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1、【综合与实践】

(1)、【探究】小学我们就学过同底等高的两个三角形的面积相等，后来我们又学到等高的两个三角形的面积之比等于与高线对应的底边长之比.如图①，△ABC的高线CD 和△EFG的高线GH 相等，则 $\frac{S_{△ A B C}}{S_{△ E F G}} = \frac{A B}{E F} .$ 同样，同底的两个三角形，如果面积相等，也有类似的结论.若图形位置特殊，由此会产生一些新的结论，下面是小江同学探索得到的一个结论，请帮助小江完成证明.
如图②，△ABC和△DCB的面积相等，求证：AD∥BC.

(2)、【应用】把图③的四边形ABCD改成一个以AB 为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，并简要说明理由.

(3)、【拓展】用上述探究的结论和已经证明的结论，证明三角形的中位线定理.
已知：如图④， .
求证： .
证明：

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2、一次数学课上，老师让大家在一张长 12 cm，宽 5cm 的矩形纸片内折出一个菱形.甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形 EFGH(如图①)，乙同学沿矩形的对角线 AC 折出 ∠CAE =∠DAC，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF(如图②).则这两种折法中，菱形面积较大的是( )

A、甲的折法 B、乙的折法 C、甲、乙的折法相等 D、无法判断

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3、如图，在△ABC中，D 是边BC上的点(不与点 B，C重合).过点 D作DE∥AB 交AC于点 E，过点 D 作 DF∥AC交AB于点 F. N 是线段BF上的点，BN=2NF；M是线段 DE 上的点，DM=2ME. 若已知△CMN的面积，则一定能求出( )

A、△AFE的面积 B、△BDF 的面积 C、△BCN的面积 D、△DCE的面积

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4、如图，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB，BC为边在 AB的同侧作正方形ABDE 和正方形 BCGF，点 D 在FG 上，连结 CD，CE，EG. 若要求四边形CDGE的面积，则只需知道 ( )

A、AB的长 B、BC的长 C、△ABC的面积 D、△ACE的面积

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5、如图，矩形ABCD∽矩形 DEFG，连结 AF，CG，DF，要求出△CDG的面积，只需要知道下面哪个图形的面积 ( )

A、矩形ABCD B、四边形ABCG C、△DEF D、△ADF

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6、我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助此分割方法所得图形证明了勾股定理.如图所示，矩形 ABCD 就是由两个这样的图形拼成(无重叠、无缝隙)的.根据下面给出的条件，一定能求出矩形ABCD 的面积的是( )

A、BM 与DM的积 B、BE 与DE 的积 C、BM 与DE 的积 D、BE 与DM 的积

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7、如图，用5 块边长均为1的阴影正方形拼成一个大的正方形，且图中的点A，B，C，D分别是中间小正方形各边的中点，则图中空白部分的面积是( )

A、 $\frac{3}{2} \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2} - \frac{1}{2}$ C、 $8 - 4 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2} - 1$

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8、如图，D，E，F 分别是△ABC三边上的点，其中 BC=8，BC边上的高线长为6，且 DE∥BC，则△DEF面积的最大值为( )

A、6 B、8 C、10 D、12

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9、如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， $D$ 为 $A C$ 边上任一点，连接 $B D$ ，延长 $B D$ 到 $E$ ，使 $B E = A B$ ．设 $∠ A B D = α$ ．

(1)、则 $∠ C A E$ 的大小为______（用含 $α$ 的代数式表示）；

(2)、如图2，点 $F$ 在 $∠ C B E$ 的平分线上，连接 $E F$ 、 $C E$ ，若 $∠ E C F = 60 °$ ，判断 $△ E F C$ 的形状并加以证明．

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10、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 D是 $B C$ 的延长线上一点， $E H$ 是线段 $B D$ 的垂直平分线， $D E$ 交 $A C$ 于点 F．求证：点 E在线段 $A F$ 的垂直平分线上．

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11、如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在小正方形的顶点上．

(1)、在图中画出与 $△ A B C$ 关于直线 $l$ 成轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积为______．

(3)、在直线 $l$ 上确定点 $P$ ，使得 $P B + P C$ 最小．

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12、如图，已知D为 $△ A B C$ 边 $B C$ 延长线上一点， $D F ⊥ A B$ 于F交 $A C$ 于E， $∠ A = 40 °$ ， $∠ D = 50 °$ ，求 $∠ A C D$ 的度数．

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13、如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=6，则PD= ．

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14、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 40^{\circ}$ ， $∠ C = 45^{\circ}$ ， $A B$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点 $D$ ， $A C$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点 $E$ ，则 $∠ D A E =$ 度.

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15、如图，要测量河两岸相对两点 $A$ 、 $B$ 间的距离，先在过点 $B$ 的 $A B$ 的垂线上取两点 $C$ 、 $D$ ，使 $C D = B C$ ，再在过点 $D$ 的垂线上取点 $E$ ，使 $A$ 、 $C$ 、 $E$ 三点在一条直线上，可证明 $△ E D C ≌ △ A B C$ ，所以测得 $E D$ 的长就是 $A$ 、 $B$ 两点间的距离，这里判定 $△ E D C ≌ △ A B C$ 的理由是．

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是角平分线， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $△ A B C$ 的面积为15， $A B = 6$ ， $D E = 3$ ，则 $A C$ 的长是（）

A、3 B、4 C、5 D、2

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17、数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法，小旭说：我用两块含 $30 °$ 的直角三角板就可以画角平分线，如图，取 $O M = O N$ ，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点 $P$ ，则射线 $O P$ 是 $∠ A O B$ 的平分线，小旭这样画的理论依据是（）

A、 $SAS$ B、 $ASA$ C、 $AAS$ D、 $HL$

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $B O$ 、 $C O$ 分别平分 $∠ A B C$ 、 $∠ A C B$ ．若 $∠ B O C = 110 °$ ，则 $∠ A =$ （）

A、 $40 °$ B、 $30 °$ C、 $35 °$ D、 $55 °$

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19、已知点 $P (3, - 4)$ ，点 $Q$ 与点 $P$ 关于 $x$ 轴对称，则点 $Q$ 的坐标是（）

A、 $(4, - 3)$ B、 $(- 3, - 4)$ C、 $(- 3, 4)$ D、 $(3, 4)$

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20、已知一个三角形的两边长分别是8cm和5cm，则其第三边的长可以是（）

A、1cm B、2cm C、3cm D、4cm

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