相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 相似， $A B = 4, A C = 6, B C = 8, D F = 6$ ，则 $D E$ 的长可能是（）

A、2 B、4.5 C、9 D、9.6

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2、函数 $y = - \frac{7}{x}$ 的图像（）

A、过原点的一条直线 B、位于一、三象限的两支曲线 C、位于二、四象限的两支曲线 D、过点 $(1, - 7)$ 和点 $(- 1, 7)$ 的一条直线

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3、阅读材料：我们已经学习了完全平方式，并知道完全平方式具有非负性．我们可以利用完全平方式的知识，将一般的二次代数式转化为完全平方式的形式，这个过程叫做“配方”．通过配方，我们可以求代数式的最大（小）值．例如求代数式 $a^{2} + 2 a + 3$ 的最小值．
解：配方，得 $a^{2} + 2 a + 3 = (a^{2} + 2 a + 1 + 2) = {(a + 1)}^{2} + 2$ ， $∵ {(a + 1)}^{2} \geq 0, ∴ {(a + 1)}^{2} + 2 \geq 2, ∴$ 当 $a = - 1$ 时， $a^{2} + 2 a + 3$ 的最小值是2．回答下列问题：

(1)、当 $x =$ _____时，代数式 ${(x + 2)}^{2} + 6$ 有最小值，最小值是_____；

(2)、求代数式 $- x^{2} + 6 x + 20$ 的最大值；
解： $- x^{2} + 6 x + 20 = - (\begin{matrix} \end{matrix}) + 20 = - (\begin{matrix} \end{matrix} + 9 - 9) + 20 = - [{(\begin{matrix} \end{matrix})}^{2} - 9] + 20$
$= - {(x - 3)}^{2} + 29 ∴ {(x - 3)}^{2} \geq 0, ∴ - {(x - 3)}^{2} \leq 0$ ，从而 $- {(x - 3)}^{2} + 29 \leq 29$ ．
$∴$ 当 $x =$ _____时，代数式 $- x^{2} + 6 x + 20$ 有最大值，最大值是_____．

(3)、如图，长方形花圃 $A B C D$ 的两面靠墙（墙足够长），另两边用总长为 $40 m$ 的栅栏围成．设 $A B = x m$ ，当 $x$ 取何值时，花圃的面积最大，最大面积是多少？

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4、已知：如图， $∠ C = ∠ D = 90 °$ ， $A C = B D$ ，则 $△ A O B$ 是什么三角形，请说明理由．

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5、人工智能AI改变着我们的生活．下图是与人工智能科技有关的标识，这些标识不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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6、如图1，在等边 $△ A B C$ 中，点D在 $A C$ 上，点E在 $A B$ 上，连接 $B D$ ， $C E$ 交于点F， $A E = C D$ ．

(1)、求 $∠ E F B$ 的度数；

(2)、如图2，连接 $A F$ ，若 $A F ⊥ F C$ ，求证： $C F = 2 B F$ ；

(3)、如图3，在（2）的条件下，将 $D F$ 沿 $A F$ 对称，交 $A B$ 于点M，过点A作 $A F$ 的垂线交直线 $F M$ 于点N，若 $C F = 8$ ，求 $M N$ 的长．

