相关试卷

1、【阅读材料】
善于思考的小明在解方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + 5 y = 3 (1) \\ 4 x + 11 y = 5 (2) \end{array}$ 时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程 $(2)$ 变形： $4 x + 10 y + y = 5$ ，
即 $2 (2 x + 5 y) + y = 5 (3)$ ，把方程 $(1)$ 代入 $(3)$ 得： $2 \times 3 + y = 5$ ，所以 $y = - 1$ ，
将 $y = - 1$ 代入 $(1)$ 得 $x = 4$ ，所以原方程组的解为 ${\begin{array}{l} x = 4 \\ y = - 1 \end{array}$ ．
[解决问题]

(1)、模仿小明的“整体代换”法解方程组 ${\begin{array}{l} 3 x - 2 y = 5 \\ 9 x - 4 y = 19 \end{array}$ ，

(2)、已知x，y满足方程组 ${\begin{array}{l} 3 x^{2} - 2 x y + 12 y^{2} = 50 \\ x^{2} + x y + 4 y^{2} = 25 \end{array}$ ，求 $x^{2} + 4 y^{2}$ 的值．

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2、已知方程组 ${\begin{array}{l} 2 a - 3 b = 13 \\ 3 a + 5 b = 30.9 \end{array}$ 的解是 ${\begin{array}{l} a = 8.3 \\ b = 1.2 \end{array}$ ，则 ${\begin{array}{l} 2 (x - 2) = 13 + 3 (y + 1) \\ 3 (x - 2) = 30.9 - 5 (y + 1) \end{array}$ 的解是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 8.3 \\ y = 1.2 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 10.3 \\ y = 2.2 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = 6.3 \\ y = 2.2 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = 10.3 \\ y = 0.2 \end{array}$

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3、【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元”．所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元．
【方法引领】
用换元法解方程组： ${\begin{array}{l} \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 2, \\ \frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 4 \end{array}$ ．
分析：由于方程组中含有式子 $\frac{1}{x}$ 和 $\frac{1}{y}$ ，所以可设 $\frac{1}{x} = m ， \frac{1}{y} = n$ ．
原方程组可化为 ${\begin{array}{l} m + 2 n = 2 \\ 3 m + 2 n = 4 \end{array}$ ．
解得 ${\begin{array}{l} m = 1 \\ n = \frac{1}{2} \end{array}$ ，即 ${\begin{array}{l} \frac{1}{x} = 1 \\ \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \end{array}$ ．
进而可求得原方程组的解．
……
【问题解决】用换元法解决下列问题：

(1)、若关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} 3 x - m y = 5 \\ 2 x + n y = 6 \end{array}$ 的解是 ${\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array}$ ，则关于a，b的方程组 ${\begin{array}{l} 3 (a + b) - m (a - b) = 5 \\ 2 (a + b) + n (a - b) = 6 \end{array}$ 的解是；（直接写答案）

(2)、已知方程组 ${\begin{array}{l} 2^{x} + 3^{y} = 43 \\ 2^{x + 2} - 3^{y} = 37 \end{array}$ ，求x，y的值．

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4、方程组 ${\begin{array}{l} x + k y = 6 - k \\ x - 2 y = 0 \end{array}$ 有正整数解，则整数k的个数是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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5、关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} x + 3 y = 3 \\ x + k y = 3 + k \end{array}$ 的解为整数，则满足这个条件的整数k的个数有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、无数个

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6、已知关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y = - a + 1 \\ x - 3 y = 4 a + 6 \end{array}$ （ $a$ 是常数），若不论 $a$ 取什么实数，代数式 $k x - y$ （ $k$ 是常数）的值始终不变，则 $k =$ ．

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7、若关于 $x$ ， $y$ 的方程 $x + 2 y = 1$ ， $2 x - y = 7$ ， $k x - y = 4$ 有公共解，则k的值为．

