相关试卷

1、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $B C = 3$ ，点 $D$ 在边 $A B$ 上， $A D = 2 D B$ ，点 $E$ 在边 $A C$ 上，点 $F$ 在直线 $B C$ 上，连接 $D E$ ， $D F$ ， $E F$ ．

(1)、求 $B D$ 的长；

(2)、若 $E C = 2 B F$ ， $E F = 4$ ，求 $E C$ 的长；

(3)、若 $E F ⊥ A C$ ，且 $△ D E F$ 是等腰三角形，求 $E C$ 的长．

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2、成都某学校组织数学兴趣小组开展探究代数式 $\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{{(4 - x)}^{2} + 4} (x \geq 0)$ 的最小值，张老师巧妙的运用了“数形结合”的思想．具体做法是：如图，C为线段 $B D$ 上一动点，分别过B、D作 $A B ⊥ B D$ ， $E D ⊥ B D$ ．连接 $A C$ 、 $E C$ ．已知 $A B = 1$ ， $D E = 2$ ， $B D = 4$ ．设 $B C = x$ ，则 $A C = \sqrt{x^{2} + 1}$ ， $C E = \sqrt{{(4 - x)}^{2} + 4}$ ，则问题转化成求 $A C + C E$ 的最小值．

(1)、【探究发现】
我们知道当A、C、E在同一直线上时， $A C + C E$ 的值最小，于是可求得 $\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{{(4 - x)}^{2} + 4} (x \geq 0)$ 的最小值等于．

(2)、请你利用上述方法和结论，试构图求出代数式 $\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{{(12 - x)}^{2} + 9} (x \geq 0)$ 的最小值．

(3)、【拓展迁移】
请你用构图的方法试求 $\sqrt{{(4 + x)}^{2} + 4} - \sqrt{x^{2} + 1} (x \geq 0)$ 的最大值．

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3、 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．某电商平台数据显示，该毛绒小马1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件．

(1)、求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率．

(2)、义乌某店铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，当售价为30元/件时，日销量为70件．市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加10件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到1200元，则每件应降价多少元？

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4、阅读下列材料，并解决相应问题： $\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{2 (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{2 (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$ ．
应用：用上述类似的方法化简下列各式：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}$ ；

(2)、若a是 $\sqrt{5}$ 的小数部分，求 $\frac{2}{a}$ 的值．

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5、【数据收集】某市射击队为了从 $A$ ， $B$ 两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对 $A$ ， $B$ 两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集．
【数据整理】如图1，将 $A$ ， $B$ 两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图．

(1)、【数据分析】
小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数， ${\bar{x}}_{A} = 8.5$ 环， ${\bar{x}}_{B} =$ 环，可以看出，（填 $A$ 或 $B$ ）的平均成绩略高；通过计算方差， $s_{A}^{2} = 1.75$ ， $s_{B}^{2} = 0.75$ ，可以看出，（填 $A$ 或 $B$ ）的射击水平发挥更稳定；
选手
最小值、四分位数和最大值
最小值
$m_{25}$
$\begin{array}{l} m_{50} \end{array}$
$m_{75}$
最大值
$A$
6
①
9
9.5
10
$B$
8
8
9
②
10

(2)、小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填环，②处应填环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手 $B$ 的整体成绩较高，选手（填 $A$ 或 $B$ ）的射击成绩波动大；

(3)、【作出决策】
请你根据八轮射击成绩，从 $A$ 、 $B$ 两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由．

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6、已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 2 x - k = 0$ 有两个实数根 $x_{1}, x_{2}$ ．

(1)、求 $k$ 的取值范围；

(2)、若 $k (x_{1} + x_{2}) = x_{1} x_{2} - 3$ ，求 $k$ 的值．

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7、解方程：

(1)、 $2 {(x - 2)}^{2} = 18$ ；

(2)、 ${(x - 3)}^{2} = (2 x + 1) (x - 3)$ ．

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8、如图2是一扇窗户（图1）打开示意图， $A B$ 是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点 $A$ 处， $O A = 12 c m$ ．当窗户垂直打开，即 $O M ⊥ O N$ 时，有 $O B = 8 \sqrt{10} c m$ ，窗户闭合时，另一端 $B$ 在 $O N$ 上滑动，点 $A$ ， $B$ 的对应位置分别记为点 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ．

