相关试卷

1、已知二次函数 $y = m x^{2} - 2 m x + 3 (m \neq 0)$ ．
【特例分析】
（1）当 $m = - 2$ ， $- 1$ ， 2时，其图象对应为图中的 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ ，观察图象：发现二次函数 $y = m x^{2} - 2 m x + 3$ 恒过两个定点分别为______，______，对称轴为______；
【性质运用】
（2）将函数 $y = m x^{2} - 2 m x + 3$ 图象向下平移 $4 |m|$ 个单位，若所得图象的顶点落在 $x$ 轴上，求 $m$ 的值；
（3）已知点 $P (\frac{1}{2}, 6 - m)$ ， $Q (\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ ，线段 $P Q$ 与此函数图象有且只有一个公共点 $m$ 的取值范围为______．

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2、光的折射．

物理常识

光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向偏折的现象叫做光的折射．

当光从真空射入某种介质发生折射时，入射角 $α$ 的正弦与折射角 $β$ 的正弦之比（ $α$ ， $β$ 均为锐角），叫作这种介质的绝对折射率，简称折射率，用符号 $n$ 表示，即 $n = \frac{sin α}{sin β}$

【概念理解】

（1）如图①，若入射角 $α$ 的度数为 $60 °$ ，折射率 $n = \sqrt{3}$ ，求折射角 $β$ 的度数．

（2）如图②，直线 $l$ 是真空与某种介质的分界线，折射率 $n = 2$ ， $P A$ 是入射光线，点 $A$ 是入射点．在图②中，用直尺和圆规作出折射光线 $A Q$ ．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）

【深入思考】

（3）如图③，直线 $l$ 是真空与某种介质的分界线，折射率 $n = \frac{4}{3}$ ，直线 $l$ 上有一个位置固定的遮光板 $A B$ ，且 $M$ 是 $A B$ 的中点；在直线 $l$ 下方有一个圆形区域 $⊙ O$ ，且 $⊙ O$ 与 $A B$ 相切于点 $M$ ．点光源 $P$ 在直线 $l$ 的上方，经过遮光板 $A B$ 的遮挡，使得折射光线不能进入 $⊙ O$ 的内部，已知 $⊙ O$ 的半径为 $\sqrt{3}$ ， $A B = 2$ ．（假设入射光线在端点 $A$ ， $B$ 处能够发生折射），求点光源 $P$ 到直线 $l$ 的距离的最大值．

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3、太原首座斜拉桥——太原绕城高速公路西北环汾河矮塔斜拉桥，其主跨跨径为 $150$ 米，在同类矮塔斜拉桥结构中跨径为中国第一．某数学实践小组在查阅了斜拉桥的相关知识后，计划运用所学知识测量桥面上桥塔的高度，制定了如下方案：
【数据采集】：如图，点 $A$ 是桥塔顶部一点， $A B$ 即为桥塔的高度．无人机在桥塔上方点 $C$ 处时，测得桥塔顶部 $A$ 处的俯角 $∠ D C A = 37 °$ ，底部 $B$ 处的俯角 $∠ D C B = 59 °$ ，沿水平方向由点 $C$ 飞行 $56$ 米到达点 $D$ 处，在 $D$ 处测得 $A$ 处的俯角． $∠ D = 45 °$ ，已知图中各点均在同一竖直平面内；
【数据应用】：
（1）请根据以上数据求桥塔 $A B$ 的高度(结果精确到1米．参考数据： $sin 59^{\circ} \approx 0.86 ， cos 59^{\circ} \approx 0.52 ， tan 59^{\circ} \approx 1.66 ， sin 37 \approx 0.60 ， cos 37^{\circ} \approx 0.80 ， tan 37^{\circ} \approx 0.75$ )；
【方案反思】：
（2）某同学对该测量方案提出改进建议：考虑到现代无人机能实时显示点 $C$ 到水平地面 $E F$ 的距离，则可减少需要采集的数据，请直接写出原数据采集方案( $37 ° ， 59 °$ ， $56$ 米， $45 °$ ）中至多可以删减的数据为．

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4、如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = 2 x + 4$ 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于C，D两点，点C的坐标为 $(n ， 6)$ ．

(1)、求该反比例函数的表达式；

(2)、求点D的坐标；

(3)、当 $\frac{k}{x} > 2 x + 4$ 时，直接写出x的取值范围．

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5、如果一个四边形存在一条对角线把它分割成两个相似比不为1的相似三角形，那么就称这个四边形为“相似分割四边形”．如图，已知一个四边形 $A B C D$ 是“相似分割四边形”， $A B = A D$ ， $B C = 2 A D$ ， $A D ∥ B C$ ，那么该四边形最小内角的余弦值是．

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6、如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 、 $D$ 是 $⊙ O$ 上的两点，且 $A B ⊥ C D$ ，垂足为点 $H$ ，如果 $A H = C D = 8$ ，那么 $A O$ 的长为．

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7、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，如果 $B C = 5$ ， $A B = 13$ ，那么 $cos A =$ ．

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8、在锐角 $△ A B C$ 中， $∠ A 、 ∠ B 、 ∠ C$ 所对的边分别记为a、b、c，那么下列等式中，成立的是（）

A、 $c = a \cdot \sin A + b \cdot \sin B$ ； B、 $c = a \cdot \cos A + b \cdot \cos B$ ； C、 $c = a \cdot \sin B + b \cdot \sin A$ ； D、 $c = a \cdot \cos B + b \cdot \cos A$ ．

