相关试卷

1、阅读理解，解决问题
小芳通过函数图象探究方程 $x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的实数根时，想到了如下几种方法：
方法1：方程 $x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的根可以看作是抛物线 $y = x^{2} + 3 x - 1$ 与直线 $y = 0$ （即x轴）交点的横坐标；
方法2：将方程变形成 $x^{2} = - 3 x + 1$ ，那么方程 $x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的根也可以看作是抛物线 $y = x^{2}$ 与直线 $y = - 3 x + 1$ 交点的横坐标；
方法3：由于 $x \neq 0$ ，将方程变形成 $x + 3 = \frac{1}{x}$ ，那么方程 $x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的根也可以看作是直线 $y = x + 3$ 与双曲线 $y = \frac{1}{x}$ 交点的横坐标．
她类比上述方法，借助函数图象交点的横坐标对方程 $x^{3} - x - 2 = 0$ 的实数根进行了探究．
下面是小芳的探究过程，请补充完成：

(1)、 $x = 0$              方程 $x^{3} - x - 2 = 0$ 的根；（填“是”或“不是”）

(2)、方程 $x^{3} - x - 2 = 0$ 的根可以看作是函数                            与函数                      的图象交点的横坐标；

(3)、在同一坐标系中画出两个函数的图象；

(4)、观察图象可得：方程 $x^{3} - x - 2 = 0$ 的实数根约为                             ．（结果精确到0.1）

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2、目前，共享单车已成为居民不可或缺的出行选择之一，是实现绿色出行的重要工具．已知某地区从1月到5月的共享单车投放量如右图所示．求2月至4月共享单车投放量的月平均增长率．

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3、在平面直角坐标系xOy中，一次函数 $y = \frac{1}{2} x + b$ 的图象经过点 $A (4 ， 3)$ ，与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 图象的一个交点为 $B (2, n)$ ．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）若点P在 $x$ 轴上，且 $P B = A B$ ，则点P的坐标是．

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4、下面是小宇设计的“确定锐角三角形三条高线的交点”的尺规作图过程．
已知：锐角 $△ A B C$ ．
求作： $△ A B C$ 的三条高线的交点P．
作法：
①分别以点B、点C为圆心，大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径作弧，两弧交于D、E两点（点D在直线 $B C$ 上方，点E在直线 $B C$ 下方），作直线 $D E$ 交 $B C$ 于点O；
②以点O为圆心， $O B$ 的长为半径作圆，分别交 $A B 、 A C$ 于点M、N；
③连接 $B N 、 C M$ 交于点P．
所以点P就是所求作的锐角 $△ A B C$ 的三条高线的交点．
根据小宇设计的尺规作图过程，解决问题：

(1)、使用直尺和圆规，完成作图（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：由作法①可得： $D E ⊥ B C$ 且 $O B =$ ，
∵以点O为圆心， $O B$ 的长为半径作圆，
∴ 点C在 $⊙ O$ 上，
∴ $B C$ 为 $⊙ O$ 的直径，
∴ $∠ B M C = ∠ B N C = 90 °$ （____________________），（填推理的依据）
∴ $C M ⊥ A B ， B N ⊥ A C$ ，
∴ $C M 、 B N$ 分别为 $△ A B C$ 的 $A B 、 A C$ 边上的高线，
∵锐角 $△ A B C$ 的三条高线交于三角形内部一点，
∴ $C M 、 B N$ 的交点P即为 $△ A B C$ 的三条高线的交点．

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5、已知二次函数 $y_{1} = a x^{2} + b x + 3$ 的图象经过点 $A (2, - 1)$ ， $B (1, 0)$ ，与y轴交于点C，与x轴另一交点交于点D．

(1)、求该二次函数的表达式；

(2)、若一条直线 $y_{2}$ 经过C、D两点，请利用图象直接写出 $y_{1} > y_{2}$ 时，x的取值范围．

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6、如图，点A、B、C、D、O都在方格纸上，若 $△ C O D$ 是由△ $A O B$ 绕点 $O$ 按逆时针方向旋转而得，则旋转角度为（）

A、 $45 °$ B、 $90 °$ C、 $120 °$ D、 $135 °$

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7、如图，将一张矩形纸片沿对角线剪开得到两个直角三角形纸片，将这两个直角三角形纸片通过图形变换构成以下四个图形，这四个图形中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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8、对于有理数 $a$ 、 $b$ ，定义一种新运算“*”，规定 $a * b = |a + b| + |a - b|$ ．

