相关试卷

1、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D、E是 $B C$ 边上两点，连接 $A D$ ，以 $A D$ 为腰作等腰直角 $△ A D F$ ， $∠ A D F = 90 °$ ，作 $F E ⊥ B C$ 于点E， $F E = C E$ ，作 $A G ⊥ B C$ 于点G．

(1)、证明∶ $△ A D G ≌ △ D F E$ ；

(2)、若 $B D = 2$ ， $C E = 5$ ，求 $S_{△ C D F}$ 的大小．

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2、尺规作图题

(1)、图1，校园一角的形状如图所示，其中 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ 表示围墙，小亮通过作角平分线在图示的区域中找到了一点P，使得点P到三面墙的距离都相等，请你用尺规作图法帮小亮画出P点．(保留作图痕迹，作图痕迹要清晰)

(2)、图2，已知一个点O，请用尺规作图作一个以点O为顶点的直角 $∠ A O B$ ． (保留作图痕迹，作图痕迹要清晰)

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3、背景资料：“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低(特别是二氧化碳的)排放量的一种生活方式．低碳生活的理念也已逐步被人们所接受．相关资料统计了一系列排碳计算公式，根据信息，解决问题：
排碳计算公式
家居用电的二氧化碳排放量 $(k g) =$ 耗电量 $(K W · h) \times 0.785$
开私家车的二氧化碳排放量 $(k g) =$ 耗油量 $(L) \times 2.7$
家用天然气的二氧化碳排放量 $(k g) =$ 天然气使用量 $(m ³) \times 0.19$
家用自来水的二氧化碳排放量 $(k g) =$ 自来水使用量 $(t) \times 0.91$

(1)、若x表示耗油量，开私家车的二氧化碳排放量为y，则开私家车的二氧化碳排放量与耗油量的关系式为．

(2)、在上述关系中，耗油量每增加 $1 L$ ，二氧化碳排放量就增加 $k g$ ；当耗油量从 $3 L$ 增加到 $8 L$ 时，二氧化碳排放量就从 $k g$ 增加到 $k g$ ．

(3)、小明家本月家居用电约 $110 k W · h$ ，天然气 $20 m ³$ ，自来水 $5 t$ ，开私家车耗油 $75 L$ ，请你计算一下小明家这几项二氧化碳排放量的总和．

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4、先化简，再求值∶ $[(2 x + y) (2 x - y) - {(2 x - y)}^{2}] \div (- 2 y)$ ，其中 ${(x + 1)}^{2} + | y - 2025 | = 0$ ．

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5、计算：

(1)、 ${(- \frac{1}{2})}^{- 2} + {(- 1)}^{2} \times {(π - 2025)}^{0} - {(\frac{1}{3})}^{- 1}$ ；

(2)、 $a^{2} \cdot a^{4} + {(- 2 a^{2})}^{3} - a^{8} \div a^{2}$ ．

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6、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，分别以 $A B$ 、 $B C$ 、 $A C$ 为边向上作正方形 $A G F B$ 、正方形 $B C D E$ 、正方形 $A C M N$ ，点E在 $F G$ 上，若 $A C = 6$ ， $B C = 10$ ，则图中阴影的面积为．

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C ， B D = A D = 5 ， D F ⊥ A C$ ，垂足为 $F ， D F = 4$ ，则 $A B$ 的长为．

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8、若 $a^{m} = 2$ ， $a^{n} = 5$ ，则 $a^{2 m - n} =$ ．

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9、某商场自行车存放处每周存车量5000辆次，其中变速车车费是每辆一次1元，普通车存车费每辆一次0.5元，若普通车存车量为 $x$ 辆次，存车的总收入为 $y$ 元，则 $x$ 和 $y$ 之间的关系式为.

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10、在一个不透明的盒子中装有4个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率为 $\frac{2}{3}$ ，则 $n =$ ．

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11、如图在四边形 $A B C D$ 中 $A D ∥ B C$ ， $A B = A C$ ， $B C = 6$ ， $△ D B C$ 面积为 24， $A B$ 的垂直平分线 $M N$ 分别交 $A B$ ， $A C$ 于点M，N，若点P和点Q分别是线段 $M N$ 和 $B C$ 边上的动点，则 $P B + P Q$ 的最小值为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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12、如图， $△ A B E$ 和 $△ A D C$ 是 $△ A B C$ 分别沿着 $A B ， A C$ 边翻折形成的， $C D$ 与 $B E$ 交于点O，若 $∠ 1 ： ∠ 2 ： ∠ 3 = 13 ： 3 ： 2$ ，则 $∠ D O E$ 的度数为（）

A、 $100 °$ B、 $90 °$ C、 $85 °$ D、 $80 °$

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13、如图，两个边长相等的正方形 $A B C D$ 和 $E F G H$ ，将正方形 $E F G H$ 的顶点E与正方形 $A B C D$ 的中心重合，正方形 $E F G H$ 绕点E 顺时针方向旋转；设旋转的角度为 $θ (0 ° \leq θ \leq 360 °)$ ，两个正方形重叠部分的面积为S，则变量S与θ的关系大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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14、下列说法不正确的是（）

