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1、（1）计算： $\frac{1}{a + 1} + \frac{a}{a + 1}$
（2）因式分解： $x^{3} - x$

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2、若 $x^{2} + k x + 1$ 是完全平方式，则 $k$ 的值为．

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3、 ${(2025 - π)}^{0} =$ ．

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4、我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了 ${(a + b)}^{n} (n = 1, 2, 3, 4, \dots)$ 的展开式的系数规律（按 $a$ 的次数由大到小的顺序）：
$1$       $1$                      ${(a + b)}^{1} = a + b$
$1$       $2$       $1$                   ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
$1$       $3$       $3$         $1$              ${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
$1$       $4$       $6$         $4$         $1$         ${(a + b)}^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}$
……                                      ……
请根据上述规律，则 ${(x + 1)}^{2025}$ 展开式中含 $x^{2024}$ 项的系数是（       ）

A、 $2026$ B、 $2025$ C、 $2024$ D、 $2023$

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5、如图，一块含有 $60 °$ 角的直角三角板放置在两条平行线上，若 $∠ α = 22 °$ ，则 $∠ β$ 为（　　）

A、 $108 °$ B、 $98 °$ C、 $102 °$ D、 $82 °$

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6、将分式方程 $\frac{1}{x} = \frac{2}{x - 2}$ 去分母后得到的整式方程，正确的是（）

A、 $x - 2 x = 2 x$ B、 $x - 2 = 2 x$ C、 $x^{2} - 2 x = 2 x$ D、 $x = 2 x - 4$

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7、已知 $△ A B C$ 是等腰三角形，若 $∠ A = 100 °$ ，则 $△ A B C$ 的底角是（）

A、 $40 °$ B、 $80 °$ C、 $100 °$ D、 $100 °$ 或 $40 °$

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8、下列运算正确的是（）

A、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ B、 $a^{3} \cdot a^{4} = a^{12}$ C、 ${(a^{3})}^{4} = a^{12}$ D、 ${(a b)}^{2} = a b^{2}$

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9、如图所示，在 $△ A B C$ 中， $A C ⊥ B C, A D$ 为 $∠ B A C$ 的平分线， $D E ⊥ A B, C D = 3 cm$ ，则 $D E$ 等于（）

A、 $1cm$ B、 $2cm$ C、 $3cm$ D、 $4cm$

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10、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P (3, - 4)$ 关于 $y$ 轴的对称点的坐标是（）

A、 $(3, - 4)$ B、 $(- 3, - 4)$ C、 $(- 4, 3)$ D、 $(- 3, 4)$

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11、下列三条线段的长度能组成三角形的是（）

A、3，3，6 B、4，5，8 C、5，6，11 D、6，8，15

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12、若分式 $\frac{x}{x + 2}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \neq - 2$ B、 $x = 1$ C、 $x \neq 1$ D、 $x = - 2$

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13、下列图形中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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14、2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于9月3日在天安门广场阅兵，56门礼炮，80响轰鸣，寓意着56个民族共同抗击日本侵略者进行了艰苦卓绝的斗争．下图①是礼炮图片，图②是礼炮抽象示意图，已知 $E F$ 是水平线， $A B = 2.4 m$ ， $E D = 2.1 m$ ， $A B$ ， $D E$ 的仰角分别是 $30 °$ 和 $10 °$ ， $B C = 0.7 m$ ， $C D = 0.812 m$ ，且 $C D ⊥ E F$ ．
（以上结果精确到 $0.1 m$ ．参考数据： $\sin 10 ° \approx 0.17$ ， $\cos 10 ° \approx 0.98$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ．）

(1)、求点A的铅直高度；

(2)、求A，E两点的水平距离．

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15、在科技嘉年华上，一台宇树机器人为观众表演舞蹈．研究人员发现，机器人跳舞时其膝盖处的关节运动轨迹近似一条抛物线．假设机器人单腿抬起时，其膝盖相对于脚踝的竖直高度h（单位：厘米）与时间t（单位：秒）满足二次函数关系．研究人员测得三个时刻的高度：在 $t = 0$ 秒时膝盖高度为0厘米（脚踝处），在 $t = 1$ 秒时高度为32厘米，在 $t = 2$ 秒时高度为0厘米．

(1)、求高度h与时间t之间的函数关系式；

(2)、求膝盖能达到的最大高度及对应的时间；

(3)、若研究人员设定机器人需要在高度等于24厘米时触发一次“庆祝成功”的闪光，问在膝盖上升和下降过程中，分别在哪两个时刻触发闪光？这两个时刻的时间间隔是多少？

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16、已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为 $(3, 1)$ ， $(2, - 1)$ ．

(1)、画出 $△ O A B$ 绕点O顺时针旋转 $90 °$ 后得到的 $△ O A_{1} B_{1}$ ，并写出 $A_{1}$ 的坐标为______；

(2)、在y轴的左侧以O为位似中心作 $△ O A B$ 的位似图形 $△ O A_{2} B_{2}$ ，使新图与原图相似比为 $2 : 1$ ；

(3)、若点 $D (a, b)$ 在线段OA上，直接写出变化后点D的对应点 $D_{2}$ 的坐标为______．

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17、（1）如图，D、E是 $△ A B C$ 的边 $A C 、 A B$ 上的点，且 $A D \cdot A C = A E \cdot A B$ ，求证： $∠ A D E = ∠ B$ ．
（2）已知二次函数 $y = - 2 {(x - 2)}^{2} + 2$ ，求抛物线的顶点坐标和对称轴；当x取何值时，函数y等于0．

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18、已知： $\frac{a}{4} = \frac{b}{5} = \frac{c}{6} \neq 0$ ，求 $\frac{a + b}{c}$ 的值．

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19、某校开放周筹备期间，小杨接到一项任务：将一批纪念徽章分发给志愿者．他们发现，每天分发的数量与分发天数成反比例关系．已知如果每天分发50枚，则恰好按计划天数完成；如果每天分发75枚，则可以提前2天完成．则每天分发数量y（枚）与分发天数x（天）之间的函数关系式为

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20、 $tan 45 °$ 的值等于

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