(1)、直接写出 $(+ 2) * (- 3)$ 的值为_____；

(2)、当 $a$ 、 $b$ 在数轴上的位置如图所示时，化简 $a * b$ ；

(3)、在条件（2）下，直接写出 $a * (a * b) =$ _____．

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9、如图1所示是一个长为 $2 m$ ，宽为 $2 n$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．

(1)、图2中的阴影部分的正方形的边长等于_____；

(2)、请用两种不同的方法表示图中阴影正方形的面积：
方法1__________；方法2__________．

(3)、比较（2）中的方法1和方法2，试写出 ${(m + n)}^{2}$ ， ${(m - n)}^{2}$ ， $m n$ 这三个代数式之间的等量关系：___________________________________．

(4)、若 ${(m + n)}^{2} = 27$ ， ${(m - n)}^{2} = 3$ ，请利用（3）中的结论，求 $m n$ 的值．

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10、张华家自建楼房，设计的窗户形状如图所示，其上部是一个半圆形，下部的两扇窗是大小一样的两个小长方形，且每扇窗的长为 $x m$ ，宽为 $y m$ ，窗框和窗都是铝合金材料（图中实线部分），窗户全部安装玻璃．

(1)、用含 $x$ 、 $y$ 的式子表示：制作这扇窗户总共需要铝合金材料的长 $L =$ _____ $m$ ，这扇窗户的采光面积 $S =$ _____ $m^{2}$ （窗框忽略不计）；

(2)、为了使窗户看起来比较美观，窗户的总宽度与总高度的比值设计成0.6，若窗户的总宽度为 $1.2 m$ ，求 $L$ 和 $S$ 的值；

(3)、张华家准备让门窗供应商为他家安装窗户，商家规定的收费标准如下：①上门服务费为500元；②窗户总面积在 $5 m^{2}$ 以内（含 $5 m^{2}$ ）按600元/ $m^{2}$ 收费；③超过 $5 m^{2}$ 不超过 $10 m^{2}$ 部分按 $500 元 / m^{2}$ 收费；④超过 $10 m^{2}$ 部分按 $400 元 / m^{2}$ 收费，已知张华家楼房共有10扇这样的窗户，问安装这些窗户共需要多少元？（其中 $π$ 取3）

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11、一所住宅的建筑平面图如图所示（图中长度单位： $m$ ），分为 $I ， Ⅱ ， Ⅲ ， Ⅳ$ 四个区域，则这所住宅的建筑面积可以用一个多项式表示为，这个多项式的次数是．

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12、在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示．

仿照前三个图，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图所示，若这个两位数的个位数字为 $x$ ，则这个两位数为（）（用含 $x$ 的代数式表示）．

A、 $11 x$ B、 $x + 50$ C、 $- x + 50$ D、 $10 x + 5$

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13、已知 $a$ ， $b$ 两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（）．

A、 $a < b$ B、 $a b > 0$ C、 $b - a > 0$ D、 $a + b > 0$

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14、线段 $A B$ 上有一动点 $P$ （点 $P$ 不与点 $A$ 重合），在线段 $A P$ 的中垂线上（ $A B$ 上方）有一点 $Q$ ，使得 $Q A = \frac{1}{2} A B$ ，以 $Q$ 为圆心， $Q A$ 为半径的圆，叫线段 $A B$ 的关联圆．
如图，点 $C (1, - 1)$ ， $D (5, - 1)$ ， $⊙ M$ 为线段 $C D$ 的关联圆．

(1)、 $E (0, 2)$ ， $F (3, 1)$ ， $G (4, 1)$ ， $H (2, 0)$ 四个点中，在线段 $C D$ 的关联圆上的点有______；

(2)、线段 $T R$ 在 $x$ 轴上，其中点 $T (t, 0)$ ， $R (t + 1, 0)$ ，若线段 $T R$ 上所有点都在线段 $C D$ 的关联 $⊙ M$ 上，求 $t$ 的取值范围；

(3)、直线 $y = - x + b$ 与线段 $C D$ 的关联圆 $⊙ M$ 相切，直接写出 $b$ 的取值范围______．

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15、在 $△ A B C$ 中， $∠ B = ∠ C = α (0 < α < 45 °)$ ， $A M ⊥ B C$ 于点 $M$ ， $D$ 是线段 $B C$ 上的动点（不与点 $B$ ， $C$ ， $M$ 重合），将线段 $D M$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $2 α$ 得到线段 $D E$ ．

