相关试卷

1、新定义：关于 $x$ 的一元二次方程 $a_{1} {(x - c)}^{2} + k = 0$ 与 $a_{2} {(x - c)}^{2} + k = 0$ 称为“同族二次方程”．例如： $5 {(x - 6)}^{2} + 7 = 0$ 与 $6 {(x - 6)}^{2} + 7 = 0$ 是“同族二次方程”，现有关于 $x$ 的一元二次方程 $(m + 2) x^{2} + (n - 4) x + 8 = 0$ 与 $2 {(x - 1)}^{2} + 1 = 0$ 是“同族二次方程”，则代数式的 $m x^{2} + n x + 2029$ 最小值是．

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2、若 $x$ 为任意实数，且 $M = (7 - x) (3 - x) (4 - x^{2})$ ，则 $M$ 的最大值为（　　）

A、10 B、84 C、100 D、121

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3、对于五个整式， $A$ ： $2 x^{2}$ ； $B$ ： $x + 1$ ； $C$ ： $- 2 x$ ； $D$ ： $y^{2}$ ； $E$ ： $2 x - y$ 有以下几个结论： $①$ 若 $y$ 为正整数，则多项式 $B \cdot C + A + D + E$ 的值一定是正数； $②$ 存在实数 $x$ ， $y$ ，使得 $A + D + 2 E$ 的值为 $- 3$ ； $③$ 若关于 $x$ 的多项式 $M = 3 (A - B) + m \cdot B \cdot C (m$ 为常数 $)$ 不含 $x$ 的一次项，则该多项式 $M$ 的值一定不小于 $- 3$ ； $④$ 若 $2 A - D = E (4 B + C)$ ，则 $y = 4 .$ 上述结论中，正确的个数是（　　）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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4、若 $P = a - 2 ， Q = a^{2} + 3 a$ ( $a$ 为实数)，则 $P ， Q$ 的大小关系为 $P$ Q． (填“>” “ $<$ ”或 $“ = ”)$

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5、阅读以下材料：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如
$a^{2} + 2 a - 4 = a^{2} + 2 a + 1 - 1 - 4 = {(a + 1)}^{2} - 5$
∵ ${(a + 1)}^{2} \geq 0$ ，
∴ $a^{2} + 2 a - 4 = {(a + 1)}^{2} - 5 \geq - 5$ ，
因此，代数式 $a^{2} + 2 a - 4$ 有最小值 $- 5$ ，
根据以上材料，解决下列问题：

(1)、代数式 $a^{2} - 2 a + 2$ 的最小值为；

(2)、试比较 $a^{2} + b^{2} + 11$ 与 $6 a - 2 b$ 的大小关系，并说明理由；

(3)、如图，在直角坐标系中，点 $A (0, \frac{1}{2} a^{2} + a)$ 和点 $B (0, - 2 a - \frac{13}{2})$ 在 $y$ 轴上，点 $M$ 在 $x$ 轴负半轴上， $S_{Δ A B M} = 2$ ，当线段 $O M$ 最长时，求点 $M$ 的坐标．

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6、上数学课时，王老师在讲完乘法公式 $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 $x^{2} + 4 x + 5$ 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解： $x^{2} + 4 x + 5 = x^{2} + 4 x + 4 + 1 = (x + 2)^{2} + 1$ ．
$∵ (x + 2)^{2} \geq 0$ ，
$∴$ 当 $x = - 2$ 时， $(x + 2)^{2}$ 的值最小，最小值是0．
$∴ (x + 2)^{2} + 1 \geq 1$ ．
$∴$ 当 $x = - 2$ 时， $x^{2} + 4 x + 5$ 的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：

(1)、知识再现：当 $x =$ 时，代数式 $x^{2} - 6 x + 12$ 的最小值是；

(2)、知识运用：若 $y = - x^{2} + 2 x - 3$ ，当 $x =$ 时， $y$ 有最值（填“大”或“小”），这个值是；

(3)、知识拓展：若 $- x^{2} + 3 x + y + 5 = 0$ ，求 $y + x$ 的最小值．

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7、某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元.为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价.据测算，若每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱，如果要使每天销售饮料获利1400元，设每箱应降价 $x$ 元，则可列方程为.

