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1、太阳灶是利用凹面镜会聚光的性质把太阳能收集起来，用于做饭、烧水的一种器具. 目前应用最广泛的聚光式太阳造是利用镜面反射汇聚阳光，如图1，这种太阳灶的镜面设计，可以看成是抛物线绕其对称轴旋转一周所得的旋转抛物面，其原理是，如图2，若有一束平行光沿对称轴方向射向这个抛物面，则反射光线都会集中反射到一特殊点（即抛物线的焦点）的位置，于是形成聚光，达到加热的目的. 若抛物线的表达式为y=ax² ，则抛物线的焦点为 $(0, \frac{1}{4 a})$ .

(1)、已知在平面直角坐标系中，某款太阳灶抛物线的表达式为 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ ，则焦点的坐标是；

(2)、如图3，用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与y轴重合，顶点与原点重合，若太阳灶采光面的直径AB为1. 5米，凹面深度CD为0. 25米，求抛物线的表达式；

(3)、如图4，在（2）的条件下，MN为平行于y轴的入射光线，NF为反射光线，N为切点，F为焦点，当∠MNG=∠FNG=22. 5°时，求点N的横坐标；

(4)、如图5，在（1）的条件下，点E是焦点，α表示太阳灶边缘（最远程）反射光同对称轴的夹角，当α为45°时，求点B的坐标.

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2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，E为CD中点，过点C作CF∥AB交AE延长线于点F，连接BF.

(1)、证明：四边形DCFB为菱形；

(2)、AF与BC相交于点G，若AC=12，BF=10，求GC的长.

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3、在国家的“惠农政策”支持下，越来越多的农户将自己的农副产品销往全国各地. 河源市农户张先生将种植的百香果和金桔以箱为单位售卖. 已知2箱百香果和3箱金桔的价格为245元，1箱百香果和4箱金桔的价格为260元，百香果和金桔的成本价如表所示：
品名
百香果
金桔
成本/箱
30元
40元

(1)、求每箱百香果和每箱金桔的售价分别是多少元？

(2)、深圳某公司决定向农户张先生采购400箱水果（对水果种类没有特别要求）. 张先生目前仅有金桔和百香果各库存300箱，在只能整箱销售的情况下，张先生该如何搭配销售，在满足公司要求的情况下，获利最大.

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4、第四届全民阅读大会于2025年4月23日在山西太原开幕. 大会的主题是“培育读书风尚建设文化强国”. 某校借此机会举办了主题为“书香校园重读经典”的演讲比赛，满分为10分，得分均为整数，成绩达到6分及以上为合格，达到9分及以上为优秀. 从九年级一班和九年级二班各随机抽取10名同学的成绩，并进行整理.
数据整理：小晋将随机抽取的两个班级的成绩整理成如下统计图：
数据分析：小晋对两个班级的成绩进行了如下分析：
班级
平均数/分
中位数/分
众数/分
合格率
优秀率
九年级一班
7
6
b
90%
30%
九年级二班
7. 3
a
8
c
20%
根据上述信息回答下列问题：

(1)、填空：a= ， b= ， c=.

(2)、在所抽取同学的成绩中，每班成绩前50%的同学可以得到“阅读小能手”的称号. 被抽到的小张同学的成绩是7分，他没有得到“阅读小能手”的称号. 请你判断小张是哪个班级的同学，并说明理由.

(3)、请你结合表格中的信息，对两个班级的成绩进行评价. （写出两条即可）

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5、先化简，再求值： $(1 - \frac{2}{a + 1}) \div \frac{a^{2} - 2 a + 1}{a + 1}$ ，其中 $a = 1 + \sqrt{3}$ .

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6、计算： $| 3 - \sqrt{8} | + {(\frac{1}{3})}^{- 1} - 4 c o s 4 5^{°} - {(π - 2025)}^{0}$ .

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7、如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数y=ax与反比例函数 $y = \frac{2 - a}{x}$ 相交于点A和点B. 若A的横坐标为1，则B的坐标为.

