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1、如图，在三角形 $A B C$ 中， $D$ ， $E$ 是 $A B$ 上的点， $F$ 是 $B C$ 上一点， $G$ ， $H$ 是 $A C$ 上的点， $F D ⊥ A B$ ．连接 $E F$ ， $E H$ ， $E G$ ．有下列三个条件：① $E G ⊥ A B$ ；② $∠ 1 = ∠ 2$ ；③ $E H ∥ B C$ ．

(1)、请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题；

(2)、请你选择（1）中的一个真命题进行证明．

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2、如图，已知点 $E$ 、 $F$ 分别在 $A B$ 、 $C D$ 上，连接 $E C$ 、 $B F$ 交 $A D$ 于点 $G$ 、 $H$ ．有以下三个论断：① $∠ 1 = ∠ 2$ ；② $∠ B = ∠ C$ ， ③ $A B ∥ C D$ ．

(1)、请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题；

(2)、选择（1）中的一个真命题加以证明．

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3、如图，已知直线 $A B$ 、 $C D$ ，连接 $A D$ ， $B C$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $B C$ 、 $C D$ 上，连接 $E F$ ．现有以下选项：① $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ ；② $∠ 3 = ∠ A$ ；③ $A B ∥ C D$ ．

(1)、请你以①②为题设，③为结论，用“如果…那么…”的形式写出这个命题；

(2)、判断（1）中所写命题的真假，若为真命题，则说明理由；若为假命题，则举出反例．

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4、观察下列算式：
算式 $①$ ： ${(2 + 3)}^{2} - 2^{2} = 7 \times 3$ ；
算式 $②$ ： ${(4 + 3)}^{2} - 4^{2} = 11 \times 3$ ；
算式 $③$ ： ${(6 + 3)}^{2} - 6^{2} = 15 \times 3$ ；
$⋯$

(1)、按照以上三个算式的规律，请写出算式 $⑥$ ：；

(2)、上述算式用文字可表述为“比任意一个偶数大 $3$ 的数与此偶数的平方差均能被 $3$ 整除”．若设偶数为 $2 n$ （ $n$ 为正整数），请用含 $n$ 的式子表示这个规律，并证明；

(3)、请直接判断“比任意一个奇数大 $5$ 的数与此奇数的平方差均能被 $5$ 整除”是命题．（填“真”或“假”）

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5、若一个整式能表示成 $x^{2} + y^{2}$ （x，y均为整式）的形式，则称这个整式为“完美式”．例如， $5 = 1^{2} + 2^{2}$ ， $s^{2} - 2 s t + 2 t^{2} = {(s - t)}^{2} + t^{2}$ ，则5， $s^{2} - 2 s t + 2 t^{2}$ 都是“完美式”．

(1)、请说明13是“完美式”；

(2)、若 $H = m^{2} + n^{2} - 4 m + 10 n + k$ 是“完美式”，求出一个符合条件的k；

(3)、若P，Q是“完美式”，它们的积是否为“完美式”？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．

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6、命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程．

(1)、已知：如图，， $G I ∥ H J$ ；求证：．

(2)、证明：

(3)、命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是命题（填“真”或“假”）．

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7、有2022位同学排成一列依次报数．若前一位同学报的是一位数，后面的同学就报这个数的2倍；若前一位同学报的是两位数，后面的同学就报其个位数字与5的和．已知第一位同学报1，到了第100位同学，他却把前面那位同学报的数加上了另一个一位自然数，其他人都没有注意到，仍然按以前的规则继续报数，直到最后一位同学报的数是5．那么第100位同学所报的数是把前一位同学报的数加上了．

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8、给出以下命题：①一个角的余角大于这个角；②如果 $∠ A = ∠ B$ ，那么 $∠ A$ 与 $∠ B$ 是对顶角；③如果两个角的和等于 $180 °$ ，那么这两个角互为补角．其中真命题有．（填所有真命题的序号）

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9、请把命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”改写成“如果 $⋯$ ，那么 $⋯$ ”的表述形式：．

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10、写出命题“如果 $a b = 0$ ，那么 $a = 0$ 或 $b = 0$ ． ”的逆命题：．

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11、下列关于命题“若 $a^{2} > b^{2}$ ，则 $a > b$ ”的说法，正确的是（）

A、是真命题 B、是假命题，反例是“ $a = 1, b = 3$ ” C、是假命题，反例是“ $a = - 3, b = 1$ ” D、是假命题，反例是“ $a = - 1, b = - 3$ ”

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12、定理“如果 $| a | = | b |$ ，那么 $a = b$ 或 $a = - b$ ”的逆定理是( )

A、如果 $a = b$ 或 $a = - b$ ，那么 $| a | = | b |$ B、如果 $| a | \neq | b |$ ，那么 $a \neq b$ 且 $a \neq - b$ C、 $a = b$ 时， $a$ 可能等于 $b$ 或 $- b$ D、 $a \neq b$ 或 $a \neq - b$ 时， $| a |$ $\neq | b |$

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13、下列命题：①两点之间，线段最短；②两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；③若 $x^{2} > 0$ ，则 $x > 0$ ；④若 $a \neq b$ ， $b \neq c$ ，则 $a \neq c$ ．其中真命题有（）个．

A、1 B、2 C、3 D、4

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14、命题“若 $x^{2} < y^{2}$ ，则 $x < y$ ． ”下列选项中 $x$ ， $y$ 的值，能说明这个命题是假命题的是（）

A、 $x = 3$ ， $y = 4$ B、 $x = 0$ ， $y = 3$ C、 $x = - 2$ ， $y = - 3$ D、 $x = - 3$ ， $y = 5$

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15、下列命题中，是假命题的是(　　)

A、如果两个角不相等，那么它们不是对顶角 B、同旁内角互补，两直线平行 C、如果 $a > b$ ， $b > c$ ，那么 $a > c$ D、无理数没有平方根

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16、下列命题中，属于真命题的是（）

A、内错角相等 B、三角形的一个外角等于两个内角之和 C、无限小数是无理数 D、实数与数轴上的点一一对应

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17、下列语句不是命题的是（）．

A、同位角相等，两直线平行 B、作 $∠ A B C$ 的角平分线 C、若 $| a | = | b |$ ，则 $a = b$ D、同角的余角相等

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18、如图，点C为矩形 $A B C D$ 和正方形 $C E F G$ 的公共顶点，点E，F在矩形的边 $A D$ ， $A B$ 上．

(1)、求证： $A E = C D$ ；

(2)、连接 $G E$ ，若 $C D = 4$ ， F是 $A B$ 的中点，求 $G E$ 的长；

(3)、在（2）的条件下，猜想 $F H$ 和 $G H$ 的数量关系，并说明理由．

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19、四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形．

(1)、我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的：
①当对角线 $A C = B D$ 时，四边形ABCD的中点四边形为形；
②当对角线 $A C ⊥ B D$ 时，四边形ABCD的中点四边形是形．

(2)、如图：四边形ABCD中，已知 $∠ B = ∠ C = 60 °$ ，且 $B C = A B + C D$ ，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明．

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20、如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，将 $Δ C O D$ 沿 $C D$ 所在直线折叠，得到 $Δ C E D$ ．

(1)、求证：四边形 $O C E D$ 是菱形；

(2)、若 $B D = 3$ ， $∠ A C D = 30 °$ ， $P$ 是 $C D$ 边上的动点， $Q$ 是 $C E$ 边上的动点，那么 $P E + P Q$ 的最小值是多少？

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