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1、用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如：一元三次方程 $x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$ ，可以通过因式分解把它转化为 $x (x^{2} + x - 2) = 0$ ，解方程 $x = 0$ 和一元二次方程 $x^{2} + x - 2 = 0$ ，可得 $x_{1} = 0, x_{2} = 1, x_{3} = - 2$ ．如，解根号下含有未知数的方程 $\sqrt{x + 1} = 2$ ，可以通过方程两边平方把它转化为 $x + 1 = 4$ ．解 $x = 3$ ．再如求式子 $y = \frac{2 x^{2} - 3 x}{x^{2} + 2 x + 1}$ 的最小值，可以得 $y x^{2} + 2 y x + y = 2 x^{2} - 3 x$ ，整理得 $(y - 2) x^{2} + (2 y + 3) x + y = 0$ ，当 $y = 2$ 时， $7 x + 2 = 0, x = - \frac{2}{7}$ ；当 $y \neq 2$ ，方程有解，
$Δ = b^{2} - 4 a c = {(2 y + 3)}^{2} - 4 (y - 2) y = 20 y + 9 \geq 0$ ，即 $y \geq - \frac{9}{20}$ ，所以最小值为 $- \frac{9}{20}$ ．

(1)、解下列方程：
① $x^{3} - 3 x^{2} - 4 x = 0$ ，
② $\sqrt{2 x + 3} = x$

(2)、根据材料给你的启示，求函数 $y = \frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ 的最小值．

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2、材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a ，中斜为b ，大斜为c ，则三角形的面积为 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} c^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ，这个公式称之为秦九韶公式；
材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为a ， b ， c ，则它的面积为 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ，其中 $P = \frac{1}{2} (a + b + c)$ ，这个公式称之为海伦公式．
请解决下列问题：

(1)、若一个三角形边长依次为 $5 、 6 、 7$ ，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整．
解：∵一个三角形边长依次为 $5 、 6 、 7$ ，即 $a = 5$ ， $b = 6$ ， $c = 7$ ，
∴ $p = \frac{1}{2} (a + b + c) = \frac{1}{2} (5 + 6 + 7) =$ ．
根据海伦公式可得： $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} =$ ．

(2)、请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是 $\sqrt{5}$ ， $\sqrt{6}$ ， $\sqrt{7}$ ，求这个三角形的面积．

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3、化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{{(\sqrt{2})}^{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{1} = \sqrt{2} - 1$ ， $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，

(1)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ ，求 $3 a^{2} - 12 a - 1$ 的值；

(2)、比较 $\sqrt{2025} - \sqrt{2024}$ 与 $\sqrt{2024} - \sqrt{2023}$ 的大小，并说明理由．

(3)、利用这一规律计算： $\frac{1}{2 \sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}} + \frac{1}{4 \sqrt{3} + 3 \sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{2024 \sqrt{2023} + 2023 \sqrt{2024}}$ ．

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4、在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值，他是这样解答的；
$∵ a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ，
$∴ a - 2 = - \sqrt{3}$ ，
$∴ {(a - 2)}^{2} = 3$ ， $a^{2} - 4 a + 4 = 3$ ，
$∴ a^{2} - 4 a = - 1$ ．
$∴ 2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ ．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：

(1)、 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} =$ ；

(2)、化简： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{169} + \sqrt{168}}$ ；

(3)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ ，求 $a^{2} - 4 a + 3$ 的值．

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5、已知 $x = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ ， $y = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ ，

(1)、求 $x y$ 及 $x + y$ 的值；

(2)、求 $x^{2} - 3 x y + y^{2}$ 的值．

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6、

(1)、已知 $x = \sqrt{6} - \sqrt{3}$ ，求代数式 $x (\sqrt{6} - x) + (x + \sqrt{5}) (x - \sqrt{5})$ 的值．

(2)、若 $x$ 的小数部分是 $m, y$ 的小数部分是 $n$ ，求 ${(m + n)}^{2021} - \sqrt[3]{{(m - n)}^{3}}$ 的值．

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7、阅读例题： $\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{2 (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{2 (\sqrt{5} + \sqrt{3})}{2} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$ ，用上述类似的方法解答问题：若a是 $\sqrt{5}$ 的小数部分，则 $\frac{\sqrt{5}}{a}$ 的值为（）

A、 $5 + \sqrt{5}$ B、 $5 - \sqrt{5}$ C、 $5 + 2 \sqrt{5}$ D、 $5 - 2 \sqrt{5}$

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8、计算 $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{6} + \sqrt{8} + \sqrt{12}} + \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{6} - \sqrt{8} + \sqrt{12}}$ 的结果是（）

