相关试卷

1、用配方法解方程 $x^{2} - 4 x + 2 = 0,$ 下列配方正确的是（）

A、 ${(x + 2)}^{2} = 2$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 2$ C、 ${(x - 2)}^{2} = - 2$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 6$

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2、【定义】如图1，在平面内建立平面直角坐标系， $y$ 轴右侧的任意一点 $P (x, y)$ ，可以由点 $P$ 到原点 $O$ 的距离 $d$ ，以及 $O P$ 所在直线 $y = k x$ 的 $k$ 来确定，称 $[d, k]$ 为点 $P$ 的“极径斜率坐标”；连接 $P O$ 并延长至 $y$ 轴左侧一点 $P^{^{'}}$ ，使 $P^{'} O = P O$ ，定义点 $P^{^{'}}$ 的极径斜率坐标为 $[- d, k]$ ．
这样，对于平面内除 $y$ 轴外的任意一点，都有唯一的极径斜率坐标与它对应，反过来，对于任意一个极径斜率坐标 $[s, k], s \neq 0$ ，都有平面内除 $y$ 轴外唯一的一点与它对应．
【初步理解】将点 $A (4, 3)$ 、 $B (- 1, 4)$ 转化为极径斜率坐标；
【深入探究】已知函数 $l : y = 2 x + 3 (x \neq 0)$ ．

(1)、如图2，在 $l$ 上取一点 $P (t, 2 t + 3)$ ， $t > 0$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $H$ ，
设点 $P$ 的极径斜率坐标为 $[s, k]$ ，则 $O P$ 所在直线为 $y = k x$ ，
∴ $P (t, k t)$ ， ∴ $2 t + 3 = k t$ ， ∴ $(k - 2) t = 3$ ，
由勾股定理， $s = O P = \sqrt{O H^{2} + P H^{2}} = t \sqrt{k^{2} + 1}$ ，
$s = t \sqrt{k^{2} + 1}$ 与 $(k - 2) t = 3$ 两边相乘，消去 $t$ ，可得 $s$ 与 $k$ 的数量关系：，
对于 $t < 0$ 时情况同理， $∴$ 对于 $l$ 上任意一点 $[s, k]$ ，都有上述 $s$ 与 $k$ 的数量关系成立．

(2)、利用（1）中结论，在l的 $y$ 轴左侧部分找一点 $Q$ ，使 $Q O = 3$ ，求出点 $Q$ 的极径斜率坐标；

(3)、【拓展应用】如图3， $y = k x$ 与 $l_{1} : y = 2 x + 3 、 l_{2} : y = x - 2$ 分别交于点 $M 、 N$ ，若 $O M = 2 O N$ ，求 $k$ 的值．

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3、【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们始终对它充满兴趣，不断探索其证明方法，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．

(1)、【小试牛刀】把两个全等的直角三角形如图1放置， $∠ D A B = ∠ B = 90 °$ ，已知 $A B = A D = a$ ， $A E = B C = b, D E = A C = c, A C ⊥ D E$ ，试证明 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ．

(2)、【知识运用】如图2所示， $M N$ 表示一条铁路， $A 、 B$ 是两个城市，它们到铁路所在直线 $M N$ 的垂直距离分别为 $A C = 40$ 千米， $B D = 60$ 千米，且 $C D = 80$ 千米，现要在 $C D$ 之间设一个中转站 $O$ ，求出 $O$ 应建在离 $C$ 点多少千米处，才能使它到 $A 、 B$ 两个城市的距离相等．

(3)、【知识迁移】借助上面的思考过程，画图说明并求出代数式 $\sqrt{x^{2} + 9} + \sqrt{{(16 - x)}^{2} + 81}$ 的最小值 $(0 < x < 16)$ ．

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4、小颖根据学习函数的经验，对函数 $y = 1 - | x - 1 |$ 的图像与性质进行了探究，下面是小颖的探究过程，请你补充完整．

(1)、列表：
x
．．．
$- 2$
$- 1$
0
1
2
3
4
．．．
y
．．．
$- 2$
$- 1$
0
1
0
$- 1$
k
．．．
① $k =$ ；②若 $A (8, - 6)$ ， $B (m, - 6)$ 为该函数图象上不同的两点，则 $m =$ ；

(2)、描点并画出该函数的图象．

(3)、观察函数 $y = 1 - | x - 1 |$ 的图象，写出该图像的两条性质：；；

(4)、运用合适的方法探究：若在同一坐标系中另有一次函数 $y_{1} = \frac{1}{2} x - 1$ ．将 $y_{1} = \frac{1}{2} x - 1$ 沿 $y$ 轴怎样平移，能使平移后的 $y_{1}$ 与 $y$ 的函数图象只有一个交点？请直接写出具体的平移方向和距离．