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8、某景点的门票价格为220元，日接待游客5000人．当门票价格每提高10元，日游客数减少50人．若想每天的门票收入达到138万元，问门票价格需提高多少元？设门票价格提高 $x$ 元，则可列方程为（　　）

A、 $(220 + x) (5000 - 5 x) = 1380000$ B、 $(220 + x) (5000 - 5 x) = 138$ C、 $(220 + x) (5000 - 50 x) = 138$ D、 $(220 + x) (5000 - 50 x) = 1380000$

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9、某合作社从2022年到2024年种植“红美人”，2022年“红美人”平均亩产量为 $800 k g$ ，引进先进的种植技术后，“红美人”产量提高，2024年平均亩产量达到 $1352 k g$ ．

(1)、若2022年到2024年“红美人”平均亩产量的年增长率相同，求“红美人”平均亩产量的年增长率．

(2)、已知该合作社目前“红美人”种植面积为10亩，每亩的种植成本为3万元，为扩大生产，该合作社决定2025年增加“红美人”种植面积．经调查发现，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少 $0.1$ 万元，在保持种植成本不变的前提下，则2025年该合作社应增加种植面积多少亩？

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10、温州市2022年 $G D P$ （国内生产总值）约为8030亿元，2024年 $G D P$ 约为9719亿元．设这两年温州市的 $G D P$ 平均增长率为 $x$ ，则可列出方程（　　）

A、 $8030 {(1 + x)}^{2} = 9719$ B、 $8030 x^{2} = 9719$ C、 $8030 (1 + x^{2}) = 9719$ D、 $8030 (1 + 2 x) = 9719$

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11、根据以下素材，完成探索任务．

探索果园土地规划和销售利润问题
素材1	某农户承包了一块长方形果园 $A B C D$ ，图1是果园的平面图，其中 $A B = 200$ 米， $B C = 300$ 米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为 $2 x$ 米，左右两条纵向道路的宽度都为 $x$ 米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度 $2 x$ 不超过24米，且不小于10米．
素材2	该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用．
问题解决
任务1	解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．	（1）请直接写出纵向道路宽度 $x$ 的取值范围．（2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2	解决果园种植的预期利润问题．（净利润 $=$ 草莓销售的总利润 $-$ 路面造价费用 $-$ 果园承包费用 $-$ 新苗购置费用 $-$ 其余费用）	（3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由．

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12、为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍．

(1)、求豆沙粽和肉粽的单价；

(2)、超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量(单位：个)和付款金额(单位：元)．

豆沙粽数量
肉粽数量
付款金额
小欢妈妈
20
30
270
小乐妈妈
30
20
230
①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价；
②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A， B两种包装销售，每包都是40个粽子(包装成本忽略不计) ，每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙棕数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为( 80-4m)包，( 4m+8)包，A，B两种包装的销售总额为17 280元。求m的值

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13、为了促进电车便捷性，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了200个充电桩，第三个月新建了600个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率 $x$ ，根据题意，可列方程（　　）

A、 $200 (1 + 2 x) = 600$ B、 $200 {(1 - x)}^{2} = 600$ C、 $600 {(1 + x)}^{2} = 200$ D、 $200 {(1 + x)}^{2} = 600$

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14、若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式 $b^{2} - 4 a c$ 一定为完全平方数．现规定 $F (a, b, c) = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ 为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程” $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ ，的两根均为整数，其“快乐数” $F (1, - 3, - 4) = \frac{4 \times 1 \times (- 4) - {(- 3)}^{2}}{4 \times 1} = - \frac{25}{4}$ ，若有另一个“快乐方程” $p x^{2} + q x + r = 0 (p \neq 0)$ 的“快乐数” $F (p, q, r)$ ，且满足 $r \cdot F (a, b, c) = c \cdot F (p, q, r)$ ，则称 $F (a, b, c)$ 与 $F (p, q, r)$ 互为“开心数”．