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7、综合与实践
【探究课题】三角形重心性质的探究
【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态．
【提出问题】
问题1：探究图1中， $△ A O E$ 、 $△ B O E$ 、 $△ A O F$ 、 $△ C O F$ 、 $△ B O D$ 、 $△ C O D$ 这6个小三角形的面积关系？
问题2：探究图1中的 $A O : D O$ ， $B O : F O$ ， $C O : E O$ 的值是多少？
老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题．
【解决问题】
（1） $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $△ A B D$ 与 $△ A C D$ 等底同高，可以得到它们面积的大小关系为： $S_{△ A B D}$ ______ $S_{△ A C D}$ （填“ $>$ ”、“ $<$ ”或“ $=$ ”）；
（2）在 $△ A B C$ 中，由于点D是 $B C$ 边中点，那么 $△ A D C$ 的面积是 $△ A B C$ 的面积的 $\frac{1}{2}$ ，同理 $△ B C F$ 的面积是 $△ A B C$ 的面积的 $\frac{1}{2}$ ，这样 $△ A C D$ 的面积与 $△ B C F$ 的面积相等，减去公共部分可得 $△ B O D$ 的面积与______的面积相等，同样可得 $△ C O D$ 的面积与 $△ A O E$ 的面积相等，从而可得 $△ A O E$ 、 $△ B O E$ 、 $△ A O F$ 、 $△ C O F$ 、 $△ B O D$ 、 $△ C O D$ 这6个小三角形面积相等；
（3）由 $△ A O B$ 的面积是 $△ B O D$ 的面积的2倍，可得 $A O : D O =$ ______，同理可得： $B O : F O = C O : E O =$ ______；
【拓展应用】
（4）如图2，在 $△ A B C$ 中，点F是 $△ A B C$ 的重心，连接 $B F$ ， $C F$ 并延长分别交 $A C$ ， $A B$ 于点E，D，若 $B E ⊥ C D$ ， $C D = 21$ ， $B E = 9$ ，直接利用上面的结论，求四边形 $A D F E$ 的面积．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点D，过点D作 $D E ∥ A C$ 交 $A B$ 于点E，过点D作 $D F ⊥ A B$ 于点F．

(1)、求证： $A E = D E$ ；

(2)、如果 $A E = 4$ ， $B D = 3$ ，求 $E F$ 的长．

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = A C$ ，在边 $A C$ 上求作点D，使 $B C = A B + D A$ ，小明发现作 $∠ B$ 的平分线交 $A C$ 于点D，点D即为所求．

(1)、使用直尺和圆规，依小明的思路作出点D（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明，并补全图形．
证明：过点D作 $D P ⊥ B C$ 于点P
∵ $∠ A = 90 °$ ， ∴ $D A ⊥ A B$
∵ $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，
∴ $D A = D P$ （推理依据：_______）
∵ $D P ⊥ B C$ ， ∴ $∠ C P D = ∠ B P D = 90 °$ ，
在 $Rt △ A B D$ 和 $Rt △ P B D$ 中，
$\{\begin{array}{l} D A = D P \\ B D = B D \end{array}$ ，
∴ $Rt △ A B D ≌ Rt △ P B D$ ，
∴ $P B = A B$ （推理依据：________）
∵ $∠ A = 90 °$ ， $A B = A C$ ， ∴ $∠ C = 45 °$ ，
在 $Rt △ C P D$ 中， $∠ C D P = 90 ° - ∠ C = 45 °$ ，
∴ $∠ C = ∠ C D P$ ， ∴ $P C =$ ______（推理依据：________）
∵ $B C = P B + P C$ ， ∴ $B C = A B + D A$

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10、在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 50 °$ ， $∠ C = 70 °$ ， $A D$ 、 $A E$ 分别是 $△ A B C$ 的角平分线和高线，补全图形并求 $∠ D A E$ 的度数．

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11、如图， $A B ∥ C D$ ， $A C$ 交 $B D$ 于点O，且O是 $A C$ 中点，求证： $O D = O B$ ．

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12、如图，等边 $△ A B C$ 的周长是18， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线，则 $A D =$ ．

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13、在 $△ A B C$ 中，若 $∠ B A C = 140 °$ ， $A B = A C$ ，根据图中尺规作图的痕迹推断，可以求得 $∠ D A C =$ 度．