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5、喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数， $\sqrt{1 \times 4} = 2$ ， $\sqrt{1 \times 9} = 3$ ， $\sqrt{4 \times 9} = 6$ ，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．

(1)、请证明2，8， $18$ 这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；

(2)、已知4，a ， $25$ 三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值．

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6、某人因需要经常去复印资料，甲复印社直接按每次印的张数计费，乙复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费．两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题：

(1)、乙复印社要求客户每月支付的会员费是元；甲复印社每张收费是元；

(2)、求出乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式；

(3)、当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同；

(4)、如果每月复印200页时，应选择哪家复印社？

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7、 $△ A B C$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示， $A 、 B 、 C$ 三点都在格点上．

(1)、作出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ （点A ， B ， C的对称点分别是 $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ ）．

(2)、点 $B_{1}$ 的坐标为；点 $A_{1}$ 到 $x$ 轴的距离为；点 $C_{1}$ 到 $y$ 轴的距离为；

(3)、 $△ A B C$ 的周长为．

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8、计算：

(1)、 $\frac{\sqrt{12} + \sqrt{27}}{\sqrt{3}} - \sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{6} + | 1 - \sqrt{2} |$ ；

(2)、 ${(3 - \sqrt{5})}^{2} - (\sqrt{5} + 1) (\sqrt{5} - 1)$

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9、一次函数 $y = - \frac{1}{2} x + 3$ 的图象过点 $(x_{1}, y_{1}), (x_{1} + 2, y_{2})$ ，则 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 的大小关系是．（用“<”连接）

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10、若点 $A (m ， - 2)$ 与点 $B (3 ， n)$ 关于原点对称，则 $m + n$ 的值为．

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11、 $A, B, C$ 均为正方形，若 $A$ 的面积为9，C的面积为4，若 $B$ 的边长为无理数，则 $B$ 的边长可以是．（写出一个答案即可）

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12、若二次根式 $\sqrt{4 x - 2}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x ≥ \frac{1}{2}$ B、 $x \leq \frac{1}{2}$ C、 $x \leq 2$ D、 $x \geq 2$

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13、赵林山导演的电影《731》是一部兼具历史深度与现实意义的作品，以影像为证，守护民族记忆，传递和平与正义的信念．已知某市9月30日该电影的售票量为 $1.5$ 万张，10月1日到10月7日售票量的变化如表（正号表示售票量比前一天多，负号表示售票量比前一天少）：
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
售票量的变化（单位：万张）
$+ 0.6$
$+ 0.1$
$- 0.3$
$- 0.2$
$+ 0.4$
$- 0.2$
$+ 0.1$
请根据以上信息，回答下列问题：

(1)、10月2日的售票量为多少万张？

(2)、10月1日到10月7日售票量最多的是哪一天？

(3)、若平均每张票价为40元，则10月1日到10月7日期间该市《731》的票房总收入为多少万元？

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14、为庆祝我国首个空间实验室“天宫一号”顺利升空，学校开展了火箭模型制作比赛，如图为火箭模型的截面图，下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形．

(1)、用含 $a$ 、 $b$ 的代数式表示该截面的面积S；

(2)、当 $a = 6 cm$ ， $b = 8 cm$ 时，求这个截面的面积．

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15、把下列各数在数轴上表示出来，再按照从小到大的顺序用“<”号连接起来．
$- (- 5), 0, - \frac{5}{2}, + 2, |- 3.5|$

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16、计算：

(1)、 $4 + (- 1) - (+ 5)$ ；

(2)、 $(\frac{1}{3} - \frac{1}{6} + \frac{1}{4}) \times 12$ ；

(3)、 ${(- 2)}^{3} - 3 \div (- \frac{1}{2})$ ；

(4)、 $4 + {(- 2)}^{3} \times |- 5| - (- 28) \div 4$ ．

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17、如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案（1）需要4根小棒，图案（2）需要10根小棒 $\dots \dots$ 按此规律摆下去第n个图案需要根小棒．

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18、近似数 $3.25$ 是精确到位．

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19、若有理数a满足 $| a | = 3$ ，且 $a < 0$ ，则a的值为．

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20、用“ $>$ ”或“ $<$ ”填空： $- 3$ 1．

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x	．．．	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4	．．．
y	．．．	$- 2$	$- 1$	0	1	0	$- 1$	k	．．．

日期	1日	2日	3日	4日	5日	6日	7日
售票量的变化（单位：万张）	$+ 0.6$	$+ 0.1$	$- 0.3$	$- 0.2$	$+ 0.4$	$- 0.2$	$+ 0.1$