相关试卷

1、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点A在半径为1的 $⊙ O$ 上，B，C为平面内不重合的两点，对于 $⊙ O$ 与直线 $B C$ 给出如下定义：称点A到直线 $B C$ 的距离为 $⊙ O$ 与直线 $B C$ 关于点A的理想距离，记为 $d (⊙ O, B C, A)$ ，特别地，点A在直线 $B C$ 上时， $d (⊙ O, B C, A) = 0$ ．

(1)、已知 $A (- 1, 0)$ ， $B (0, 2)$ ．
①若 $C_{1} (0, 0)$ ，则 $d (⊙ O, B C_{1}, A) =$ ________，若 $C_{2} (2, 2)$ ，则 $d (⊙ O, B C_{2}, A) =$ ________；
②若点C在直线 $y = k x + 3 (0 < k < 2)$ 上，则 $d (⊙ O, B C, A)$ 的取值范围是________；

(2)、若点 $D (3, 4)$ ，且 $C D = 2$ ，点B在函数 $y = x + 2 (- 2 < x < 0)$ 的图象上，对于每一个点B，记 $d (⊙ O, B C, A)$ 的最大值为d，直接写出d的取值范围以及d最小时点C的坐标．

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2、在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B > 90 °$ ，以 $A$ 为中心，将线段 $A C$ 逆时针旋转 $α (0 ° < α < 180 °)$ ，得到线段 $A D$ ，以 $A$ 为中心，将线段 $A B$ 顺时针旋转 $180 ° - α$ ，得到线段 $A E$ ，连接 $D E$ ．

(1)、根据题意补全图1，并证明 $∠ D A E + ∠ B A C = 180 °$ ；

(2)、如图2，点 $F$ 在 $B C$ 的延长线上，且 $∠ A F C = ∠ E + ∠ B$ ，用等式表示线段 $A F$ 与 $D E$ 之间的数量关系，并证明．

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3、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 1 (a > 0)$ 经过点 $(3, 1)$ ．

(1)、求该抛物线的表达式(用含a的式子表示)；

(2)、过点 $(0, 1)$ 作y轴的垂线l，将抛物线 $y = a x^{2} + b x + 1 (a > 0)$ 在直线l下方的部分沿直线l翻折，与抛物线的其他部分组成的图形记为G，直线 $x = t$ 与直线 $y = a x + 1$ 交于点M，与图形G交于点N(不与点M重合)，若 $M N$ 的长度随t的增大而减小，求所有满足题意的t的取值范围．

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4、某学校数学建模小组利用人工智能软件对小明的推铅球训练进行研究，他们发现，推出后的铅球沿抛物线 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 运行，其中y（单位：m）是铅球离地面的高度，x（单位：m）是铅球离推出位置的水平距离，铅球推出位置离地面的高度为 $1.6 m$ ．

(1)、在第一次训练中，推出后的铅球运行的路线如图所示，已知 $h = 3$ ， $k = 2.5$ ，求a的值；

(2)、小明根据建模小组的建议改进动作，在第二次训练中，已知 $h = 4$ ， $k = 3$ ，若成绩比第一次提高 $2 m$ 及以上就算改进成功，请通过计算，对小明此次改进是否成功进行说明．

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5、如图，点 $C$ 在以 $A B$ 为直径的半圆 $O$ 上，过点 $C$ 作半圆 $O$ 的切线，交 $B A$ 的延长线于点 $D$ ，过点 $A$ 作 $C D$ 的平行线，交半圆 $O$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{C E}$ ；

(2)、连接 $B C$ ，交 $A E$ 于点 $F$ ，连接 $A C$ ， $O F$ ，若 $A D = A C = \sqrt{3}$ ，求 $E F$ 的长及 $O F$ 的长．

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6、小军同学计划为一幅长 $10$ 寸，宽 $9$ 寸的创意画（图中阴影部分为其示意图）制作一个摆台画框，根据有关要求，画框的上、下边宽度相等，左、右边宽度相等，上、下边宽度是左、右边宽度的 $2$ 倍，若画框所占面积为创意画面积的 $\frac{1}{3}$ ，则摆台画框的左、右边宽度应是多少？

