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1、数学探究小组在学习了不等式知识后开展对绝对值不等式的解集的探究，首先对 $|x| < 2$ 和 $|x| > 2$ 进行探究：
根据绝对值的意义，将不等式 $|x| < 2$ 的解集表示在数轴上（如图1），可得 $|x| < 2$ 的解集是： $- 2 < x < 2$ ；将不等式 $|x| > 2$ 的解集表示在数轴上（如图2），可得 $|x| > 2$ 的解集是： $x < - 2$ 或 $x > 2$ ．

根据以上探究，解答下列问题：

(1)、填空：不等式 $|x| < a$ （ $a > 0$ ）的解集为，不等式 $|x| > a$ （ $a > 0$ ）的解集为；

(2)、解不等式 $|x - 1| > 4$ ；

(3)、求不等式 $|x - 1| + |x + 2| < 5$ 的解集．

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2、若 $x, y$ 满足 $|x - 2 y + a| + {(x - y - 2 a + 1)}^{2} = 0$ ，且 $x - 3 y < - 1$ ，求 $a$ 的取值范围．

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3、若关于x的方程 $\frac{x - a}{2} = 1 - \frac{1 - x}{3}$ 的解大于 $2 x + 3 > 5 x + 1$ 的解，求a的取值范围．

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4、化简 $\frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 2 a + 1} \div \frac{a + 1}{a - 1} - \frac{a}{a - 1}$ ，再在不等式 $9 a - 10 \leq 0$ 的非负整数解中选取一个合适的解作为 $a$ 的取值，代入求值．

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5、当 $k =$ 时，不等式 $(k - 2023) x^{|k| - 2022} + 2 > 0$ 是关于x的一元一次不等式．

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6、若 $3 m - 5 x^{3 + m} > 4$ 是关于x的一元一次不等式，则m的值是．

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7、若 $(m + 1) x^{|m|} - 5 > 0$ 是关于 $x$ 的一元一次不等式，则 $m$ 的值为（）

A、0 B、 $\pm 1$ C、 $- 1$ D、1

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8、如果 $a > b$ ，那么下列各式一定成立的是（）

A、 $a + 1 < b + 1$ B、 $3 a < 3 b$ C、 $\frac{a}{2} > \frac{b}{2}$ D、 $a \leq b - c^{2}$

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9、在数学上用 $[a]$ 表示不大于 $a$ 的最大整数，例如： $[1.5] = 1$ ， $[2] = 2$ ， $[- 1.5] = - 2$ ．若 $[x] = 0$ ，则 $x$ 的取值范围为．

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10、若 $3$ 是不等式 $2 x - m > 5$ 的解， $- 2$ 不是不等式 $2 x - m > 5$ 的解，则 $m$ 的取值范围是；

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11、在 $0$ ， $3$ ， $4$ ， $6$ 四个数中，是不等式 $x + 1 > 5$ 的解．

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12、在 $- 3 < - 2 、 2 x + 7 y \leq 0 、 x = 3 、 x^{2} + 4 y^{2} 、 x + 2 < 5$ 中，不等式的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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13、据报道，某市2017年5月29日的最高气温是 $37 °$ ，最低气温是 $19 °$ ，则当天该市气温 $t$ （单位： $° C$ ）的变化范围是（）

A、 $t > 37$ B、 $t < 19$ C、 $19 < t < 37$ D、 $19 \leq t \leq 37$

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14、先化简，再求值： $(2 x + 3) (2 x - 3) - 4 x (x - 1) + {(x - 2)}^{2}$ 其中 $x = 5$ ．

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15、先化简，再求值： ${(2 x - 3 y)}^{2} - (2 x + y) (2 x - y)$ ，其中 $x = - \frac{1}{6}$ ， $y = - 2$ ．

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16、先化简，再求值： $(x + 2 y) (x - 2 y) + (x + y) (x^{2} - x + 4 y) - 3 x y$ ，其中 $x = - 1 ， y = 2$ ．

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17、计算

(1)、 $(3 x - 1) (2 x + 3) - {(- 3 x)}^{2}$ ；

(2)、 ${(2 a - b)}^{2} - 2 a (2 a - 3 b)$ ；

(3)、先化简，再求值： ${(x + 2 y)}^{2} - (x - 2 y) (- 2 y - x) - {(2 x)}^{2}$ ，其中 $x = - 3$ ， $y = \frac{1}{3}$ ．

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18、我们已学完全平方公式： $a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = (a \pm b)^{2}$ ，观察下列式子： $x^{2} + 4 x + 2 = (x^{2} + 4 x + 4) - 2 = (x + 2)^{2} - 2$ ，
$∵ (x + 2)^{2} \geq 0, ∴ x^{2} + 4 x + 2 = (x + 2)^{2} - 2 \geq - 2$ ，原式有最小值是 $- 2$ ；
$- x^{2} + 2 x - 3 = - (x^{2} - 2 x + 1) - 2 = - {(x - 1)}^{2} - 2$ ，
$∵ - (x - 1)^{2} \leq 0, ∴ - x^{2} + 2 x - 3 = - (x - 1)^{2} - 2 \leq - 2$ ，原式有最大值是 $- 2$ ；
并完成下列问题：

(1)、代数式 $x^{2} - 4 x + 1$ 有最（填大或小）值，这个值= ．

(2)、解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为 $x$ 米，完成下列任务．
①用含 $x$ 的式子表示花圃的面积；②请说明当 $x$ 取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？

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19、阅读以下材料：若 $x^{2} - 4 x + y^{2} - 10 y + 29 = 0$ ，求 $x 、 y$ 的值．
思路分析：一个方程求两个未知数显然不容易，考虑已知等式的特点，将其整理为两个完全平方式的和，利用其非负性转化成两个一元一次方程，进而求出 $x 、 y$ ．
解： $∵ x^{2} - 4 x + y^{2} - 10 y + 29 = 0$ ，
$∴ (x^{2} - 4 x + 4) + (y^{2} - 10 y + 25) = 0$ ， $∴ (x - 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 0$ ，
又 $(x - 2)^{2} \geq 0, (y - 5)^{2} \geq 0$ $∴ x = 2, y = 5$ ．
请你根据上述阅读材料解决下列问题：

(1)、若 $4 m^{2} - 8 m + n^{2} + 6 n + 13 = 0$ ，求 $m - 2 n$ 的值；

(2)、当 $a ， b ， c$ 分别取何值时，代数式 $a^{2} + 10 b^{2} + c^{2} - 6 a b - 4 b + 12 c + 63$ 有最小值？并求其最小值．

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20、已知 $(2023 + m) (2021 + m) = n$ ，则 ${(2023 + m)}^{2} + {(2021 + m)}^{2}$ 的值为（）

A、 $2 n$ B、 $2 n + 4$ C、 $2 n + 2$ D、 $2 {(n + 1)}^{2}$

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