(1)、如图1，当点 $D$ 在线段 $M C$ 上，求证： $M E ⊥ A C$ ；

(2)、如图2，若 $D$ 在线段 $B M$ 上，在射线 $M B$ 上存在点 $F$ 满足 $D F = D C$ ，连接 $A E$ ， $A F$ ， $E F$ ，依题意补全图形，并证明： $A E ⊥ F E$ ．

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16、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = x^{2} - m x + n$ ．

(1)、当 $m = 2$ 时，用含 $n$ 的式子表示顶点坐标；

(2)、已知点 $P (- 1, 2)$ ，将点 $P$ 向右平移4个单位长度，得到点 $Q$ ．当 $n = 3$ 时，若抛物线与线段 $P Q$ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 $m$ 的取值范围．

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17、在图1—图4中，正方形 $A B C D$ 的边长为 $a$ ，等腰直角三角形 $F A E$ 的斜边 $A E = 2 b$ ，且边 $A D$ 和 $A E$ 在同一直线上．
小明的做法：当 $2 b < a$ 时，如图1，在 $B A$ 上选取点 $G$ ，使 $B G = b$ ，连结 $F G$ 和 $C G$ ，裁掉 $△ F A G$ 和 $△ C G B$ 并分别拼接到 $△ F E H$ 和 $△ C H D$ 的位置构成四边形 $F G C H$ ．
小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将 $△ F A G$ 绕点 $F$ 逆时针旋转 $90 °$ 到 $△ F E H$ 的位置，易知 $E H$ 与 $A D$ 在同一直线上．连结 $C H$ ，由剪拼方法可得 $D H = B G$ ，故 $△ C H D ≌ △ C G B$ ，从而又可将 $△ C G B$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $90 °$ 到 $△ C H D$ 的位置．这样，对于剪拼得到的四边形 $F G C H$ （如图1），过点 $F$ 作 $F M ⊥ A E$ 于点 $M$ （图略），利用 $SAS$ 公理可判断 $△ H F M ≌ △ C H D$ ，易得 $F H = H C = G C = F G$ ， $∠ F H C = 90 °$ ．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形 $F G C H$ 是正方形．
解决下列问题：

(1)、正方形 $F G C H$ 的面积是______；（用含 $a$ ， $b$ 的式子表示）

(2)、类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．

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18、如图，等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，点 $P$ 在 $A C$ 上，将 $△ A B P$ 绕顶点 $B$ 沿顺时针方向旋转 $90 °$ 后得到 $△ C B Q$ ．

(1)、求 $∠ P C Q$ 的度数；

(2)、若 $P A = 1$ ， $P C = \sqrt{7}$ ，求 $P B$ 的长．

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19、如图，点 $E$ 是边长为2的正方形 $A B C D$ 内一点，且 $∠ E = 90 °$ ，将线段 $D E$ 以点 $D$ 为中心逆时针旋转 $90 °$ 得到线段 $D F$ ，点 $G$ 是 $B C$ 的中点，连接 $F G$ ，则 $F G$ 的最大值为．

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20、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象上部分点的坐标满足如表：
$x$
$\cdot \cdot \cdot$
$- 3$
$- 2$
0
1
3
5
$\cdot \cdot \cdot$
$y$
$\cdot \cdot \cdot$
7
0
$- 8$
$- 9$
$- 5$
7
$\cdot \cdot \cdot$
下面有四个结论：
①抛物线的开口向上；
②拋物线的对称轴为直线 $x = 2$ ；
③ $x = - 1$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + b x + c + 5 = 0 (a \neq 0)$ 的一个根；
④若点 $(- 3, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ 都在抛物线上，且 $y_{2} > y_{1}$ ，则 $x_{2}$ 的取值范围是 $- 3 < x_{2} < 5$ ．
其中正确的结论有（）

A、①③ B、②④ C、①③④ D、①④

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$x$	$\cdot \cdot \cdot$	$- 3$	$- 2$	0	1	3	5	$\cdot \cdot \cdot$
$y$	$\cdot \cdot \cdot$	7	0	$- 8$	$- 9$	$- 5$	7	$\cdot \cdot \cdot$