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相关试卷

1、综合与实践

在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．

【操作探究】

“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：

第 $1$ 步：如图 $1$ 所示，先将正方形纸片 $A B C D$ 对折，使点 $A$ 与点 $B$ 重合，然后展开铺平，折痕为 $E F$ ；

第 $2$ 步：将 $B C$ 边沿 $C E$ 翻折到 $G C$ 的位置；

第 $3$ 步：延长 $E G 交 A D$ 于点 $H$ ，则点 $H 为 A D$ 边的三等分点．

证明过程如下：连接 $C H$ ，

$∵$ 正方形 $A B C D 沿 C E$ 折叠，

$∴ ∠ D = ∠ B = ∠ C G H = 90 ° ， ①$ ▲ ，

又 $∵ C H = C H$ ，

$∴ △ C G H ≌ △ C D H$ ，

$∴ G H = D H$ ．

由题意可知 $E 是 A B$ 的中点，设 $A B = 6 ($ 个单位 $) ， D H = x$ ，则 $A E = B E = E G = 3$ ，

在 $R t △ A E H$ 中，可列方程： $②$ ▲ ， $($ 方程不要求化简 $)$

解得： $D H = ③$ ▲ ，即 $H 是 A D$ 边的三等分点．

“破浪”小组是这样操作的：

第 $1$ 步：如图 $2$ 所示，先将正方形纸片对折，使点 $A$ 与点 $B$ 重合，然后展开铺平，折痕为 $E F$ ；

第 $2$ 步：再将正方形纸片对折，使点 $B$ 与点 $D$ 重合，再展开铺平，折痕为 $A C$ ，沿 $D E$ 翻折得折痕 $D E 交 A C$ 于点 $G$ ；

第 $3$ 步：过点 $G$ 折叠正方形纸片 $A B C D$ ，使折痕 $M N / / A D$ ．

【过程思考】

(1)、“乘风”小组的证明过程中，三个空的所填的内容分别是

$①$ ：， $②$ ：， $③$ ：；

(2)、结合“破浪”小组操作过程，判断点

M

是否为

A B

边的三等分点，并证明你的结论；

(3)、【拓展提升】

如图 $3$ ，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 5 ， B D = 6 ， E 是 B D$ 上的一个三等分点，记点 $D$ 关于 $A E$ 的对称点为 $D'$ ，射线 $E D'$ 与菱形 $A B C D$ 的边交于点 $F$ ，请直接写出 $D' F$ 的长．

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2、【阅读理解】
若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的根均为整数，则称方程为“快乐方程” $.$ 通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式 $b^{2} - 4 a c$ 一定为完全平方数 $.$ 现规定 $F (a, b, c) = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ 为该“快乐方程”的“快乐数” $.$ 例如“快乐方程” $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ 的两根均为整数，其“快乐数” $F (1, - 3, - 4) = \frac{4 \times 1 \times (- 4) - (- 3)^{2}}{4 \times 1} = \frac{25}{4}$ ，若有另一个“快乐方程” $p x^{2} + q x + r = 0 (p \neq 0)$ 的“快乐数” $F (p, q, r)$ ，且满足 $r \cdot F (a, b, c) = c \cdot F (p, q, r)$ ，则称 $F (a, b, c) 与 F (p, q, r)$ 互为“开心数”．

(1)、 “快乐方程” $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的“快乐数”为；

(2)、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 m - 1) x + m^{2} - 2 m - 3 = 0 (m$ 为整数，且 $1 < m < 6)$ 是“快乐方程”，求 $m$ 的值，并求该方程的“快乐数”；

(3)、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - m x + m + 1 = 0 与 x^{2} - (n + 2) x + 2 n = 0 (m, n$ 均为整数 $)$ 都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，请直接写出 $m ， n$ 的值．

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3、如图，已知 $△ A B C$ 中， $D 是 B C$ 边上一点，过点 $D$ 分别作 $D E / / A C 交 A B$ 于点 $E$ ，作 $D F / / A B 交 A C$ 于点 $F$ ，连接 $A D$ ．

(1)、下列条件：
$① D 是 B C$ 边的中点；
$② A D 是 △ A B C$ 的角平分线；
$③ 点 E$ 与点 $F$ 关于直线 $A D$ 对称．
请从中选择一个能证明四边形 $A E D F$ 是菱形的条件，并写出证明过程．

(2)、若四边形 $A E D F$ 是菱形，且 $A E = 4 ， C F = 2$ ，求 $B E$ 的长．

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4、如图，平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别是 $A (1, - 1) 、 B (4, - 3) 、 C (4, - 1)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴成轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、在第一象限内，画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 以点 $O$ 为位似中心并扩大到原来的 $3$ 倍的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、写出点 $A_{2} 、 B_{2}$ 的坐标．

