相关试卷

1、已知 $a_{1} = \frac{t}{1 + t}$ ， $a_{2} = \frac{1}{1 - a_{1}}$ ， $a_{3} = \frac{1}{1 - a_{2}}$ ， $\dots$ ， $a_{n} = \frac{1}{1 - a_{n - 1}}$ （n为正整数， $t \neq - 1$ 且 $t \neq 0$ ），则计算 $a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot \dots \cdot a_{2024} \cdot a_{2025}$ 的结果为．

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2、斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段 $A - B - C$ 横穿双向行驶车道，其中 $A B = B C = 12$ 米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过 $A C$ 路段，其中通过 $B C$ 路段的速度是通过 $A B$ 路段速度的1.2倍，则小敏通过 $A B$ 路段时的速度是．

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3、如图，这是秦始皇陵中的一个兵马俑，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，其中 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ $\frac{1}{2}$ ．（填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）

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4、我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如表所示，它揭示了 ${(a + b)}^{n}$ （ $n$ 为非负整数）展开式的各项系数的规律．有如下几个结论：① ${(a + b)}^{n}$ 展开式有 $(n + 1)$ 项，系数和为 $2^{n + 1}$ ；② $99^{3} + 3 \times 99^{2} + 3 \times 99 + 1$ 的结果是 $10^{6}$ ；③ ${(a + b)}^{6}$ 展开式中，系数最大为20．其中正确的有（     ）
1
${(a + b)}^{0} = 1$
1     1
${(a + b)}^{1} = a + b$
1   2   1
${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
1   3   3   1
${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
…
…

A、1个 B、2个 C、3个 D、0个

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5、已知 $M = \frac{x}{x - 1}, N = \frac{1}{1 - x}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $M + N = - 1$ B、 $M - N = \frac{x + 1}{x - 1}$ C、 $M \times N = \frac{1}{(x - 1)^{2}}$ D、 $M \div N = x$

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6、将一把损坏的直尺按如图方式放置在单位长度为1的数轴上，直尺上“ $0 cm$ ”和“ $3 cm$ ” 刻度线分别对应数轴上的 $- 3$ 和0，那么数轴上x的值可以是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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7、如下为小亮的答卷，他的得分应是（）
姓名：小亮得分：
填空（每题 20 分，共 100 分）
① $\sqrt{9}$ 的平方根是 $\pm 3$ ；
② $1 - \sqrt{2}$ 的绝对值是 $\sqrt{2} - 1$ ；
③ $\sqrt[3]{{(- 3)}^{3}} = - 3$ ；
④ $\sqrt{{(- 5)}^{2}} = - 5$ ；
⑤ $\sqrt[3]{8}$ 的相反数是 2．

A、100 分 B、80 分 C、60 分 D、40 分

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8、暑假期间，嘉琪在家里看《西游记》，电视中“十万天兵对孙悟空兴师问罪”，嘉琪联想到这学期学过的数学知识．提出了如下问题：（1）10万用科学记数法怎么表示？（2）10万是准确数还是近似数？下列四个选项正确的是（）

A、 $10 \times 10^{4}$ ，准确数 B、 $10^{5}$ ，准确数 C、 $10^{5}$ ，近似数 D、 $1 \times 10^{5}$ ，近似数

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9、若已知分式， $\frac{b}{a - b}$ □ $\frac{a}{a - b}$ ，化简后的结果为 $- 1$ ，则□内的运算符号为（）

A、 $+$ B、 $-$ C、 $\times$ D、 $\div$

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10、下列命题中，其逆命题是真命题的是（）

A、如果 $x > 0$ ，那么 $x^{2} > 0$ B、全等三角形的面积相等 C、若 $a = 2$ ，则 $a^{3} = 8$ D、如果 $a = b$ ，那么 $a^{2} = b^{2}$

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11、若分式 $\frac{1 + x}{1 - x}$ 的值不存在，则需x的值为（）

A、0 B、1 C、－1 D、2

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12、计算 ${(- \frac{y}{x})}^{2}$ 的结果是（　　）

A、 $\frac{y^{2}}{x}$ B、 $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ C、 $- \frac{y^{2}}{x^{2}}$ D、 $\frac{2 y}{x^{2}}$

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13、如图1，在等边三角形 $A B C$ 中， $A B = 12$ ．点E，F分别在边 $A C ， B C$ 上，且 $A E = B F = 4$ ，动点 $P$ 从点 $F$ 出发沿射线 $F C$ 运动，以 $E P$ 为边向右侧作等边三角形 $E P M$ ，连接 $C M$ ．

