相关试卷

1、如图1，在直角坐标系 $x O y$ 中，点 $M$ 的坐标为 $(3, 0)$ ，以 $M$ 为圆心， $M O$ 为半径的半圆交 $x$ 轴于点 $A$ ，在半圆弧上取点 $C$ ，连接 $O C$ ， $A C$

(1)、若点 $B$ 是点 $C$ 关于 $M$ 中心对称的点，请判断四边形 $A C O B$ 的形状．

(2)、如图2， $A C$ 上取点 $D$ 使得 $O C = A D$ ，连接 $O D$ ．
①若点 $C$ 的横坐标为2，求 $C D$ 的长．
②求 $O D$ 的最小值．

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2、【综合与实践】生活中的函数．
某地区特色茶成本为40元/袋．受大雪影响，其销售单价 $y$ （元）与降雪量 $k$ （毫米）之间的关系如下表：
降雪量 $k$ （毫米）
$2.0$
$3.0$
$5.0$
$6.0$
$8.0$
销售单价 $y$ （元）
$47$
$46.5$
$45.5$
$45$
$44$
日销售量 $p$ （袋）与降雪量 $k$ （毫米）之间的函数关系式为 $p = \frac{2000}{k} (k > 0)$ ．
请你根据以上材料，回答以下问题：

(1)、已知 $y$ 与 $k$ 之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式．

(2)、仅看下雪天的情况，其中 $k$ 的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？

(3)、在（2）的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为8.0毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手20袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了20元．你知道此时店铺的一袋特色茶多少钱吗？

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3、春节将至，为营造节日氛围，幸福小区物业准备在小区主通道上悬挂灯带，通道两侧有立柱，物业在通道的上方拉了笔直的水平钢丝，钢丝两边固定在立柱上，悬挂的灯带为抛物线形，灯带的最低点距离钢丝 $4.5$ 米．以钢丝为x轴，左侧立柱为y轴，钢丝与立柱的固定点为原点建立直角坐标系（如图所示）．

(1)、小青设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝与立柱的固定点O，另一端固定在钢丝上的点A处， $O A = 4$ 米，求出此时抛物线的表达式．

(2)、小玲设计的方案，把灯带的一端固定在钢丝上的点B处， $O B = 6$ 米，另一端固定在立柱上的C处，为了美观，灯带的最低点和小青设计的相同（顶点相同），求出O与C的距离．

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4、如图，点 $A$ ， $C$ ， $D$ 在 $⊙ O$ 上，圆心 $O$ 在边 $A B$ 上， $∠ B = 30 °$ ， $B C$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $C$ ，连接 $O C$ ， $C D$ ．

(1)、求 $∠ A C O$ 的度数；

(2)、若 $∠ A C D = 60 °$ ，判断 $△ A C D$ 的形状．

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5、2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号 $F$ 遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射．为了普及航天科学的相关知识，某校在全校范围内组织了“探索宇宙，放飞梦想”演讲比赛活动，有以下四个主题，分别是：A．太空望远镜，B．宇航员，C．人造卫星，D．航天飞船，主办方将四个主题分别写在四张卡片上（卡片除内容外无其他差别），将卡片背面朝上，洗匀放好．张敏从中随机抽取一张，记下卡片上所写主题后放回洗匀，李华再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求张敏和李华抽取的演讲主题不同的概率．

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6、杆秤体现了古代劳动人民的智慧，它的制作原理就是根据：杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力 $\times$ 动力臂 $=$ 阻力 $\times$ 阻力臂，即 $G \cdot d = y \cdot x$ ．跨学科小组的同学，想制作一个简易杆秤（如图所示），他们利用一根长 $100 cm$ 的均匀木杆，在木杆的中点 $O$ 并系上细绳将木杆吊起．在距离点 $O$ 的左侧 $25 cm$ 处垂直悬挂一个物体，物体重量 $10 N$ （即 $G = 10 N$ ）．在点 $O$ 的右侧挂上一个弹簧秤，竖直向下拉弹簧秤，使木杆处于水平静止状态．设此时弹簧秤与点 $O$ 的距离是 $x (cm)$ ，弹簧秤的示数是 $y (N)$ ．求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式．

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7、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $B C$ 是⊙O的切线，点B为切点．连接 $A C$ 交⊙O于点D，点E是⊙O上一点，连接 $B E, D E$ ，过点A作 $A F ∥ B E$ 交 $B D$ 的延长线于点F．若 $B C = 5, C D = 3, ∠ F = ∠ A D E$ ，则 $D F$ 的长是．