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5、某校在九年级随机抽取了 $20$ 名学生分成甲、乙两组，每组各 $10$ 人，进行“网络安全”知识竞赛 $.$ 把甲、乙两组的成绩进行整理分析 $($ 满分 $100$ 分，竞赛得分用 $x$ 表示： $90 \leq x \leq 100$ 为网络安全意识非常强， $80 \leq x < 90$ 为网络安全意识比较强， $x < 80$ 为网络安全意识一般 $) .$ 收集整理的数据制成了如下统计图表：

平均数
中位数
众数
甲组
$a$
$80$
$80$
乙组
$83$
$b$
$c$
根据以上信息回答下列问题：

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ；

(2)、已知该校九年级有 $500$ 人，估计九年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？

(3)、现在准备从甲乙两组满分人数中抽取两名同学参加全区比赛，用树状图或者列表法求抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率．

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6、解下列方程：

(1)、 $(x - 3)^{2} = 4 x (x - 3)$ ；

(2)、 $x^{2} + 8 x - 9 = 0$ ．

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7、大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美 $.$ 如图，点 $P 为 A B$ 的黄金分割点 $(A P > P B)$ ，如果 $A P$ 的长度为 $2 c m$ ，那么 $B P$ 的长度为 $c m .$ (结果保留根号)

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8、已知 $\frac{a}{b} = \frac{3}{2}$ ，那么 $\frac{a - b}{b}$ 等于．

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9、关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 有实数根，则 $k$ 的取值范围是( )

A、 $k \leq - \frac{9}{4}$ B、 $k \leq - \frac{9}{4} 且 k \neq 0$ C、 $k \geq - \frac{9}{4}$ D、 $k \geq - \frac{9}{4} 且 k \neq 0$

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10、下表是小聪同学开展项目化学习时填写了部分内容的记录表，

项目：测量小山坡的宽度.

活动：小山坡的宽度不能直接测量，可以借助一些工具，比如：皮尺，直角三角板，测角仪

标杆等，各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，再进行实地测量，得到具体数据，从而计算出小山坡的宽度.

成果：下面是小聪同学所在小组进行交流展示的部分项目研究内容：

项目

示意图

测量方案

测得数据

测量小山坡

的宽度AB

在小山坡外面的平地上找一点O，立一根标杆，然后再找到点C，D，使OC=OA.

OD =OB

OA=OC=200 m，OB=OD=250 m，CD =360 m

请你帮助小聪组完成下列任务.

(1)、任务1：王老师发现小聪组的测量方案有问题，请你帮助小聪组找到问题并完善测量方案.

(2)、任务2：完善方案后请你借助上述测量数据，计算小山坡的宽度AB，并说明理由

(3)、任务3：利用所学知识，请你再设计一个测量方案，并简要说明你的设计思路.

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11、如图，在△ABC中， ∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，点F，在BC上，使DF=AD.

(1)、求证：Rt△ADE≌Rt△FDC.

(2)、请判断CF，AB，BF之间的数量关系，并说明理由.

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12、如图，在ABC中，AB=AC， ∠ACB的平分线CD交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E

(1)、若∠A=48°，求∠CDE的度数.

(2)、若AB=6， △ADE的周长为10，求AD的长

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13、如图，点B，E，C，F在同一直线上，点A，D在直线BC的侧，AB=DF，AC=DE，BE=CF

(1)、证明： △ABC≌△DFE.

(2)、若∠A=75°. ∠B=45°，求∠COE的度数

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14、如图，已知Rt△ABC，请用直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹）

(1)、作斜边AB的中垂线m，垂足为 D.

(2)、在（1）中所得直线m上，求作一点P，使点P到AC所在直线的距离等于 PD.

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15、每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，ABC的顶点均在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系.

(1)、作出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁并写出点B₁的坐标.

(2)、直接写出AB与A₁B₁之间的位置关系

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16、在四边形ABCD中， ∠A， ∠B， ∠C的度数之比为2：3：5， ∠D=50°，求∠A的度数

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17、如图，在ABC中，AB，BC的垂直平分线DE，FG相交于点H，连接HA，HB，HC.

(1)、若∠BAH=23°， ∠CAH=40°，则∠HBC的度数为

(2)、若∠CAH=34°，则∠EHG的度数为

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18、如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4， △ABC的面积是12，AB的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F.若点D为BC的中点，点G为线段EF上一动点，则ABDG周长的最小值为

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19、如图，BD是△ABC的中线，CE是ABCD的中线，DF是△CDE的中线，若△ABC的面积为4.则△DEF 的面积为

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20、如图是边长均为1的小正方形网格，4，B，C，D均在格点上，则∠1+∠2=

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	平均数	中位数	众数
甲组	$a$	$80$	$80$
乙组	$83$	$b$	$c$