相关试卷

1、如图，已知锐角 $△ A B C$ ， $∠ B = 50 °$ ．请用尺规作图法，在 $△ A B C$ 内部求作一点P，使 $P B = P C$ ，且 $∠ P B C = 25 °$ （保留作图痕迹，不写做法）．

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2、（ $1$ ）解方程组 $\{\begin{array}{l} \frac{x - 1}{6} - \frac{2 - y}{3} = 1 \\ 2 x + y = 13 \end{array}$ ．
（ $2$ ）解不等式组 $\{\begin{matrix} 4 (x - 1) > 3 x - 2 \\ \frac{x + 1}{2} - \frac{x - 1}{3} \geq 1 \end{matrix}$ ．

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3、已知： $\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}$ ； $\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ； $\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ； $\frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$ ；…； $\frac{1}{(n - 1) \times n} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}$ ．
请你根据上式中包含的规律，则不等式 $\frac{x}{2} + \frac{x}{6} + \frac{x}{12} + \dots + \frac{x}{(n - 1) n} > n - 1$ 的解集是．

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4、10年前，小明的爸爸的年龄是小明的6倍；10年后，小明爸爸的年龄是小明的2倍，则小明现在的年龄是

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5、已知 $a ， b ， c$ 为 $△ A B C$ 三边的长，若 $b^{2} + 2 c^{2} + a^{2} = 2 c (a + b)$ ，则 $△ A B C$ 的形状为．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C$ 和 $∠ A B C$ 的平分线 $A E, B F$ 相交于点O， $A E$ 交 $B C$ 于点E， $B F$ 交 $A C$ 于点F，过点O作 $O D ⊥ B C$ 于D，下列三个结论：① $∠ A O B = 90 ° + \frac{1}{2} ∠ C$ ；②若 $O D = a, A B + B C + C A = 2 b$ ，则 $S_{△ A B C} = a b$ ；③当 $∠ C = 60 °$ 时， $A F + B E = A B$ ．其中正确的是（）

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

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7、在探究证明“三角形的内角和等于 $180 °$ ”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于 $180 °$ ”的是（）

A、如图①，过点 $C$ 作 $E F ∥ A B$ B、如图②，延长 $A C$ 到 $F$ ，过点 $C$ 作 $C E ∥ A B$ C、如图③，过 $A B$ 上一点 $D$ 作 $D E ∥ B C$ ， $D F ∥ A C$ D、如图④，过点 $D$ 作 $D E ∥ B C$

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8、如图， $∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E$ 的度数（）

A、 $180 °$ B、 $210 °$ C、 $360 °$ D、 $270 °$

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9、已知关于x与y的方程组 $\{\begin{array}{l} 3 x + 2 y = m + 1 \\ 4 x + 3 y = 2 m - 1 \end{array}$ 的解满足 $x + y > 0$ ，则m应满足（）

A、 $m > 2$ B、 $m < 2$ C、 $m > - 2$ D、 $- 2 < m < 2$

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10、下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）

A、 $a (x - y) = a x - a y$ B、 $x^{3} - x = x (x + 1) (x - 1)$ C、 $(x + 1) (x + 3) = x^{2} + 4 x + 3$ D、 $x^{2} + 2 x + 1 = x (x + 2) + 1$

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11、综合与探究
【问题背景】如图1，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ， G，H分别是 $A D$ ， $B C$ 上的点，E，F是对角线 $A C$ 上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，始终保持 $A E = C F$ ，连接 $E H$ ， $H F$ ， $F G$ ， $G E$ ．
【问题探究】（1）当G，H分别是 $A D$ ， $B C$ 中点时，
①求证： $△ A G E ≌ △ C H F$ ；
②求证：四边形 $E G F H$ 是平行四边形；
③已知点E，F的速度均为每秒1个单位长度，运动时间为 $t (0 \leq t \leq 10)$ ，若四边形 $E G F H$ 为矩形，直接写出t的值；
【探究迁移】（2）如图2，在（1）的条件下，当G，H也以每秒1个单位长度的速度同时出发，分别向点D，B运动，若四边形 $E G F H$ 为菱形，求t的值．