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14、宋锦作为中国古代丝织技艺的杰出代表，凭借独特的织造结构与典雅的艺术风格，承载着深厚的中华传统文化底蕴与美学精髓．其纹样品类丰富、形态各异，在以下纹样中，属于轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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15、综合与探究
问题情境：数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“趣转三角尺”的探究活动．
【问题实践】
（1）老师将三角尺 $A O B$ 和三角尺 $C O D$ 按如图1所示摆放在直线 $E F$ 上，边 $A O$ ， $C O$ 落在直线 $E F$ 上， $∠ A O B = ∠ O C D = 90 °$ ， $∠ C O D = 45 °$ ， $∠ A B O = 30 °$ ，则 $∠ O A B =$ ， $∠ B O D =$ ；
【操作探究】
（2）强基小组将图2中三角尺 $C O D$ 绕点 $O$ 逆时针旋转进行探究，当边 $O D$ 首次落在直线 $E F$ 上时停止旋转，若三角尺 $C O D$ 以每秒 $15 °$ 的速度旋转，设三角尺 $C O D$ 旋转时间为 $t$ 秒，提出下列问题，请你帮忙解答．
问：当 $O C$ 平分 $∠ B O D$ 时，求 $t$ 的值；
【深度探究】
（3）智旋小组受强基小组的启发继续进行探究：如图3，在三角尺 $C O D$ 绕点 $O$ 以每秒 $15 °$ 的速度逆时针旋转的同时，将三角尺 $A O B$ 也绕点 $O$ 以每秒 $9 °$ 的速度顺时针旋转，当三角尺 $C O D$ 的边 $O C$ 首次与直线 $E F$ 垂直时停止旋转，同时三角尺 $A B O$ 也停止旋转，当 $∠ B O C = 18 °$ 时，求 $t$ 的值．

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16、河图洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案．其中的“洛书”，在今天看来就是一个三阶幻方．如图1是由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成的三阶幻方，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和都为15．

(1)、如图2是一个未完成的三阶幻方，要使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于18，则 $m =$ ， $n =$ ；

(2)、数阵是由幻方演化出来的另一种数字图．将连续的偶数2，4，6，8，10……排列成数阵（如图3），回答以下两个问题：
①在图3的数阵中，位于第 $n$ 行的中间的数是（填化简结果）；
②用十字框随机框出图3的数阵里的5个数，十字框中的五数之和能等于330吗？若能，写出这5个数；如不能，请说明理由．

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17、如图，点 $O$ 为直线 $A B$ 上一点，点 $D$ 在 $∠ A O C$ 内，点 $E$ 在 $∠ B O C$ 内，且 $O D$ 平分 $∠ A O C$ ．

(1)、请按要求进行作图：在 $∠ B O C$ 内部作射线 $O E$ ；

(2)、小南发现，若 $O E$ 为 $∠ B O C$ 的角平分线，则 $∠ D O E$ 的大小始终为 $90 °$ ．请根据他的思路，补全下列解题过程．
解：∵ $O D$ 平分 $∠ A O C$ ，
∴ $∠ A O D =$           ① $= \frac{1}{2} ∠ A O C$ ，
∵ $O E$ 为 $∠ B O C$ 的角平分线，
∴ $∠ C O E = ∠ B O E =$           ②，
又∵ $∠ A O C + ∠ B O C = 180 °$ ，
∴ $∠ D O E = ∠ C O D +$           ③ $= \frac{1}{2} ∠ A O C + \frac{1}{2} ∠ B O C =$ ④           $°$ ．

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18、为优化厨房电器的空间适配性，某家电品牌在设计新款抽油烟机时，需要精准计算其侧面截面的面积（该截面由长方形烟机主体区域与梯形进风区域组成）．已知设计图纸中，长方形区域的宽为 $a$ ，长为 $b$ ，梯形区域的上底与长方形的宽一致（为 $a$ ），下底为 $2 b$ ，高为4．请根据这些参数完成截面面积的计算，为后续的安装空间预留材料用量估算提供数据支持．

(1)、用含 $a$ ， $b$ 的代数式表示该截面的面积 $S$ ；

(2)、当 $a = 4$ ， $b = 5$ 时，求该截面的面积．

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19、如图，小嘉站在 $A$ 点，小淇站在 $B$ 点．小嘉对小淇说：你位于我的北偏东 $67 °$ 方向上，则我位于你的什么方向上（）

A、南偏西 $67 °$ 方向上 B、南偏西 $23 °$ 方向上 C、北偏东 $23 °$ 方向上 D、北偏东 $67 °$ 方向上

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20、下列各图经过折叠后不能围成一个正方体的（）

A、 B、 C、 D、

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