相关试卷

1、如图，字母A所代表的正方形的面积为（）

A、6 B、7 C、10 D、25

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2、如图，直线 $a ∥ b$ ，若 $∠ 1 = 38 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $52 °$ B、 $38 °$ C、 $58 °$ D、 $142 °$

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3、某数学兴趣小组进行如下探究：
如图 $1$ ，在 $△ A B C$ 中， $A M$ 是它的中线，则中线平分三角形的面积，即 $\frac{S_{△ A B M}}{S_{△ A M C}} = \frac{B M}{M C} = 1$ ．
继续探究，如图 $2$ ，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是它的角平分线，此时角平分线不一定平分三角形的面积，但发现 $△ A B D$ 和 $△ A C D$ 的面积比等于图中两组不同的线段比，即 $①$ $\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ A C D}} = \frac{B D}{C D}$ ， $②$ $\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ A C D}} =$ ________．

(1)、【猜想结论】 $②$ $\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ A C D}} =$ ___________；

(2)、【证明结论】请证明（ $1$ ）中你所猜想的结论；

(3)、【应用结论】如图 $3$ ，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是它的角平分线， $B D = 2 C D$ ， $E$ 是 $A B$ 的中点，连接 $C E$ ．
$①$ 求证： $A D$ 垂直平分 $C E$ ；
$②$ 在图中画出 $△ A B D$ 边 $A D$ 上的高 $B F$ （只需体现 $B F$ 的位置），则 $\frac{S_{△ B D F}}{S_{△ A C D}}$ ___________．（无需证明）

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4、小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．
已知：在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ．
求作：线段 $C D$ ，使得线段 $C D$ 将 $△ A B C$ 分割成两个等腰三角形．
下面是小明设计的尺规作图的作法：
①作直角边 $A C$ 的垂直平分线 $M N$ ，与斜边 $A B$ 相交于点 $D$ ；②连接 $C D$ ，则线段 $C D$ 为所求．

(1)、请你按照小明设计的作法，使用无刻度的直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明： $∵$ 直线 $M N$ 是线段 $A C$ 的垂直平分线．点 $D$ 在直线 $M N$ 上，
$∴ D C =$ ___________．（___________）（填推理的依据）
$∴ ∠ A = ∠$ ___________．
$∵ ∠ A C B = 90 °$ ，
$∴ ∠ B C D = 90 ° - ∠ A C D$ ．
$∠ B = 90 ° - ∠$ ___________．
$∴ ∠ B C D = ∠ B$ ．
$∴ D C = D B$ ．（___________）（填推理的依据）
$∴ △ D C B$ 和 $△ D C A$ 都是等腰三角形．

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5、如图，和谐广场有一块长为 $(4 a + 2 b)$ 米、宽 $(3 a + b)$ 米的长方形空地，角上有两块边长均为 $(a - b)$ 米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米）

(1)、用含有 $a ， b$ 的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；

(2)、若 $a = 30$ ， $b = 10$ ，求出绿化的总面积．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在 $B C$ 边上，沿 $A D$ 将 $△ A B C$ 折叠，使点 $C$ 与 $B C$ 边上的点 $C^{'}$ 重合，展开后得到折痕a．

(1)、折痕a是 $△ A B C$ 的___________；（填“角平分线”“中线”或“高”）

(2)、若 $∠ B A C^{'} = 10 °$ ， $∠ B = 40 °$ ，求 $∠ D A C$ 的度数．

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7、已知 $O$ 是直线 $A B$ 上的一点， $∠ C O D$ 是直角．

(1)、如图1，若 $O F$ 平分 $∠ B O D$ ，当 $∠ B O F = 25 °$ 时，求 $∠ A O C$ 的度数；

(2)、如图2， $O E$ 平分 $∠ B O C$ ， $O F$ 平分 $∠ B O D$ ，求 $∠ E O F$ 的度数；

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8、如图，表中给出的是某月的日历表，在该表中任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和可能是①70；②84；③105；④140，其中正确的可能有．（填写序号）