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9、许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．某商场“飞梯”从2层直达5层，“飞梯”的截面如图， $A B$ 的长为50米， $A B$ 与 $A C$ 的夹角为 $24 °$ ，则 $A C$ 的长是（）

A、 $50 \cos 24 °$ B、 $50 \sin 24 °$ C、 $\frac{50}{\cos 24 °}$ D、 $\frac{50}{\sin 24 °}$

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10、若点 $(4, - 3)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，则下列各点在该图象上的是（）

A、 $(6, 2)$ B、 $(4, 3)$ C、 $(- 4, - 3)$ D、 $(- 6, 2)$

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11、由特殊到一般、类比、转化是数学学习和研究中经常用到的思想方法．下面是对一道几何题进行变式探究的思路，请你运用上述思想方法完成探究任务，问题情境：已知 $∠ A C D = 90 °$ ， $M N$ 是过点 $A$ 的直线， $A C = D C$ ， $D B ⊥ M N$ 于点 $B$ ．
问题探究：

(1)、如图（1），直接写出 $B D 、 A B 、 C B$ 的数量关系_____；（提示：过点 $C$ 作 $C E ⊥ C B$ 于点 $C$ ，与 $M N$ 交于点 $E$ ）

(2)、当 $M N$ 绕 $A$ 旋转到如图（2）位置时， $B D$ 、 $A B$ 、 $C B$ 满足什么样的数量关系，请说明理由；

(3)、当 $M N$ 绕 $A$ 旋转到如图（3）位置时， $∠ B C D = 30 °$ ， $B D = \sqrt{2}$ ，求 $C D$ 和 $C B$ 的值．

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12、在同一平面直角坐标系中，已知 $x$ 轴上有两点 $A (t, 0)$ 和 $B (t + 2, 0)$ ，过这两点分别作垂线与某函数图象分别交于点 $C$ 和点 $D$ ，当 $A C + B D$ 有最小值时，此时 $A C$ 和 $B D$ 称为该函数的“虫洞”， $A C + B D$ 的最小值称为该函数的“虫洞距离”．

(1)、如图1为正比例函数 $y = x$ 的图象， $A C$ 和 $B D$ 是其“虫洞”．请你直接写出正比例函数 $y = x$ 当 $t \geq 0$ 时的“虫洞距离”为_____；

(2)、如图2是函数 $y = \frac{1}{4} x^{2} - 2 x + 5$ 的图象， $A E$ 和 $B F$ 是其“虫洞”，
①求函数 $y = \frac{1}{4} x^{2} - 2 x + 5$ 的“虫洞距离”；
②如图3，函数 $y = x$ 和函数 $y = \frac{1}{4} x^{2} - 2 x + 5$ 位于同一个平面直角坐标系，若两个函数的“虫洞距离”相等，求 $t$ 的值．

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13、黔西南州某中学为丰富学生课余生活，举办了“校园文化艺术节”，其中书法比赛设置一、二、三等奖若干名．已知获得一等奖的概率为0.1，获得二等奖的概率为0.2，获得三等奖的概率为0.3．

(1)、求未获奖的概率；

(2)、若该校有200名学生参加书法比赛，求获得一等奖的学生人数；

(3)、某班从甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取2人参加此次书法比赛，求刚好选中甲和丙两位同学的概率．

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14、已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $A (- 1, 0)$ 和 $B (3, 0)$ ，

(1)、求该二次函数的解析式及对称轴；

(2)、若点 $D$ 是该二次函数图象与 $y$ 轴的交点，点 $E$ 是第四象限内二次函数上的点（不与 $B$ 、 $D$ 重合），连接 $D E$ 、 $B D$ 、 $B E$ ，求 $△ B D E$ 面积的最大值．

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15、已知关于x的一元二次方程： $x^{2} + (m - 2) x - 2 m = 0$ ．

(1)、设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程的两个根，求 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ （用含m的式子表示）；

(2)、当 $m = - 3$ 时，此方程的两个根分别是菱形 $A B C D$ 两条对角线长，求菱形 $A B C D$ 的面积．

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16、黔西南州兴仁市是“中国薏仁米之乡”，薏仁米种植面积广、产量高、品质优.某电商平台销售兴仁薏仁米，已知每千克薏仁米的成本价为8元，售价为x元时，每天可卖出 $(100 - 5 x)$ 千克．

(1)、当售价定为每千克12元时，每天的利润是多少元？

(2)、设总利润为y元，求该电商平台定价为多少元时，每天的总利润y的值最大，最大值是多少元？

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17、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (2, 2)$ 、 $B (4, 1)$ 、 $C (3, 3)$ ，将 $△ A B C$ 绕原点 $O$ 旋转 $180 °$ 得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ．

(1)、在平面直角坐标系中画出 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，并写出点 $A^{'}$ 、 $B^{'}$ 、 $C^{'}$ 的坐标；

(2)、作 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 关于 $x$ 轴对称的 $△ A^{″} B^{″} C^{″}$ ，并写出 $C^{″}$ 的坐标．

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18、（1）解方程： $2 (x - 3) = 3 x (x - 3)$
（2）计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} - \sqrt{25} + {(π - 2024)}^{0} + |\sqrt{3} - 2|$

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19、将点 $P (2, - 3)$ 绕原点 $O$ 旋转 $180 °$ 后得到点 $P^{'}$ ，则点 $P^{'}$ 的坐标是．

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20、黔西南州适宜的气候吸引了大量游客，某商家为游客提供特色小吃，随机抽取了100名游客进行口味偏好调查，其中喜欢酸辣口味的有75人，若从所有游客中随机选取1人，估计该游客喜欢酸辣口味的概率为．

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