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8、如图是某小区门口的道闸示意图，当有车辆经过时，道闸 $A B$ 绕点 $O$ 旋转使点 $A$ 端缓慢抬起，已知 $A O ∶ B O ＝ 6 ∶ 1$ ，且 $A C$ 表示点 $A$ 抬起的竖直距离， $B D$ 表示点 $B$ 下降的竖直距离，则当点 $B$ 下降的竖直距离为 $0.8 m$ 时，点 $A$ 抬起的竖直距离为 $m$ ．

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9、若反比例函数 $y = \frac{k - 3}{x}$ 的图像在每个象限内 $y$ 随 $x$ 的增大而减小，则 $k$ 的值可以为（只需写出一个符合条件的 $k$ 值即可）．

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10、二次函数 $y = x^{2} - 3 x - 4$ 的图象与 $x$ 轴有个交点．

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11、黄金分割（比值约为 $0.618$ ）具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感，如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处 $B$ 点恰好是横画 $A C$ 的黄金分割点 $(A B > B C)$ ，若横画 $A C$ 的长为 $2 cm$ ，则 $A B$ 的长为（结果保留到 $0.1 cm$ ）（）

A、 $0.8 cm$ B、 $1 cm$ C、 $1.2 cm$ D、 $1.6 cm$

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12、随着直播平台的发展，某种商品的销售额逐年增长，据统计，2023年该商品的销售总额为100亿元，2025年该商品的销售总额为169亿元，假设这两年的销售总额的年平均增长率为 $x$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $30 %$ B、 $25 %$ C、 $20 %$ D、 $15 %$

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13、对于二次函数 $y = - \frac{1}{5} x^{2}$ ，当 $x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而（）

A、先增大后减小 B、减小 C、增大 D、先减小后增大

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14、在平面直角坐标系中，若点 $P (a, - 4)$ 关于原点对称的点的坐标是 $(- 3, b)$ ，则坐标 $A (a, b)$ 关于 $x$ 轴对称的坐标为（）

A、 $(- 3, 4)$ B、 $(3, 4)$ C、 $(3, - 4)$ D、 $(- 3, - 4)$

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15、反比例函数 $y = - \frac{8}{x}$ 的图象一定经过的点是（）

A、 $(- 2, - 4)$ B、 $(2, 4)$ C、 $(- 4, 2)$ D、 $(- 4, - 2)$

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16、学校组织同学参加周末的公益活动，有“爱心义卖”“传统文化宣传”“本土主题捐赠”“才艺展示”四个活动，小明随机选择其中一项参加，则他参加“本土主题捐赠”的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{16}$

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17、若一元二次方程有一个根是 $x = 0$ ，则这个方程可以是（）

A、 $(x + 1) (x + 2) = 0$ B、 $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ C、 $x^{2} - 1 = 0$ D、 $x^{2} + x = 0$

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18、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + b x (a \neq 0)$ ，过点 $(3, 3 a)$ ．

(1)、用含 $a$ 的式子表示 $b$ ；

(2)、过点 $P (t, 0)$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $M$ ，交直线 $y = a x$ 于点 $N$ ．
①若 $a = 1$ ， $t = 4$ 时，求 $M N$ 的长；
②已知在点 $P$ 从点 $O$ 运动到点 $(3 a, 0)$ 的过程中， $M N$ 的长随 $O P$ 的长增大而增大，求 $a$ 的取值范围．

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19、某超市以每件 $10$ 元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于 $21$ 元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量 $y$ （件）与销售单价 $x$ （元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价 $x$ /元
…
$12$
$13$
$14$
…
每天销售数量 $y$ /件
…
$36$
$34$
$32$
…

(1)、直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、若该超市每天销售这种文具获利 $192$ 元，则销售单价为多少元？

(3)、设销售这种文具每天获利 $w$ （元），当单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少？

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20、数学“思维冲浪”小组本着“数学源于生活”的理念，组织了一次特别的实践活动——测量校园旗杆的高度．实践过程如下表：

主题

测量旗杆的高度

测量方案及示意图

步骤1：把一根长 $1.4$ 米的标杆垂直立于地面点 $D$ 处，旗杆尖点 $A$ 和标杆顶端 $C$ 确定的直线交水平线 $B D$ 于点 $Q$ ，测得 $Q D = 1.8$ 米；

步骤2：将标杆沿着 $B D$ 的方向平移到点 $F$ 处，旗杆尖点 $A$ 和标杆顶端 $E$ 确定的直线交水平线 $B D$ 于点 $P$ ，测得 $P F = 2.4$ 米， $F D = 3.2$ 米．

根据上表的信息，求旗杆的高度 $A B$ ．（结果保留整数）．

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降雪量 $k$ （毫米）	$2.0$	$3.0$	$5.0$	$6.0$	$8.0$
销售单价 $y$ （元）	$47$	$46.5$	$45.5$	$45$	$44$

销售单价 $x$ /元	…	$12$	$13$	$14$	…
每天销售数量 $y$ /件	…	$36$	$34$	$32$	…