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9、如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在一条直线上，如果 $∠ 1 = 27 ° 2 4^{'}$ ，那么 $∠ 2 =$ ．

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10、如图， $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ．以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ，过点 $C$ 作 $C E ∥ A B$ ，且使 $C E = C D$ ，连接 $A E$ ．

(1)、求证： $A E$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、已知 $⊙ O$ 的半径为 $5$ ， $\sin ∠ D A C = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，求 $A D$ 的长．

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11、已知：点 $P (1, m)$ 、 $Q (n, \frac{1}{2})$ 在反比例函数 $y = \frac{3}{2 x}$ 的图象上，直线 $y = k x + b$ 经过点P、Q，且与x轴，y轴的交点分别为A、B两点．

(1)、求直线 $A B$ 的表达式；

(2)、O为坐标原点，C在直线 $P Q$ 上且满足 $A B = A C$ ，点D在坐标平面内，顺次连接点O、B、C、D的四边形满足： $B C ∥ O D ， B O = C D$ ，求D点坐标．

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12、如图，拱门的上部是一段圆弧 $A D$ ，其圆心O在线段 $E F$ 上，点E是弧 $A D$ 的中点，下部是宽 $B C$ 为 $4.8 m$ ，高 $A B$ 为 $2.8 m$ 的长方形，已知拱门最高处E距离地面的高度 $E F$ 为 $4 m$ ， $E F ⊥ A D$ 于点P，连接 $A O$ ．求上部圆弧的半径 $A O$ 的长．

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13、如图，点 $D$ ， $E$ 是 $△ A B C$ 中 $A B$ 边上的点， $D E ∥ B C$ ．

(1)、求证： $△ A D E ∽ △ A B C$

(2)、若 $A E = 5$ 、 $A C = 6$ ， $B C = 7$ ，求 $D E$ 的长．

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14、已知二次函数y=ax²+bx+c图象与y轴交于点 $A (0, - 2)$ ，顶点为 $B (1, - 3)$ ．

(1)、求该二次函数解析式．

(2)、当 $0 \leq x \leq 6$ 时，求y的取值范围．

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15、如图，四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 互相垂直，点E，F分别是 $A D ， B C$ 的中点，连接 $E F$ ，已知 $B D = 6$ ， $A C = 8$ ，则

（1）四边形 $A B C D$ 的面积为；
（2） $E F$ 的长为．

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16、已知反比例函数 $C_{1}$ ： $y = \frac{2}{x}$ 和 $C_{2}$ ： $y = \frac{5}{x}$ 在第一象限的图象如图所示，平行四边形 $A B C O$ 的顶点 $A$ ， $B$ 分别在 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 上，点 $C$ 在 $x$ 轴上，则 $▱ A B C O$ 的面积为．

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17、如图，点D是等边 $△ A B C$ 边AB上的一点，且 $A D : D B = 1 : 3$ ，现将 $△ A B C$ 折叠，使点C与D重合，折痕为 $E F$ ，点E，F分别在 $A C$ 和 $B C$ 上，则 $C E : C F =$ （　　）

A、 $1 : 3$ B、 $2 : 5$ C、 $4 : 6$ D、 $5 : 7$

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18、从如图所示的二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）的图象中，观察得出了下面5条信息：① $c < 0$ ；② $a b c < 0$ ；③ $a - b + c > 0$ ；④ $2 a + 3 b = 0$ ；⑤ $c - 4 b > 0$ .你认为其中正确的信息有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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19、如图， $△ A B C$ 中， $A B > B C$ ， $∠ A B C = 50 °$ ，将边 $A B$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $24 °$ 得 $A^{'} B$ ，交 $A C$ 于点D，则 $∠ B D C$ 比 $∠ A$ （　　）

A、小 $26 °$ B、大 $26 °$ C、小 $24 °$ D、大 $24 °$

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20、如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $A C = 1$ ，则 $\sin B$ 的值为（）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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