(1)、求证： $△ E F C$ 是等边三角形．

(2)、当点 $P$ 在线段 $F C$ 上运动时，求 $E C ， P C ， C M$ 之间的数量关系．

(3)、如图2，当点 $P$ 在线段 $F C$ 的延长线上运动时，
① $∠ A C M =$ _________ $^{°}$ ；
②如图3作 $C P = C F$ ，再以 $E P$ 为边向右侧作等边三角形 $E P M$ ，连接 $C M$ ，证明： $E P ⊥ C M$ ．

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14、早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营 $A$ 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营 $B$ 开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．
几何模型：条件：如图1，A、B是直线 $l$ 同旁的两个定点．
问题：在直线 $l$ 上确定一点 $P$ ，使 $P A + P B$ 的值最小．
解法：作点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点 $A^{'}$ ，连接 $A^{'} B$ ，则 $A^{'} B$ 与直线 $l$ 的交点即为 $P$ ，且 $P A + P B$ 的最小值为线段 $A^{'} B$ 的长．

(1)、根据上面的描述，在备用图中画出解决问题的图形；

(2)、应用：
①如图2，已知 $∠ A O B = 30 °$ ，其内部有一点 $P, O P = 15$ ，在 $∠ A O B$ 的两边分别有C、D两点（不同于点 $O$ ），使 $△ P C D$ 的周长最小，请画出草图，并求出 $△ P C D$ 周长的最小值；
②如图3， $∠ A O B = 20 °$ ，点M、N分别在边 $O A 、 O B$ 上，且 $O M = O N = 3$ ，点P，Q分别在 $O A 、 O B$ 上，则 $M P + P Q + Q N$ 的最小值是________．

(3)、拓展：如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 110 °, ∠ B = ∠ D = 90 °$ ，在 $B C, C D$ 上分别找一个点M，N，使 $△ A M N$ 的周长最小，则 $∠ A M N + ∠ A N M =$ ________ $°$ ．

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15、如图，四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $E, A C = A D, ∠ A C B = ∠ A D B$ ，点 $F$ 在 $E D$ 上， $∠ B A F = ∠ E A D$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ A F D$ ；

(2)、若 $B E = F E$ ，求证：
① $A C ⊥ B D$ ；
②试探究 $A F$ 与 $C D$ 的位置关系．

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ， A F$ 分别是 $△ A B C$ 的中线和高， $B E$ 是 $△ A B D$ 的角平分线．

(1)、若 $△ A B C$ 的面积为 $42, B D = 6$ ，求 $A F$ 的长；

(2)、若 $∠ B E D = 40 °, ∠ B A D = 26 °$ ，求 $∠ D A F$ 的大小．

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17、如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF= ．

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18、如图， $D$ 为 $Δ A B C$ 内一点， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ， $B D ⊥ C D$ ， $∠ A = ∠ A B D$ ，若 $A C = 8$ ， $B C = 5$ ，则 $B D$ 的长为.

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19、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $A$ 的坐标为 $(0, 2)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(8, 2)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(6, 8)$ ，点 $D$ 在第一象限（不与点 $C$ 重合），且 $△ A B D$ 与 $△ A B C$ 全等，点 $D$ 的坐标是．

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20、如图，已知 $A B = 10, A C = 6, B D = 8$ ，其中 $∠ C A B = ∠ D B A = α$ ，点 $P$ 以每秒2个单位长度的速度沿着 $C \to A \to B$ 路径运动，同时，点 $Q$ 以每秒 $x$ 个单位长度的速度沿着 $D \to B \to A$ 路径运动，一个点到达终点后另一个点立即停止运动，它们的运动时间为 $t$ 秒．
①若 $x = 1$ ，则点 $P$ 运动路程始终是点 $Q$ 运动路程的2倍；
②若P，Q两点同时到达 $A$ 点，则 $x = 5$ ；
③若 $α = 90 °, t = 5, x = 1$ ，则 $P C$ 与 $P Q$ 垂直；
④若 $△ A C P$ 与 $△ B P Q$ 全等，则 $x = \frac{4}{5}$ 或 $\frac{4}{11}$ ．
以上说法正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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1	${(a + b)}^{0} = 1$
1 1	${(a + b)}^{1} = a + b$
1 2 1	${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
1 3 3 1	${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
…	…