A、 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ C、1 D、2

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9、阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如： $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，

(1)、将 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ 分母有理化可得；

(2)、关于 $x$ 的方程 $3 x - \frac{1}{2} = \frac{1}{1 + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{97} + \sqrt{99}}$ 的解是．

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10、已知 $x = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ， $y = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ ，若x的整数部分是m ，y的小数部分是n ，则 $5 m^{2} + {(x - n)}^{2} - y$ 的值为．

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11、把式子分母有理化过程中，错误的是（）

A、 $\frac{m - n}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} = \frac{(m - n) (\sqrt{m} + \sqrt{n})}{(\sqrt{m} - \sqrt{n}) (\sqrt{m} + \sqrt{n})} = \sqrt{m} + \sqrt{n}$ B、 $\frac{m - n}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} = \frac{(\sqrt{m} + \sqrt{n}) (\sqrt{m} - \sqrt{n})}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} = \sqrt{m} + \sqrt{n}$ C、 $\frac{m - n}{\sqrt{m} + \sqrt{n}} = \frac{(m - n) (\sqrt{m} - \sqrt{n})}{(\sqrt{m} + \sqrt{n}) (\sqrt{m} - \sqrt{n})} = \sqrt{m} - \sqrt{n}$ D、 $\frac{m - n}{\sqrt{m} + \sqrt{n}} = \frac{(\sqrt{m} + \sqrt{n}) (\sqrt{m} - \sqrt{n})}{\sqrt{m} + \sqrt{n}} = \sqrt{m} - \sqrt{n}$

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12、若 $\sqrt{20}$ 与最简二次根式 $\frac{1}{3} \sqrt{3 - m}$ 是同类二次根式，则 $m$ 的值为．

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13、二次根式 $\sqrt{2 x^{2}}$ 、 $\sqrt{m^{2} - 2 m + 1}$ 、 $\sqrt{26 x y}$ 、 $\sqrt{\frac{1}{p - 1}}$ 中是最简二次根式的有个．

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14、在 $\sqrt{48}$ 、 $\sqrt{15}$ 、 $- \sqrt{28}$ 、 $\sqrt{\frac{3}{4}}$ 、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 、 $\sqrt[3]{2}$ 中，是最简二次根式的是．

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15、下列选项中的式子，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ B、 $\sqrt{243}$ C、 $\sqrt{36 m}$ D、 $\sqrt{m^{2} + 2}$

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16、计算

(1)、 $\sqrt{18} \times \sqrt{\frac{1}{2}} \div \sqrt{3}$

(2)、 $\sqrt{\frac{1}{4}} - \sqrt[3]{- 0.125} + \sqrt{{(- 4)}^{2}} - |- 6|$

(3)、 $\sqrt{18} + \frac{1}{6} \sqrt{72} - 4 \sqrt{\frac{1}{8}} \div 4 \sqrt{2}$

(4)、 $\frac{\sqrt{6} + 3}{\sqrt{3}} \times (\sqrt{3} - \sqrt{2})$

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17、计算：

(1)、 $- 1^{2024} + \sqrt{{(- 2)}^{2}} + \sqrt[3]{- 64} + | \sqrt{7} - 3 |$ ；

(2)、 ${(\sqrt{3} + \sqrt{2})}^{2} - (\sqrt{5} - 2) (\sqrt{5} + 2)$ ．

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18、计算：

(1)、 $\sqrt{12} - 6 \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{48}$

(2)、 $\sqrt{48} \div \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{12} - \sqrt{24}$

(3)、 ${(- \frac{1}{3})}^{- 2} + |1 - \sqrt{2}| + {(π - 2)}^{0} + \sqrt{8}$

(4)、 ${(2 \sqrt{3} - 1)}^{2} + (\sqrt{2} - 3) (\sqrt{2} + 3)$

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19、计算

(1)、 $5 - \sqrt{12} \times \sqrt{3}$

(2)、 $\frac{\sqrt{32} - \sqrt{8}}{\sqrt{2}}$

(3)、 $\sqrt{27} - \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{12}$

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20、计算：

(1)、 $\sqrt{1 \frac{2}{3}} \div \sqrt{2 \frac{1}{3}} \times \sqrt{1 \frac{2}{5}}$ ；

(2)、 $3 \sqrt{12} \times \sqrt{\frac{3}{2}} - \sqrt{8} + 2 \sqrt{32}$ ；

(3)、 $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + {(\sqrt{5} - 1)}^{2}$ ．

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