(1)、“快乐方程” $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的“快乐数”为；

(2)、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 m - 1) x + m^{2} - 2 m - 3 = 0$ （ $m$ 为整数，且 $1 < m < 6$ ）是“快乐方程”，求 $m$ 的值，并求该方程的“快乐数”；

(3)、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - m x + m + 1 = 0$ 与 $x^{2} - (n + 2) x + 2 n = 0$ （ $m$ 、 $n$ 均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求 $n$ 的值．

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15、定义：若一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ）满足 $a - b + c = 0$ ，则我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq 0$ ）是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则 $a$ 与 $c$ 的数量关系是．

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16、若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m + 1) x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是（　　）

A、 $m < 0$ 且 $m \neq - 1$ B、 $m \geq 0$ C、 $m \leq 0$ 且 $m \neq - 1$ D、 $m < 0$

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17、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + k + 1 = 0$ 有两个相等的实数根，则 $k$ 的值是（　　）

A、 $k = 0$ B、 $k = 2$ C、 $k = 1$ D、 $k = - 1$

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18、定义：两根都为整数的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 称为“全整根方程，代数式 $\frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ 的值为该“全整根方程”的“最值码”，用 $Q (a, b, c)$ 表示，即 $Q (a, b, c) = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ ，若另一关于 $x$ 的一元二次方程 $p x^{2} + q x + r = 0 (p \neq 0)$ 也为“全整根方程”，其“最值码”记为 $Q (p, q, r)$ ，当满足 $Q (a, b, c) - Q (p, q, r) = c$ 时，则称一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 是一元二次方程 $p x^{2} + q x + r = 0 (p \neq 0)$ 的“全整根伴侣方程”．

(1)、“全整根方程” $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 的“最值码”是．

(2)、若（1）中的方程是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + q x - 2 = 0$ 的“全整根伴侣方程”，求 $q$ 的值．

(3)、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (1 - m) x + m - 2 = 0$ 是 $x^{2} + (n - 1) x - n = 0$ （ $m, n$ 均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求 $m - n$ 的值．

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19、阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），如果 $Δ = b^{2} - 4 a c$ 的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数， $Δ$ 的值一定是一个完全平方数．
定义：两根都为整数的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）称为“友好方程”，代数式4ac-b²的值为该“友好方程”的“超强代码”，用 $Q (a, b, c)$ 表示，即 $Q (a, b, c) = 4 a c - b^{2}$ ；若另一关于x的一元二次方程px²+qx+r=0（p≠0）也为“友好方程”，其“超强代码”记为 $Q (p, q, r)$ ，当满足 $Q (a, b, c) - Q (p, q, r) = 4 c$ 时，则称一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）是一元二次方程px²+qx+r=0（p≠0）的“最佳搭子方程”．

(1)、“友好方程” $x^{2} - x - 6 = 0$ 的“超强代码”是；

(2)、关于x的一元二次方程 $x^{2} - (2 m - 1) x + m^{2} - 2 m - 3 = 0$ （m为整数，且 $4 < m < 15$ ）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”；

(3)、若关于x的一元二次方程 $x^{2} + (1 - m) x + m - 2 = 0$ 是 $x^{2} + (n - 1) x - n = 0$ （m ， n均为正整数，且m≠n）的“最佳搭子方程”，且 $x^{2} + (1 - m) x + m - 2 = 0$ 的一个根是 $x^{2} + (n - 1) x - n = 0$ 的一个根的2倍，求m和n的值.

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20、已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (m + 2) x + 3 (m - 1) = 0$ ．

(1)、求证：无论 $m$ 取何值，方程总有实数根．

(2)、若 $△ A B C$ 的两边 $A B ， A C$ 的长是这个方程的两个实数根，第三边 $B C$ 的长为 4 ，当 $△ A B C$ 是直角三角形时，求 $m$ 的值．

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	豆沙粽数量	肉粽数量	付款金额
小欢妈妈	20	30	270
小乐妈妈	30	20	230