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1、蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现后使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．
如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形 $A B C D$ 和抛物线 $A E D$ 构成，其中 $A B = 3 m$ ， $B C = 4 m$ ，取 $B C$ 中点 $O$ ，过点 $O$ 作线段 $B C$ 的垂直平分线 $O E$ 交抛物线 $A E D$ 于点 $E$ ，若以 $O$ 点为原点， $B C$ 所在直线为 $x$ 轴， $O E$ 为 $y$ 轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：

(1)、如图2，抛物线 $A E D$ 的顶点 $E (0, 4)$ ，求抛物线的解析式；

(2)、如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置 $L F G T$ ， $S M N R$ ，若 $F L = N R = 0.75 m$ ，求两个正方形装置的间距 $G M$ 的长；

(3)、如图4，在某一时刻，太阳光线透过 $A$ 点恰好照射到 $C$ 点，此时大棚截面的阴影为 $C K$ ，求 $C K$ 的长．

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2、如图，以 $△ A B C$ 的边 $A C$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $A B$ 边于点 $M$ ，交 $B C$ 边于点 $N$ ，连接 $A N$ ，过点 $C$ 的切线交 $A B$ 的延长线于点 $P$ ， $∠ B C P = ∠ B A N$ ．求证：

(1)、 $△ A B C$ 为等腰三角形；

(2)、 $A M \cdot C P = A N \cdot C B$ ．

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3、如图，一次函数 $y = k x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于A，B两点，已知点 $A (- 8, 1)$ ，点 $B (n, - 4)$ ．

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)、根据函数图象直接写出关于x的不等式 $k x + b > \frac{m}{x}$ 的解集．

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4、如图， $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (1, 1)$ ， $B (4, 2)$ ， $C (3, 4)$ ．

(1)、 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A B C$ 关于原点O对称，画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、将 $△ A B C$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ ，在网格中画出旋转后对应的 $△ A B_{2} C_{2}$ ，并求出此过程中线段 $A C$ 扫过的面积．（结果保留 $π$ ）

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5、电影《哪吒之魔童闹海》截止至2025年3月10日，票房突破 $148.87$ 亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片： $A$ 哪吒， $B$ 敖丙， $C$ 太乙真人， $D$ 申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片．

(1)、第一次取出的卡片图案为“ $A$ 哪吒”的概率为_______；

(2)、用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“ $A$ 哪吒”和“ $C$ 太乙真人”的概率．

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6、解方程．

(1)、 $x^{2} - 3 = 0$ ；

(2)、 $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ ．

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7、如图，一次函数 $y = - x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A (m, 3)$ 和 $B (3, 1)$ ．点P是线段 $A B$ 上一点，过点P作 $P D ⊥ x$ 轴于点D，连接 $O P$ ，若 $△ P O D$ 的面积为S，则S的取值范围是．

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8、不倒翁是一种受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一球形物体制作了一个戴帽子的不倒翁（如图1），图2是从正面看到的该不倒翁的形状示意图（设圆心为 $O$ ）．已知帽子的边缘 $P A$ ， $P B$ 分别与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ， $B$ ，若该圆半径是 $4$ ， $∠ P = 60 °$ ，则 $\overset{⌢}{A M B}$ 的长是．（结果保留 $π$ ）

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9、如图，已知 $△ A B C$ 中，点D在 $A B$ 上，点E在 $A C$ 上， $D E ∥ B C$ ． $A D = 2$ ， $A B = 5$ ， $A E = 4$ ，则 $A C =$ ．

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10、已知反比例函数 $y = \frac{m + 2}{x}$ 的图象在第一、三象限，则m的取值范围为．

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11、如图，已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，O为坐标原点，抛物线 $y = - \frac{5}{16} x^{2} + b x$ 与x轴的一个交点为 $A (- 8, 0)$ ，点C是抛物线的顶点，且 $⊙ C$ 与y轴相切，点P为 $⊙ C$ 上一动点．若点D为 $P A$ 的中点，连接 $O D$ ，则 $O D$ 的最大值是（）

A、 $\frac{17}{2}$ B、5 C、 $\frac{15}{2}$ D、8

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12、如图，正六边形 $A B C D E F$ 内接于 $⊙ O$ ，半径为 $2 cm$ ，若G为 $C D$ 的中点，连接 $A G$ ，则 $A G$ 的长度为（） $cm$ ．

A、 $\sqrt{11}$ B、 $\sqrt{13}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $\sqrt{17}$

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 ° ， A B = 3 cm ， B C = 6 cm$ ，动点P从点A开始沿 $A B$ 向点B以 $1cm/s$ 的速度移动，动点Q从点B开始沿 $B C$ 向点C以 $2cm/s$ 的速度移动，若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则 $△ P B Q$ 的面积S与出发时间t的函数关系图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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14、为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为144元的药品进行连续两次降价后售价为121元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（）

A、 $144 {(1 - x)}^{2} = 121$ B、 $144 {(1 + x)}^{3} = 121$ C、 $144 {(1 - 2 x)}^{2} = 121$ D、 $144 (1 + 2 x) = 121$

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15、如图，A为反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上的一点， $A B ⊥ x$ 轴， $A C ⊥ y$ 轴，垂足分别为B，C．若四边形 $O C A B$ 的面积为6，则k的值为（）

A、3 B、-3 C、6 D、-6

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16、如图，在平面直角坐标系中， $△ O A B$ 的顶点为 $O (0, 0)$ ， $A (3, 2)$ ， $B (2, 0)$ ，以点O为位似中心，在第三象限内作 $△ O A B$ 的位似图形 $△ O C D$ ，相似比为 $\frac{1}{2}$ ，则点C的坐标为（）

A、 $(- 1, - \frac{3}{2})$ B、 $(- \frac{3}{2}, - 1)$ C、 $(- 1, 0)$ D、 $(0, - 1)$

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17、若 $x = 1$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x + m = 0$ 的一个根，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、4 C、 $- 4$ D、2

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18、下列方程是一元二次方程的是（）

A、 $3 x + 2 y - 1 = 0$ B、 $\sqrt{x - 5} = 0$ C、 $2 x + 6 = 0$ D、 $x^{2} - 1 = 0$

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19、已知 $⊙ O$ 的半径为5，点P到圆心O的距离为3，则点P（）

A、在 $⊙ O$ 内 B、在 $⊙ O$ 上 C、在 $⊙ O$ 外 D、无法确定

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20、下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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