A、锐角三角形中每个内角都小于 $90 °$ 是必然事件 B、翻开数学课本，恰好翻到30页是随机事件 C、竹篮打水属于不可能事件 D、在纸上任意画两条直线，这两条直线互相平行是必然事件

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15、图1 为我国高铁座位的实物图，图2 是它的简易图，座位 $A D$ 和座椅靠背 $A E$ 的夹角 $∠ D A E = 100 °$ ，小桌板 $B C$ 与座位 $A D$ 平行，小桌板支撑杆 $A B$ 与桌面 $B C$ 的夹角 $∠ A B C = 125 °$ ，则座椅靠背 $A E$ 与小桌板支撑杆 $A B$ 形成的夹角 $∠ E A B$ 的度数是（）

A、 $25 °$ B、 $20 °$ C、 $15 °$ D、 $10 °$

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16、下列运算正确的是（）

A、 $a^{8} \div a^{4} = a^{2}$ B、 ${(- a^{2} b)}^{3} = - a^{6} b^{3}$ C、 ${(- a + b)}^{2} = - a^{2} - 2 a b + b^{2}$ D、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$

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17、以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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18、在城市规划中，工程师们正在设计一座新的桥梁．桥梁的主结构由多个三角形支撑构成，以确保其稳定性．为了优化材料的使用和承重分布，工程师需要精确计算各个支撑杆的长度和角度．

(1)、等边三角形支撑的初步计算：
桥梁的一个主要支撑结构是一个等边三角形 $A B C$ ，其边长为 $5$ 米．为了加强支撑，工程师在 $A C$ 边上选择了一个点 $D$ ，并从 $D$ 点平行于 $B C$ 方向铺设了一根长度为 $1$ 米的加固杆 $D F$ 同时，从 $B$ 点向外延伸 $1$ 米到 $E$ 点，连接 $D E$ 与 $A B$ 相交于 $P$ ，请计算 $P F$ 的长度．

(2)、可变尺寸的等边三角形支撑：
现在，工程师考虑用不同尺寸的等边三角形支撑，其边长为 $a$ 米．同样地，从 $D$ 点平行于 $B C$ 铺设长度为 $b$ 米的加固杆 $D F$ ，并延长 $C B$ 至点 $E$ 使得 $B E = b$ 米．为了进一步加固，从 $P$ 点垂直 $(P G ⊥ A B)$ 设置一根支柱，与 $B C$ 交于 $G$ ，请计算 $F G$ 的长度．

(3)、非等边三角形支撑的特殊条件：
在另一个设计中，支撑结构不再是等边三角形，工程师在 $A C$ 边上选择 $D$ 点，并从 $D$ 点垂直向下 $(D F ⊥ B C)$ 设置测量杆 $D F ．$ 他们发现主梁 $A B$ 与斜拉索 $D E$ 的长度相等 $(A B = D E)$ ，并且 $∠ A + ∠ E = ∠ C$ ，请证明 $B E = 2 C F$ ．

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19、探究活动：折叠中的对称之美
【初步探究】
在学习了轴对称的知识后，老师告诉大家： $“$ 折叠中隐含着许多轴对称问题． $”$ 为了深入理解，小明决定动于实验．他拿出一张长方形纸片 $A B C D$ ，其中， $A B ∥ C D$ ， $A D ∥ B C$ ．他在边 $A D$ 上取一点 $E$ ，在边 $B C$ 上取一点 $F$ ，并将纸片沿直线 $E F$ 折叠，使得点 $C$ 落在新位置 $C^{'}$ ，如图 $1$ ，小明发现 $△ G E F$ 是等腰三角形；

(1)、请结合图1证明 $△ G E F$ 是一个等腰三角形（即 $G E = G F$ ）
【深入探究】
小明又沿着对称轴 $G H$ 折叠，使得点 $E$ 与 $F$ 重合，展开后如图 $2$ ， $G H$ 与 $E F$ 交于点 $O$ ，连接 $E H$ 后，他想进行以下探究活动：
活动1（计算面积）：
若测量得 $E F = 10$ ， $G H = 8$ ，求四边形 $G F H E$ 的面积；
活动2（证明性质）：
小明发现四边形 $G F H E$ 的四条边均相等，你能证明吗？

(2)、请选择以上任意一个活动完成．

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20、【阅读材料】
我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．例如，教材在探究平方差公式与完全平方公式时，就利用了数形结合的方法．

(1)、【类比探究】
利用图1中面积的等量关系可以得到的数学公式为（请填序号）．
① $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$     ② $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$
③ $a (a + b) = a^{2} + a b$       ④ $a (a - b) = a^{2} - a b$

(2)、【解决问题】
利用【类比探究】中得到的结论，解决下列问题：
①已知 $a - b = 3, a^{2} + b^{2} = 5$ ，则 $a b =$ ▲  ；
②若 $(6 + x) x = 7$ ，求 $(6 + x)^{2} + x^{2}$ 的值；

(3)、【拓展应用】
如图，点E是线段 $A B$ 上的一点，在线段 $A B$ 的同侧作以 $A B 、 B E$ 为边的正方形，设 $A E = 6$ ，两正方形的面积和为50，求图中阴影部分面积．

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