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相关试卷

1、若一元二次方程 $a x^{2} - 10 x + 1 = 0$ 有两个相等的实数根，则 $a$ 的值（）

A、大于25 B、等于25 C、小于25 D、不小于25

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2、下列方程中属于一元二次方程的是（）

A、 $8 (x - 4) = 15$ B、 $\frac{2}{x - 3} = 1$ C、 $x^{2} - 9 = 0$ D、 $2 x + 4 y = 10$

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3、综合与探究
问题情境：如图1，数轴上一动点 $A$ 向左移动2个单位长度到达点 $B$ ，再向右移动5个单位长度到达点 $C$ ，若点 $A$ 表示的数为 $a$ ，点 $C$ 表示的数为1．
问题解决：
（1）求代数式 $2 {(2 a - 1)}^{2} - 5 {(2 a - 1)}^{2} + 4 {(2 a - 1)}^{2}$ 的值．
（2）已知多项式 $(m x^{2} + 3 a x^{2} + 3 x) + (- \frac{a}{2} - x + 3 m x^{2}) + a x$ 的值与 $x^{2}$ 的取值无关，求 $4 m^{2} - 6 m + 2$ 的值．
拓展延伸：
（3）在（2）的条件下，如图2，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为 $\frac{1}{2}$ 的长方形，接着把一个面积为 $\frac{1}{2}$ 的长方形等分成两个面积为 $\frac{1}{4}$ 的正方形，再把一个面积为 $\frac{1}{4}$ 的正方形等分成两个面积为 $\frac{1}{8}$ 的长方形， $\dots \dots$ ，依次进行下去，试利用图形揭示的规律求代数式 $(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32}) (2 m + a) + (\frac{1}{64} + \frac{1}{128} + \frac{1}{256}) (- a - 1)$ 的值．

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4、综合与实践
问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作 $F$ ，顶点数记作 $V$ ，棱数记作 $E$ ．
下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数：
多面体
面数 $F$
5
6
7
8
顶点数 $V$
6
8
b
12
棱数 $E$
9
a
15
18
初步探究：（1）填空： $a =$ _____， $b =$ _____．
（2）根据表中的数据，我们发现多面体的棱数 $E$ 、面数 $F$ 与顶点数 $V$ 之间存在一定的关系，这个关系是 $E =$ _____．（用含 $F$ ， $V$ 的代数式表示）
深入探究：（3）若一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的面数．

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5、阅读与思考

下面是小宣同学的数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．

差倒数

【概念理解】已知有理数 $a$ ，且 $a \neq 1$ ，我们把 $\frac{1}{1 - a}$ 称为 $a$ 的差倒数．因为分数的分母不能为0，所以1没有差倒数．例如10的差倒数为 $\frac{1}{1 - 10} = - \frac{1}{9}$ ， $\frac{1}{10}$ 的差倒数为 $\frac{1}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{10}{9}$ ，等等．

【问题解决】问题1：已知5的差倒数为 $x$ ， $\frac{5}{9}$ 的差倒数为 $y$ ，则 $x + y =$ ______．

问题2：已知 $a_{1} = - \frac{1}{3}$ ， $a_{2}$ 是 $a_{1}$ 的差倒数， $a_{3}$ 是 $a_{2}$ 的差倒数， $a_{4}$ 是 $a_{3}$ 的差倒数……依此类推，求 $a_{2026}$ 的差倒数．

解：根据差倒数的定义，因为 $a_{1} = - \frac{1}{3}$ ，所以 $a_{2} = \frac{1}{1 - a_{1}} = \frac{1}{1 - (- \frac{1}{3})} = \frac{3}{4}$ ，

$a_{3} = \frac{1}{1 - a_{2}} = \frac{1}{1 - \frac{3}{4}} = 4$ ， $a_{4} = \frac{1}{1 - a_{3}} = \frac{1}{1 - 4} = - \frac{1}{3} \dots \dots$

任务：

(1)、材料中问题1的“_____”处应填写_____．

(2)、补全材料中问题2解答过程的剩余部分．

(3)、现有若干个数，第1个数记为

a_{1}

，第2个数记为

a_{2}

，第3个数记为

a_{3}

，第4个数记为

a_{4}, \dots \dots

，第100个数记为

a_{100}

，若

a_{1} = - \frac{1}{2}

，接下来的都是它前面那个数的差倒数，直接写出

a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot a_{4} \cdot \dots \cdot a_{100}

的值．

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6、如图，用若干个完全相同的小立方块搭一个几何体．请在如图所示的网格中画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图．

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7、计算：

(1)、 $\frac{7}{4} + \frac{9}{7} + \frac{1}{4} - \frac{2}{7}$ ．

(2)、 $- 5 + (- 6) - (- 10) - |- 3|$ ．

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8、已知 $a$ 为多项式 $3 x^{2} - 2 x y - 5 y^{2} + 2$ 的各项系数之和， $b = ({2.5}^{2} - {1.5}^{2}) \times 2.5 - 11$ ，则代数式 $3 (a^{2} - a b + 2 b^{2}) - 2 (a^{2} - \frac{3}{2} a b + 2 b^{2})$ 的值为．

