相关试卷

1、若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + 6 x - 4 = 0$ 的解为 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 2$ ，则关于 $y$ 的一元二次方程 $a {(y + 1)}^{2} + 6 (y + 1) - 4 = 0$ 的解为.

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2、若一元二次方程 $a x^{2} + b x - 2016 = 0$ 有一根为 $x = - 1$ ，则 $a - b$ 的值为．

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3、设实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足 $x + y + z = 1$ ，则 $M = x y + 2 y z + 3 z x$ 的最大值为．

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4、已知 $5 a^{2} + 9 + b^{2} + 2 a b = 12 a$ ，则 $a b$ 的值为．

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5、已知关于 $x$ 的多项式 $a x^{2} - 2 b x + c (a \neq 0)$ ，当 $x = a$ 时，该多项式的值为 $c - a$ ，则多项式 $a^{2} + b^{2} + 3$ 的值可以是（　　）

A、3.5 B、3.25 C、3 D、2.75

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6、配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．

(1)、解决问题：
若 $x^{2} - 4 x + 3$ 可配方成 ${(x - m)}^{2} + n$ （m、n为常数），则 $m n =$ ；

(2)、探究问题：
已知 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y + 10 = 0$ ，求 $x + y$ 的值；

(3)、已知 $S = x^{2} + 9 y^{2} + 4 x - 12 y + k$ （x、y都是整数，k是常数），要使S的最小值为3，试求出k的值．

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7、我们定义：一个整数能表示成 $a^{2} + b^{2}$ （ $a$ 、 $b$ 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为 $5 = 2^{2} + 1^{2}$ ，所以5是“完美数”．

(1)、【解决问题】
已知29是“完美数”，请将它写成 $a^{2} + b^{2}$ （ $a$ 、 $b$ 是整数）的形式；

(2)、若 $x^{2} - 6 x + 5$ 可配方成 ${(x - m)}^{2} + n$ （ $m$ 、 $n$ 为常数），则 $m n =$ ；

(3)、【探究问题】
已知 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 5 = 0$ ，则 $x + y =$ ；

(4)、已知 $S = x^{2} + 4 y^{2} + 4 x - 12 y + k$ （ $x$ 、 $y$ 是整数， $k$ 是常数），要使 $S$ 为“完美数”，试求出符合条件的一个 $k$ 值，并说明理由．

(5)、【拓展结论】
已知实数 $x$ 、 $y$ 满足 $y = x^{2} + x + 2$ ，求 $x + y$ 的最小值．

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8、新定义：关于 $x$ 的一元二次方程 $a_{1} {(x - c)}^{2} + k = 0$ 与 $a_{2} {(x - c)}^{2} + k = 0$ 称为“同族二次方程”．例如： $5 {(x - 6)}^{2} + 7 = 0$ 与 $6 {(x - 6)}^{2} + 7 = 0$ 是“同族二次方程”，现有关于 $x$ 的一元二次方程 $(m + 2) x^{2} + (n - 4) x + 8 = 0$ 与 $2 {(x - 1)}^{2} + 1 = 0$ 是“同族二次方程”，则代数式的 $m x^{2} + n x + 2029$ 最小值是．

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9、若 $x$ 为任意实数，且 $M = (7 - x) (3 - x) (4 - x^{2})$ ，则 $M$ 的最大值为（　　）

A、10 B、84 C、100 D、121

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10、对于五个整式， $A$ ： $2 x^{2}$ ； $B$ ： $x + 1$ ； $C$ ： $- 2 x$ ； $D$ ： $y^{2}$ ； $E$ ： $2 x - y$ 有以下几个结论： $①$ 若 $y$ 为正整数，则多项式 $B \cdot C + A + D + E$ 的值一定是正数； $②$ 存在实数 $x$ ， $y$ ，使得 $A + D + 2 E$ 的值为 $- 3$ ； $③$ 若关于 $x$ 的多项式 $M = 3 (A - B) + m \cdot B \cdot C (m$ 为常数 $)$ 不含 $x$ 的一次项，则该多项式 $M$ 的值一定不小于 $- 3$ ； $④$ 若 $2 A - D = E (4 B + C)$ ，则 $y = 4 .$ 上述结论中，正确的个数是（　　）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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11、若 $P = a - 2 ， Q = a^{2} + 3 a$ ( $a$ 为实数)，则 $P ， Q$ 的大小关系为 $P$ Q． (填“>” “ $<$ ”或 $“ = ”)$

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12、阅读以下材料：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如
$a^{2} + 2 a - 4 = a^{2} + 2 a + 1 - 1 - 4 = {(a + 1)}^{2} - 5$
∵ ${(a + 1)}^{2} \geq 0$ ，
∴ $a^{2} + 2 a - 4 = {(a + 1)}^{2} - 5 \geq - 5$ ，
因此，代数式 $a^{2} + 2 a - 4$ 有最小值 $- 5$ ，
根据以上材料，解决下列问题：

