相关试卷

1、阅读下面的材料，并解决问题.
因式分解： ${(x + y)}^{2} + 2 (x + y) + 1 。$
解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，
则原式 $= A^{2} + 2 A + 1 = {(A + 1)}^{2} 。$
再将“A”还原，原式=(x+y+1)²。
上述解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学应用中常见的一种思想方法。

(1)、因式分解：( $a^{2} - 4 a b + 4 b^{2} - 9 。$

(2)、试说明：若n为正整数，则式子 $(n^{2} - n) (n^{2}$ -n+2)+1的值一定是某个整数的平方。

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2、给出下面四个多项式：①x²-xy； $② x^{2} - y^{2};$ $③ x^{2} - 2 x y + y^{2}; ④ x^{2} + y^{2},$ 其中含因式(x-y)的有 ( )

A、①② B、①③ C、①②③ D、②③④

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3、七(2)班12 名参加鼓号队的同学身高(单位：cm)如下：162，157，161，164，154，153，156，168，153，152，165，158。那么身高在 155.5~160.5这一组的频数是。

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4、下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并回答问题：
解分式方程： $\frac{x - 3}{x - 2} + 2 = \frac{1}{2 - x} 。$
解：去分母，得x-3+2(x-2)=1。…第一步去括号，得x-3+2x-4=1。…第二步移项、合并同类项，得3x=8。…第三步解得 $x = \frac{8}{3} 。$ …第四步
经检验 $x = \frac{8}{3}$ 是原分式方程的解。…第五步

(1)、上面的解题过程从第步开始出现错误，这一步错误的原因是。

(2)、上面解题过程的第五步是检验分式方程是否产生增根，增根指的是(文字叙述)。

(3)、请你帮这个同学正确解答这个分式方程。

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5、甲、乙两个工程队合修一条长为1 500米的公路，已知甲工程队每天修( $(m^{2} -$ n²)米，乙工程队每天修(m-n)²米，工程完成后统计，甲工程队修了900米，乙工程队修了600米。

(1)、甲工程队修路所用时间是乙工程队的多少倍?

(2)、当 $\frac{m}{n} = \frac{5}{2}$ 时，求(1)中倍数的值。

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6、计算：

(1)、 $\frac{x - 2}{x + 1} \div (x - 2);$

(2)、 $\frac{2 x^{2} y}{3 m n} \cdot \frac{5 m^{2} n}{4 x y} \div \frac{5 x y m}{3 n};$

(3)、 $\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} + 2 a b + b^{2}} \div \frac{a - b}{a + b};$

(4)、 $\frac{3 x}{4 x - 3} \div \frac{2}{16 x^{2} - 9} \cdot \frac{x}{4 x + 3} 。$

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7、阅读以下解题过程：
题目：已知 $\frac{x}{a - b} = \frac{y}{b - c} = \frac{z}{c - a}$ (a，b，c互不相等)，求x+y+z的值。
解：设 $\frac{x}{a - b} = \frac{y}{b - c} = \frac{z}{c - a} = k,$ 则x=k(a-b)，y=k(b-c)，z=k(c-a)，
∴x+y+z=k(a-b+b-c+c-a)=k×0=0，∴x+y+z=0。
依照上述方法，解答下列问题：
已知： $\frac{y + z}{x} = \frac{z + x}{y} = \frac{x + y}{z},$ 其中x+y+z≠0，求 $\frac{x + y - z}{x + y + z}$ 的值。

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8、已知a-b-1=0，求分式 $\frac{3 (a - 2 b) + 3 b}{a^{2} - 2 a b + b^{2}}$ 的值。

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9、设图1中阴影部分的面积与图2 中阴影部分的面积之比为k，则k= ( )

A、1 B、 $\frac{a + b}{a}$ C、 $\frac{a - b}{a}$ D、 $\frac{a}{a + b}$

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10、已知( ${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} +$ 2ab+2ac+2bc，如：( ${(x + 2 y - 3 z)}^{2} = x^{2} + 4 y^{2}$ $+ 9 z^{2} + 4 x y - 6 x z - 12 y z 。$
请利用上面的等式分解因式：

(1)、 $x^{2} + y^{2} + 1 - 2 x y + 2 x - 2 y 。$

(2)、 $4 a^{2} + 9 b^{2} + c^{2} - 12 a b + 4 a c - 6 b c - 1 。$

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11、分解因式：

(1)、x²+2x+1=；

(2)、2x²-4x+2=；

(3)、3x²-18x+27=；

(4)、(x+2)(x+4)+1=。

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12、

(1)、因式分解：(x-y)(3x-y)+2x(3x-y)。

(2)、设 y= kx，是否存在实数k，使得(1)中的结果为x²?若存在，求出所有满足条件的 k的值；若不存在，请说明理由。

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13、分解因式：

(1)、 $x^{2} + x$ =；

(2)、 $a^{2} - 3 a$ =；

(3)、 $a^{2} - a b^{2}$ =；

(4)、ab+4a=；

(5)、x²y+2xy=。

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14、仔细阅读下面的例题：例：已知二次多项式 $x^{2} - 4 x + m$ 有一个因式为x+3，求另一个因式以及 m的值。
解：设另一个因式为x+n。
由题意，得x²-4x+m=(x+3)(x+n)，
则 $x^{2} - 4 x + m = x^{2} + (n + 3) x + 3 n,$
$∴ {\begin{matrix} n + 3 = - 4, \\ 3 n = m, \end{matrix}$ 解得 ${\begin{matrix} m = - 21, \\ n = - 7, \end{matrix}$
∴另一个因式为x-7，m的值为-21。
请仿照上述方法解答下列问题：

(1)、若x²+ bx+c=(x-2)(x+4)，则b= ， c=。

(2)、已知二次多项式 $2 x^{2} + 5 x + k$ 有一个因式为2x-3，求另一个因式以及k的值。

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15、如图1，某工人师傅在一个边长为a 的正方形的四个角截去了 4 个边长为b 的正方形，再沿图中的虚线把①，②两个长方形剪下来，拼成了如图2 所示的一个大长方形.试根据图1与图2，写出一个关于因式分解的等式：。

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16、利用因式分解的变形方法计算：

(1)、 $202 5^{2} - 2025 \times 25$ =；

(2)、 $7 8^{2} - 2 2^{2}$ =。

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17、下列从左到右的变形中，属于因式分解的是( )

A、 $a^{2} + 3 a - 5 = a (a + 3) - 5$ B、 $(a + 2) (a - 2) = a^{2} - 4$ C、 $a^{2} - 2 a + 1 = {(a - 1)}^{2}$ D、2a-2b+2=2(a-b)

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18、先化简，再求值： $[{(2 a + b)}^{2} - (2 a + b) (2 a -$ b)]÷(2b)，其中a=2，b=-1。

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19、

(1)、已知 ${(a^{m})}^{n} = a^{2}, 2^{2 m} \div 2^{2 n} = 2^{9} 。$
①求 mn和m-n的值。
②求 $m^{2} + n^{2} - m n$ 的值。

(2)、若x=2"+1，y=3+4"。请用含x的代数式表示y；如果x=4，求此时y的值。

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20、下列运算结果等于 a⁶的是( )

A、 $a^{3} + a^{3}$ B、 $a \cdot a^{4}$ C、 $a^{8} \div a^{2}$ D、 ${(- a^{2})}^{3}$

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