(1)、滑动支架 $A B$ 的长为 $c m$ ；

(2)、当 $A$ ， $A^{'}$ ， $B^{'}$ 三点在同一直线上时， $O B^{'}$ 的长度为 $c m$ ．

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9、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - m x + \frac{1}{4} m^{2} - 1 = 0$ 的两个实数根分别是一个直角三角形的两条边的长度，第三条边为 $\sqrt{10}$ 时，则 $m$ 的值为．

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10、如图， $∠ 1 、 ∠ 2 、 ∠ 3 、 ∠ 4$ 是五边形 $A B C D E$ 的4个外角，若 $∠ A = 115 °$ ，则 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 =$ ．

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11、关于 $x$ 的一元二次方程 $(a - 2) x^{2} + x + a^{2} - 4 = 0$ 的一个根是0，则 $a$ 的值为．

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12、学校种植园中有4盆相同品种的植物，需要按植物的株高分成两组进行培养，使得同组内植物株高尽量接近，将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组，共有3种情况，计算它们的组内离差平方和结果如下表所示，则4盆植物的最优分组序号是．
序号
分组情况
组内离差平方和
①
第一组1个，第二组3个
44
②
第一组2个，第二组2个
28
③
第一组3个，第二组1个
16.67

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13、关于 $x$ 的一元二次方程 $a_{1} {(x - m)}^{2} + n = 0$ 与 $a_{2} {(x - m)}^{2} + n = 0$ 称为“同族二次方程”．如 $2 {(x - 3)}^{2} - 4 = 0$ 与 $3 {(x - 3)}^{2} - 4 = 0$ 就是“同族二次方程”．现有关于 $x$ 的一元二次方程 $2 {(x - 1)}^{2} - 1 = 0$ 与 $(a + 1) x^{2} + (b - 2) x - 2 = 0$ 是“同族二次方程”，那么代数式 $a x^{2} + b x + 2026$ 能取的最大值是（）

A、2025 B、2026 C、2027 D、2028

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14、已知 $y = \sqrt{{(x - 2)}^{2}} - x + 4$ ，当 $x$ 分别取 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $⋯$ ， 2026时，所对应 $y$ 值的总和是（）

A、4052 B、4054 C、4056 D、2026

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15、如果 $m$ ， $n$ 是一元二次方程 $x^{2} - x = 5$ 的两个实数根，那么多项式 $m^{2} - m n + n + 1$ 的值是（）

A、12 B、10 C、2 D、0

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16、如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为 $x$ 米，则下列方程正确的为（）

A、 $32 \times 20 - 32 x - 20 x = 540$ B、 $32 x + 20 x = 540$ C、 $(32 - x) (20 - x) = 540$ D、 $(32 - x) (20 - x) - x^{2} = 540$

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17、在数学史演讲比赛中，小明对七位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如下表格，如果每个评委打分都提高0.2，那么表格中的数据一定不会发生变化的是（）
平均数
众数
中位数
方差
9.1
9.3
9.2
0.1

A、中位数 B、平均数 C、方差 D、众数

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18、下列 $x$ 的值，能使 $\sqrt{x + 3}$ 有意义的是（）

A、 $- 6$ B、 $- 5$ C、 $- 4$ D、 $- 3$

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19、下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$ B、 $5 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} = 2$ C、 $\sqrt{28} \div \sqrt{7} = 4$ D、 $\sqrt{\frac{3}{2}} \times \sqrt{24} = 6$

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20、下列方程是一元二次方程的是( )

A、 $x + x y = 1$ B、 $x^{2} + 1 = (x + 1)^{2}$ C、 $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ D、 $a x^{2} + b x + c = 0$

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选手	最小值、四分位数和最大值
选手	最小值	$m_{25}$	$\begin{array}{l} m_{50} \end{array}$	$m_{75}$	最大值
$A$	6	①	9	9.5	10
$B$	8	8	9	②	10

序号	分组情况	组内离差平方和
①	第一组1个，第二组3个	44
②	第一组2个，第二组2个	28
③	第一组3个，第二组1个	16.67

平均数	众数	中位数	方差
9.1	9.3	9.2	0.1