(1)、代数式 $a^{2} - 2 a + 2$ 的最小值为；

(2)、试比较 $a^{2} + b^{2} + 11$ 与 $6 a - 2 b$ 的大小关系，并说明理由；

(3)、如图，在直角坐标系中，点 $A (0, \frac{1}{2} a^{2} + a)$ 和点 $B (0, - 2 a - \frac{13}{2})$ 在 $y$ 轴上，点 $M$ 在 $x$ 轴负半轴上， $S_{Δ A B M} = 2$ ，当线段 $O M$ 最长时，求点 $M$ 的坐标．

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13、上数学课时，王老师在讲完乘法公式 $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 $x^{2} + 4 x + 5$ 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解： $x^{2} + 4 x + 5 = x^{2} + 4 x + 4 + 1 = (x + 2)^{2} + 1$ ．
$∵ (x + 2)^{2} \geq 0$ ，
$∴$ 当 $x = - 2$ 时， $(x + 2)^{2}$ 的值最小，最小值是0．
$∴ (x + 2)^{2} + 1 \geq 1$ ．
$∴$ 当 $x = - 2$ 时， $x^{2} + 4 x + 5$ 的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：

(1)、知识再现：当 $x =$ 时，代数式 $x^{2} - 6 x + 12$ 的最小值是；

(2)、知识运用：若 $y = - x^{2} + 2 x - 3$ ，当 $x =$ 时， $y$ 有最值（填“大”或“小”），这个值是；

(3)、知识拓展：若 $- x^{2} + 3 x + y + 5 = 0$ ，求 $y + x$ 的最小值．

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14、某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元.为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价.据测算，若每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱，如果要使每天销售饮料获利1400元，设每箱应降价 $x$ 元，则可列方程为.

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15、某景点的门票价格为220元，日接待游客5000人．当门票价格每提高10元，日游客数减少50人．若想每天的门票收入达到138万元，问门票价格需提高多少元？设门票价格提高 $x$ 元，则可列方程为（　　）

A、 $(220 + x) (5000 - 5 x) = 1380000$ B、 $(220 + x) (5000 - 5 x) = 138$ C、 $(220 + x) (5000 - 50 x) = 138$ D、 $(220 + x) (5000 - 50 x) = 1380000$

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16、某合作社从2022年到2024年种植“红美人”，2022年“红美人”平均亩产量为 $800 k g$ ，引进先进的种植技术后，“红美人”产量提高，2024年平均亩产量达到 $1352 k g$ ．

(1)、若2022年到2024年“红美人”平均亩产量的年增长率相同，求“红美人”平均亩产量的年增长率．

(2)、已知该合作社目前“红美人”种植面积为10亩，每亩的种植成本为3万元，为扩大生产，该合作社决定2025年增加“红美人”种植面积．经调查发现，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少 $0.1$ 万元，在保持种植成本不变的前提下，则2025年该合作社应增加种植面积多少亩？

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17、温州市2022年 $G D P$ （国内生产总值）约为8030亿元，2024年 $G D P$ 约为9719亿元．设这两年温州市的 $G D P$ 平均增长率为 $x$ ，则可列出方程（　　）

A、 $8030 {(1 + x)}^{2} = 9719$ B、 $8030 x^{2} = 9719$ C、 $8030 (1 + x^{2}) = 9719$ D、 $8030 (1 + 2 x) = 9719$

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18、根据以下素材，完成探索任务．

探索果园土地规划和销售利润问题
素材1	某农户承包了一块长方形果园 $A B C D$ ，图1是果园的平面图，其中 $A B = 200$ 米， $B C = 300$ 米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为 $2 x$ 米，左右两条纵向道路的宽度都为 $x$ 米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度 $2 x$ 不超过24米，且不小于10米．
素材2	该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用．
问题解决
任务1	解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．	（1）请直接写出纵向道路宽度 $x$ 的取值范围．（2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2	解决果园种植的预期利润问题．（净利润 $=$ 草莓销售的总利润 $-$ 路面造价费用 $-$ 果园承包费用 $-$ 新苗购置费用 $-$ 其余费用）	（3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由．

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19、为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．

(1)、求豆沙粽和肉粽的单价；

(2)、超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量(单位：个)和付款金额(单位：元)．

豆沙粽数量
肉粽数量
付款金额
小欢妈妈
20
30
270
小乐妈妈
30
20
230
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A， B两种包装销售，每包都是40个粽子(包装成本忽略不计) ，每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙棕数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为( 80-4m)包，( 4m+8)包，A，B两种包装的销售总额为17 280元。求m的值

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20、为了促进电车便捷性，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了200个充电桩，第三个月新建了600个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率 $x$ ，根据题意，可列方程（　　）

A、 $200 (1 + 2 x) = 600$ B、 $200 {(1 - x)}^{2} = 600$ C、 $600 {(1 + x)}^{2} = 200$ D、 $200 {(1 + x)}^{2} = 600$

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	豆沙粽数量	肉粽数量	付款金额
小欢妈妈	20	30	270
小乐妈妈	30	20	230