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12、综合与实践

项目式学习：安全用电，防患未然
项目背景	近年来，随着电动自行车保有量不断增多，火灾风险持续上升．据悉，约 $80 %$ 的火灾都在充电时发生．某校八年级数学创新小组，开展以“安全用电，防患未然”为主题的项目式学习，对电动自行车充电车棚的消防设备进行研究．
素材1	调查分析：图1悬挂的是8公斤干粉灭火器，图2是其喷射截面示意图，在 $△ A O B$ 中， $O A = O B = 2 \sqrt{3}$ 米，喷嘴O到地面的距离 $O C = 3$ 米．
素材2	模型构建：由于干粉灭火器只能扑灭明火，不能扑灭电池内部的燃烧，在火灾发生时需要大量的水持续给电池降温，才能保证电池内部自燃熄灭，不会复燃．学校考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头，如图3，喷淋头喷洒的水柱最外层的形状为抛物线．学校的停车棚左侧靠墙建造，如图4，其截面示意图为矩形 $O A B C$ ，创新小组以点O为坐标原点，墙面 $O A$ 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知消防喷淋头的出水口M到墙面的水平距离为2米，到地面高度为 $2.5$ 米，即 $A M = 2$ 米， $O A = 2.5$ 米，水喷射到墙面D处，且 $O D = 0.5$ 米．
素材3	问题解决：已知车棚宽度 $O C$ 为8米，电动车的电池距离地面高度为 $0.2$ 米．创新小组想在喷淋头M的同一水平线 $A B$ 上加装一个喷淋头N，使消防喷淋头喷洒的水柱可以覆盖所有电动车电池．
任务解决
任务1	（1）求图2中地面有效保护直径 $A B$ 的长度；
任务2	（2）求该水柱外层所在抛物线的函数解析式；（3）按照此安装方式，喷淋头M的地面有效保护直径 $O E$ 为多少米？
任务3	（4）喷淋头N距离喷淋头M至少为多少米？

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13、如图，直线 $l_{1} : y = x + 1$ 与直线 $l_{2} : y = m x + n$ 相交于点 $P (1, b)$ ， $l_{1}$ ， $l_{2}$ 与y轴分别交于点A，B．

(1)、求b的值；

(2)、根据以上信息，直接写出关于x，y的方程组 $\{\begin{array}{l} y = x + 1 \\ y = m x + n \end{array}$ 的解；

(3)、当 $n = 3$ 时，求 $△ P A B$ 的面积．

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14、2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在八年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组）．调查数据如表：
女生
67
77
79
83
89
91
98
98
98
100
男生
64
65
82
83
86
100
100
100
100
100
根据上述数据，将下列表格补充完成．
整理、描述数据：
分析数据：
分数段
$x < 70$
$70 \leq x < 80$
$80 \leq x < 90$
$90 \leq x \leq 100$
性别
平均数
中位数
众数
女生
1
2
2
5
女生
88
90
98
男生
2
0
a
5
男生
88
b
100
得出结论：

(1)、上述图表中的 $a =$ ， $b =$ ；

(2)、根据以上分析，你认为是女生还是男生更喜欢《哪吒2》？请说明理由（一条即可）；

(3)、若八年级有300名女生和400名男生看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在 $90 \leq x \leq 100$ 组的人数是多少？

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15、如图，在 $△ A B C$ 中，D，E分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点，连接 $D E$ ．

(1)、尺规作图：作 $B C$ 的垂直平分线 $G F$ ，交 $B C$ 于点F．（不写做法，保留作图痕迹）

(2)、连接 $A F$ ， $D F$ ， $E F$ ．求证： $A F$ ， $D E$ 互相平分．

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16、（1）计算： $\sqrt{15} \div \sqrt{5} - \sqrt{18} \times \sqrt{\frac{2}{3}}$ ；
（2）解方程： $x^{2} + 4 x - 5 = 0$

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17、某商场销售一批玩具，进价为50元/件，售价为60元/件时，每月可售200件．根据市场调查发现，售价每涨1元，则每个月会少售出10件（售价不能高于72元/件）．则该种玩具的售价为元/件时，该商场每个月的利润最大．

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18、如图，测量三角形纸片的尺寸，点 $B$ ， $C$ 分别对应刻度尺上的刻度2和8， $D$ 为 $B C$ 的中点，若 $∠ B A C = 90 °$ ，则 $A D$ 的长为 $cm$ ．

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19、二次函数 $y = a x^{2} - 6 a x + 2$ 的图象上有 $A (a, y_{1})$ ， $B (4, y_{2})$ 两点．下列选项正确的是（）

A、当 $a < 0$ 时， $y_{1} < y_{2}$ B、当 $0 < a < 1$ 时， $y_{1} < y_{2}$ C、当 $1 < a < 2$ 时， $y_{1} < y_{2}$ D、当 $a > 2$ 时， $y_{1} > y_{2}$

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20、如图，分别以 $Rt △ A B C$ 的各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当 $A C = 8$ ， $B C = 6$ 时，“希波克拉底月牙”的面积是（）

A、18 B、 $4 \sqrt{10}$ C、24 D、48

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整理、描述数据：					分析数据：
分数段	$x < 70$	$70 \leq x < 80$	$80 \leq x < 90$	$90 \leq x \leq 100$	性别	平均数	中位数	众数
女生	1	2	2	5	女生	88	90	98
男生	2	0	a	5	男生	88	b	100