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8、若方程组 ${\begin{array}{l} 2 x - y = 4 \\ a x + 3 y = 9 \end{array}$ 无解，则a的值为

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9、已知 $x$ ， $y$ 满足方程组 ${\begin{array}{l} x + 5 y = 6 \\ 3 x - y = 2 \end{array}$ ，则 $x + y$ 的值为．

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10、关于x、y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 2 x - 3 y = 5 - 4 m \\ 3 x + 4 y = m + 3 \end{array}$ 的解满足 $5 x + y = 5$ ，则m的值是．

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11、甲乙两名同学在解方程组 ${\begin{array}{l} a x + 5 y = 10 \\ 4 x - b y = - 4 \end{array}$ 时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - 1 \end{array}$ ；乙看错了方程组中的b，而得解为 ${\begin{array}{l} x = 5 \\ y = 4 \end{array}$ ．

(1)、甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？

(2)、请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．

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12、在解方程组 ${\begin{array}{l} a x - b y = 2 \\ c x + 7 y = 8 \end{array}$ 时，一同学把c看错而得到 ${\begin{array}{l} x = - 2 \\ y = 2 \end{array}$ ，正确的解应是 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 2 \end{array}$ ，那么 $a + b - c$ 的值是（）

A、不能确定 B、－3 C、－1 D、1

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13、若方程组 ${\begin{array}{l} 2 x + y = 5 \\ a x - b y = 4 \end{array}$ 与 ${\begin{array}{l} a x + b y = 8 \\ x - y = 1 \end{array}$ 有相同的解，则a，b的值为（）

A、 $a = 2$ ， $b = - 3$ B、 $a = 3$ ， $b = 2$ C、 $a = 2$ ， $b = 3$ D、 $a = 3$ ， $b = - 2$

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14、解方程组

(1)、 ${\begin{array}{l} 2 x - y = 5 \\ 7 x - 3 y = 20 \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} m - \frac{n}{2} = 2 \\ 2 m + 3 n = 12 \end{array}$

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15、用加减消元法解二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x + 3 y = 4 ① \\ 2 x - y = 1 ② \end{array}$ 时，下列方法中无法消元的是（）

A、①×2﹣② B、②×（﹣（3）﹣① C、①×（﹣（2）+② D、①﹣②×3

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16、解方程组：

(1)、 ${\begin{array}{l} x - y = 1 \\ 5 x + 2 y = 19 \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} \frac{x}{2} - \frac{y + 1}{3} = 1 \\ 3 x + 2 y = 10 \end{array}$

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17、

(1)、 ${\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 13 \\ 3 x + 1 = y + 4 \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} 5 x - y = 4 \\ \frac{x}{2} + 1 = \frac{y}{3} \end{array}$

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18、有 $48$ 支队 $520$ 名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队 $10$ 人，每支排球队 $12$ 人，每名运动员只能参加一项比赛．设篮球队有 $x$ 支参赛，排球队有 $y$ 参赛，则下面所列方程组正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} x + y = 520, \\ 10 x + 12 y = 48 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + y = 520, \\ 12 x + 10 y = 48 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + y = 48, \\ 10 x + 12 y = 520 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + y = 48, \\ 12 x + 10 y = 520 \end{array}$

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19、有一些苹果箱，若每个装苹果 $25 k g$ ，则剩余 $40 k g$ 苹果无处装，若每个装苹果 $30 k g$ ．则余20个空箱，这些苹果箱有（）

A、12个 B、60个 C、112个 D、128个

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20、某包装厂承接一批礼品盒制作业务，他们以规格200cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材按照截法一或截法二裁下A型与B型两种板材．如图甲（单位：cm）

(1)、列出方程（组），求出图甲中a与b的值．

(2)、若将625张标准板材用截法一裁剪，125张标准板材用截法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，刚好可以做成图乙的竖式与横式两种无盖礼品盒．求可以做竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？

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