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9、三个互不相等的有理数，既可表示为1， $a + b$ ， $a$ 的形式，又可表示为0， $\frac{b}{a}$ ， $b$ 的形式，则 $a^{2026} + b^{2025} =$ ．

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10、已知某三角形的周长为 $5 a + 5$ ，其中两边长的和为 $4 a + 4$ ，则该三角形第三边的长为（用含 $a$ 的代数式表示）．

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11、如图，这是一组有规律的图案，它们是由边长相同的灰白两种颜色的小正方形组成的．按照这样的规律，第675个图案中灰色小正方形有（）

A、2024个 B、2025个 C、2026个 D、2027个

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12、下表为小宣的妈妈从星期一到星期日测量血压时收缩压的变化情况，已知小宣的妈妈上周日的收缩压为 $130 mmHg$ （“+”表示血压比前一天上升，“-”表示血压比前一天下降）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
血压变化/mmHg
+10
-15
+3
+8
-4
-6
+1
小宣的妈妈在本周收缩压最低的是（）

A、星期二 B、星期三 C、星期六 D、星期日

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13、如图，嘉淇制作了一个无盖的正方体收纳盒，盒子的前面有一圆形标签，则此收纳盒的展开图是（）

A、 B、 C、 D、

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14、我省坚持实施就业优先战略，持续打好减负稳岗扩就业政策“组合拳”，2025年上半年，全省城镇新增就业 $2.787 \times 10^{5}$ 人，用科学记数法表示的数据 $2.787 \times 10^{5}$ 的原数是（）

A、2787 B、27870 C、278700 D、2787000

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15、若单项式 $x^{m} y$ 与单项式 $- 4 x y^{n}$ 是同类项，则 ${(- m n)}^{3}$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、1或 $- 1$

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16、截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．如图，该几何体的截面是（）

A、平行四边形 B、三角形 C、正方形 D、长方形

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17、用代数式表示“ $x$ 的 $3$ 倍与 $2$ 的差”正确的是（）

A、 $3 x + 2$ B、 $3 x - 2$ C、 $3 (x - 2)$ D、 $3 (x + 2)$

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18、综合与探究：
如图，直线 $y = k x - 2$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $B, C$ 两点，其中 $O B = 1$ ．
（1）求 $k$ 的值；
（2）若点 $A (x, y)$ 是直线 $y = k x - 2$ 上的一个动点，当点 $A$ 仅在第一象限内运动时，试写出 $△ A O B$ 的面积 $S$ 与 $x$ 的函数关系式；
（3）探索：①在（2）条件下，当点 $A$ 运动到什么位置时， $△ A O B$ 的面积是1；
②在①成立的情况下，已知 $∠ A O B = 45 °$ ，在 $x$ 轴上是否存在一点 $P$ ，使 $△ P O A$ 是直角三角形？若存在，请写出满足条件的所有 $P$ 点的坐标；若不存在，请说明理由．

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19、阅读与应用：

下面是小敏学习实数之后，写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务．

2025年9月22日天气：晴

无理数与线段长

今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实．

回顾梳理：要在数轴上找到表示 $\pm \sqrt{2}$ 的点，关键是在数轴上构造线段 $O A = O A^{'} = \sqrt{2}$ ．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点 $O$ 为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点 $A$ ， $A^{'}$ ，则点 $A$ 对应的数为 $\sqrt{2}$ ，点 $A^{'}$ 对应的数为 $- \sqrt{2}$ ．类似地，我们可以在数轴上找到表示 $\pm \sqrt{5}$ ， $\pm \sqrt{10}$ ……的点．

拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段 $O B$ 与 $O B^{'}$ ，其中 $O$ 仍为原点，点 $B$ ， $B^{'}$ 分别在原点的右侧、左侧，可由线段 $O B$ 与 $O B^{'}$ 的长得到点 $B$ ， $B^{'}$ 所表示的无理数！

按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！

任务：

(1)、“拓展思考”中，线段

O B

的长为，

O B^{'}

的长为；点

B

表示的数为，点

B^{'}

表示的数为；

(2)、请在图3所示的数轴上，画图确定表示

2 - \sqrt{10}

的点

M

，以及表示

2 + \sqrt{10}

的点

N

．

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20、寒假期间，某健身俱乐部面向学生推出优惠活动，具体为：办理会员，每次健身费用按照八折计算．健身费用 $y$ （元）与健身次数 $x$ （次）之间的函数关系如图所示，其中会员的健身费用为 $y_{1}$ 元，非会员的健身费用为 $y_{2}$ 元．

(1)、办理会员的费用为多少元？会员每次健身的费用为多少元？

(2)、请直接写出会员和非会员健身费用 $y$ （元）与健身次数 $x$ （次）之间的函数关系式；

(3)、八年级学生小明计划寒假前往该俱乐部健身8次，要使花费最少，是否应该办理会员？请说明理由．

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星期	一	二	三	四	五	六	日
血压变化/mmHg	+10	-15	+3	+8	-4	-6	+1

多面体
面数 $F$	5	6	7	8
顶点数 $V$	6	8	b	12
棱数 $E$	9	a	15	18