)}^{2}$ ；乐乐认为： $S_{B} - S_{A} = \frac{1}{2} {(b - a)}^{2}$ ．
关于小海和乐乐观点，下列说法正确的是（）

A、小海正确、乐乐正确； B、小海错误、乐乐正确； C、小海正确、乐乐错误； D、小海错误、乐乐错误．

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2、若 $a + b = 6$ ， $a b = 4$ ，则 $a^{2} + 4 a b + b^{2}$ 的值为（　　）

A、44 B、46 C、48 D、52

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3、下列说法正确的是（）

A、 $- 64$ 的立方根是4 B、 $\sqrt{9}$ 的平方根是 $\pm 3$ C、4的算术平方根是16 D、0.001的立方根是0.1

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4、下列计算正确的是（）

A、 $2 x^{2} \cdot 3 x^{3} = 6 x^{5}$ B、 ${(3 x^{2})}^{3} = 9 x^{6}$ C、 $x (x + 1) = x^{2} + 1$ D、 ${(2 a - 1)}^{2} = 4 a^{2} - 1$

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5、如图， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等腰三角形， $A B = A C, A D = A E$ ，且 $∠ B A C = ∠ D A E$ ，连接 $B D$ 、 $C E$ ．

(1)、如图1，当点 $D$ 在 $△ A B C$ 的内部时，求证： $B D = C E$ ；

(2)、如图2， $∠ B A C = ∠ D A E = 126 °, B C = 12$ ，且点 $E$ 落在 $B C$ 边上．若 $M$ 为 $B C$ 上的一点，且 $∠ B A M + ∠ C A E = 63 °$ ，求 $△ B D M$ 的周长；

(3)、如图3，在 $△ A B C$ 中， $A B = 5, B C = 8$ ， $∠ A B C$ 是一个变化的角，以 $A C$ 为边作等边 $△ A C E$ ，连接 $B E$ ，试探究，随着 $∠ A B C$ 的变化， $B E$ 的长度的取值范围？

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6、
我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式 $a x + y - 3 x + 5$ 的值与 $x$ 的取值无关，求 $a$ 的值．通常的解题思路是把 $x$ 看作字母， $a$ 看作系数，合并同类项．因为代数式的值与 $x$ 的取值无关，所以含 $x$ 的项的系数为0．
具体解题过程：原式 $= (a - 3) x + y + 5$
因为代数式的值与 $x$ 的取值无关．
所以 $a - 3 = 0$ ，解得 $a = 3$ ．
【理解应用】
（1）若关于 $x$ 的代数式 $m x - 2 x - 1$ 的值与 $x$ 的取值无关，则 $m$ 的值为___________．
（2）已知 $A = (n x + 1) (x - 2), B = x (m - x)$ ，且 $A + 3 B$ 的值与 $x$ 的取值无关，求 $n + 3 m$ 的值．
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为 $a$ ，宽为 $b$ ，按照图2方式不重叠地放在大长方形 $A B C D$ 内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为 $S_{1}$ ，左下角的面积为 $S_{2}$ ，当 $A B$ 的长度变化时， $S_{1} - S_{2}$ 的值始终保持不变，求 $a$ 与 $b$ 的等量关系．

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7、数学活动课上，刘老师准备了若干个如图1的三种纸片， $A$ 种纸片是边长为 $a$ 的正方形， $B$ 种纸片是边长为 $b$ 的正方形， $C$ 种纸片长为 $a$ 、宽为 $b$ 的长方形．并用 $A$ 种纸片一张， $B$ 种纸片一张， $C$ 种纸片两张拼成如图2的大正方形．
由图2，可得出三个代数式： ${(a + b)}^{2}, a^{2} + b^{2}, a b$ 之间的等量关系 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b$ ；

(1)、根据上述方法，若要拼出一个面积为 $(2 a + b) (a + 2 b)$ 的长方形，则需要 $A$ 种纸片2张， $B$ 种纸片2张， $C$ 种纸片___________张．

(2)、根据图（2）得出的等量关系，解决如下问题：
①已知： $a + b = 7, a^{2} + b^{2} = 37$ ，求 $a b$ 的值；
②已知： $x + \frac{1}{x} = 3$ ，求 $x^{4} + \frac{1}{x^{4}}$ 的值．