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7、如图，将一个矩形纸片盖在 $⊙ O$ 上，矩形的边与圆交于点A，B， $A B = 4 mm$ ，已知 $⊙ O$ 的顶端到直线 $A B$ 的距离为 $4 mm$ ，求 $⊙ O$ 半径的长．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ，以C为中心，将 $△ A B C$ 逆时针旋转得到 $△ D E C$ ，其中点A的对应点为D，点B的对应点为E，点D在线段 $A B$ 的延长线上．判断 $B C$ 与 $D E$ 的位置关系，并证明．

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9、已知抛物线 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x
…
$- 1$
0
1
2
3
…
y
…
0
$- 3$
$- 4$
$- 3$
0
…

(1)、求该抛物线的表达式；

(2)、在平面直角坐标系中画出该抛物线，并直接写出当 $0 \leq x \leq 4$ 时，y的取值范围．

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10、在一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求下列事件的概率：

(1)、两次摸取的小球的标号相同；

(2)、两次摸取的小球标号的和等于5．

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11、已知关于x的一元二次方程 $a x^{2} - 2 x + 1 = 0 (a > 0)$ 的两个实数根分别为 $m$ ， $n (m < n)$ ，有下面四个结论：
①已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 x + 1$ ，若 $y < 0$ ，则 $x < m$ 或 $x > n$ ；
②在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = 2 x - 1$ 与抛物线 $y = a x^{2}$ 交点的横坐标分别为 $m ， n$ ；
③不等式 $a x^{2} < 2 x - 1$ 的解集为 $m < x < n$ ；
④若 $m ， n$ 都小于 $2$ ，则 $a$ 的取值范围是 $\frac{3}{4} < a < 1$ ．
所有正确结论的序号为．

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12、如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A D = C D$ ， $∠ A B C = 135 °$ ．若 $A C = 2 \sqrt{2}$ ，则 $△ A D C$ 的面积为．

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13、某快递公司为了解11月快递订单准时送达情况，从11月份完成的快递订单中进行了随机抽取，获得的数据如下：
订单数/份
50
100
200
700
800
1000
准时送达的订单数/份
41
87
175
610
695
870
准时送达的订单的频率（保留小数点后三位）
0.820
0.870
0.875
0.871
0.869
0.870
若该公司11月份共完成5000份快递订单，则准时送达的订单约份．

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14、如图，点M的坐标为 $(- 2, 1)$ ，将线段 $O M$ 绕点O顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $O N$ ，则点N的坐标为．

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15、方程 $x^{2} - 4 = 0$ 的根为．

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16、在平面直角坐标系中，点 $P (- 2, 3)$ 关于原点的对称点Q的坐标为．

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17、如图，在正方形 $A B C D$ 中，E是 $A D$ 边的中点，P是 $A B$ 边上的动点（不与点A，B重合），以E为中心，将线段 $E P$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ ，得到线段 $E Q$ ．给出下面四个结论：
① $∠ A P E = ∠ Q E D$ ；
② $A P < A E$ ；
③D，Q两点间距离的最小值大于C，Q两点间距离的最小值；
④点Q到直线 $A D$ ， $B C$ 的距离相等．
上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A、①③ B、①④ C、①③④ D、②③④

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18、如图，点A在 $⊙ O$ 外，连接 $O A$ ，作线段 $O A$ 的中点B，以B为圆心， $B O$ 为半径作 $⊙ B$ ，与 $⊙ O$ 交于两点C，D，连接 $A C ， A D ， O C ， O D$ ，则 $∠ O C A$ ， $∠ O D A$ 均为直角，直线 $A C$ ， $A D$ 是 $⊙ O$ 的两条切线．得到 $∠ O C A$ ， $∠ O D A$ 均为直角的依据是（）

A、同弧或等弧所对的圆周角相等 B、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C、直径所对的圆周角是直角 D、圆的切线垂直于过切点的半径

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19、先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次都是正面向上的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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20、用配方法解一元二次方程 $x^{2} + 6 x + 3 = 0$ 时，将方程化为 ${(x + m)}^{2} = n$ 的形式，则n的值为（）

A、12 B、9 C、6 D、3

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订单数/份	50	100	200	700	800	1000
准时送达的订单数/份	41	87	175	610	695	870
准时送达的订单的频率（保留小数点后三位）	0.820	0.870	0.875	0.871	0.869	0.870

x	…	$- 1$	0	1	2	3	…
y	…	0	$- 3$	$- 4$	$- 3$	0	…