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8、如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G，若∠ABE=140°，∠CDF=160°，则∠BGD的度数是（　　）

A、60° B、70° C、80° D、90°

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9、如图，在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A ， B ，并在圆弧上取点C ，连接AC ，则∠ACB的度数为（　　）

A、30° B、45° C、60° D、75°

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10、 DeepSeek是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务. 其活跃用户数在上线21天后达到了3370万. 将3370万用科学记数法表示为（　　）

A、33. 7×10⁶ B、3. 37×10⁶ C、3. 37×10⁷ D、0. 337×10⁷

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11、许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）. 某商场“飞梯”从2层直达5层，“飞梯”的截面如图，AB的长为50米，AB与AC的夹角为24°，则AC的长是（　　）

A、50cos24° B、50sin24° C、 $\frac{50}{c o s 24 °}$ D、 $\frac{50}{s i n 24 °}$

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12、下列运算正确的是（　　）

A、2a²b-a²b=a²b B、2a-a=2 C、3a²+2a²=5a⁴ D、2a+b=2ab

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13、某文具店经销甲、乙两款品牌的笔记本，今年二、三月份销售情况如下表所示：（甲、乙款种笔记本的销售单价保持不变）
月份
销售数量（本）
销售数量（本）
销售额（元）
甲款
乙款
二月份
40
20
880
三月份
20
40
800

(1)、求甲、乙两款笔记本的销售单价分别是多少元；

(2)、若甲款笔记本每本进价为10元，乙款笔记本每本进价为8元，文具店预计用不多于624元且不少于620元的资金购进这两款笔记本共70本，有几种进货方案；

(3)、为了促销甲款笔记本，文具店决定每售出一本甲款笔记本，返还顾客现金 $m$ 元，要使（2）中所有的方案获利相同，求 $m$ 的值．

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14、2025年，个人消费者购买单件销售价格不超过6000元的手机、平板电脑、智能手表（手环）三类数码产品，可享受政府的购新补贴．小路打算购买一部A品牌手机和一部B品牌平板电脑，一部B品牌平板电脑比一部A品牌手机便宜600元，已知该地区对A品牌手机每部补贴 $15 %$ ，对B品牌平板电脑每部补贴 $10 %$ ，若购买一部A品牌手机和一部B品牌平板电脑一共补贴740元，那么一部A品牌手机和一部B品牌平板电脑的销售价各是多少？

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15、燃气费由基本月租费、保险费和超额费组成．当燃气使用量不超过 $a m^{3}$ 时，当月需缴纳保险费3元和基本月租费b元；当燃气使用量超过 $a m^{3}$ 时，超出的部分还要按3.2元 $/ m^{3}$ 计费．小红家3月、4月的燃气使用量与缴费情况如下表，其中3月的燃气使用量未超过 $a m^{3}$ ．
月份
燃气使用量/ $m^{3}$
燃气费/元
3月
4
10
4月
20
58

(1)、求a，b的值；

(2)、已知小红家5月缴纳燃气费42元，那么她家这个月的燃气使用量为多少？

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16、如图，直线 $A B$ ， $C D$ 被 $E F$ ， $E G$ 所截， $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ ， $∠ 3 = (2 x + 10) °$ ， $∠ 4 = (3 x - 10) °$ ，求x的值，并在每一步后面添加括号，在括号内注明该步骤的依据．

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17、解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 (x + 1) - 4 > 0 ① \\ x - 6 \leq 3 x ② \end{array}$ ．

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18、解方程组 ${\begin{array}{l} 2 x - 5 y = 3 \\ - 4 x + y = - 3 \end{array}$ ．

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19、解方程：

(1)、 $2 - (4 - x) = 6 x - 2 (x + 1)$ ；

(2)、 $\frac{2 x - 1}{3} + 1 = \frac{x - 2}{2}$ ．

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20、若方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 的解为 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = - 1 \end{array}$ ，则方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} (x + 1) + b_{1} (y + 1) = c_{1} \\ a_{2} (x + 1) + b_{2} (y + 1) = c_{2} \end{array}$ 的解为．

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班级	平均数/分	中位数/分	众数/分	合格率	优秀率
九年级一班	7	6	b	90%	30%
九年级二班	7. 3	a	8	c	20%

月份	销售数量（本）	销售数量（本）	销售额（元）
月份	甲款	乙款	销售额（元）
二月份	40	20	880
三月份	20	40	800

品名	百香果	金桔
成本/箱	30元	40元

月份	燃气使用量/ $m^{3}$	燃气费/元
3月	4	10
4月	20	58