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8、如图， $C$ 为直线 $A B$ 外一动点， $A B = 5$ ，连接 $C A, C B$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别是 $A B$ 、 $B C$ 的中点，连接 $A E, C D$ 交于点 $F$ ， $S_{△ A D F}$ $S_{△ C E F}$ （填“ $<$ ”或“ $>$ ”或“ $=$ ”）；则当四边形 $B E F D$ 的面积为10时，线段 $A C$ 的长度的最小值为．

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9、已知 $a, b, c$ 为 $△ A B C$ 的三条边，若 $△ A B C$ 为等腰三角形，且 $a, b$ 满足 $a^{2} + b^{2} - 4 a - 10 b + 29 = 0$ ，则 $△ A B C$ 的周长为．

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10、有理数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 在数轴上的位置如图，则 $|a - b| - |b - c| + |c + a|$ 的化简结果为．

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11、已知 $x^{2} + x = 3$ ，则 $(x - 2) (2 x + 6)$ 的值是．

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12、学习完《利用三角形全等测距离》后，七年级数学兴趣小组同学就“测量河两岸

A

、

B

两点间距离”这一问题，设计了如下方案．

课题	测量河两岸 $A$ 、 $B$ 两点间距离
测量工具	测量角度的仪器，皮尺等
测量方案示意图
测量步骤	①在点 $B$ 所在河岸同侧的平地上取点 $C$ 和点 $D$ ，使得点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在一条直线上，且 $C D = B C$ ； ②测得 $∠ D C B = 100 °, ∠ A D C = 60 °$ ； ③在 $C D$ 的延长线上取点 $E$ ，使得 $∠ B E C = 20 °$ ； ④测得 $D E$ 的长度为39米．

(1)、猜想

A

、

B

两点间的距离

A B

为___________米．

(2)、请你利用数学方法说明此方案正确的理由

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13、如图，已知 $∠ E F C = ∠ A B C, ∠ B E F + ∠ A = 180 °$ ．

(1)、填空求证： $A D ∥ B E$ ；
证明：∵ $∠ E F C = ∠ A B C$ ，
∴ $A B ∥ \underline{}$ _________，
∴ $∠ B E F = ∠$ _________（_________________________），
∵ $∠ B E F + ∠ A = 180 °$ ，
∴ $∠$ _________ $+ ∠ A = 180 °$ ，
∴ $A D ∥ B E$ （_________________________）．

(2)、若 $B E$ 平分 $∠ A B C$ ， $A D ⊥ C D$ 于点 $D$ ， $∠ E F C = ∠ F E C - 18 °$ ，求 $∠ E F C$ 的度数．

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14、将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形，若 $∠ A C B = 54 °$ ，则 $∠ C A B$ 的度数为度．

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15、已知 $(x + 4) (2 x - 1) = 2 x^{2} + a x - 4$ ，则 $a$ 的值为．

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16、已知： $m + n - 3 = 0$ ，则 $2^{m} \times 2^{n}$ 的值为．

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17、下列结论正确的是（）

A、相等的角是对顶角 B、两点之间的线段的长度就是这两点间的距离 C、同位角相等 D、三角形的三条角平分线交于三角形外部一点

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18、如图，下列条件能判断两直线 $A D$ 和 $B C$ 平行的是（）

A、 $∠ A B C + ∠ B C D = 180 °$ B、 $∠ 3= ∠ 4$ C、 $∠ 1 = ∠ 2$ D、 $∠ 3 = ∠ 5$

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19、下列各式中，能用平方差公式计算的是（）

A、 $(a + b) (- a - b)$ B、 $(a + b) (a + b)$ C、 $(2 b - a) (2 b + a)$ D、 $(a - b) (2 a + b)$

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20、现藏于成都金沙遗址博物馆的“太阳神鸟”金饰为商周时期的文物，它的加工采用了热锻、锤摸、剪切、打磨、镂空等多种工艺，厚度仅有 $0.0002$ 米，体现了我国古代匠人的高超技艺，将数据 $0.0002$ 用科学记数法表示为（）

A、 $0.2 \times 10^{- 3}$ B、 $20 \times 10^{- 4}$ C、 $2 \times 10^{- 4}$ D、 $2 \times 10^{- 5}$

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