相关试卷

1、定义：在数轴上点M所表示的数是m，点 $M^{'}$ 所表示的数是 $\frac{2}{2 - m}$ ，则称点 $M^{'}$ 是点M的“伴随点”．已知点 $A_{2}$ 是点 $A_{1}$ 的伴随点，点 $A_{3}$ 是点 $A_{2}$ 的伴随点，点 $A_{4}$ 是点 $A_{3}$ 的伴随点…，以此类推，若点 $A_{1}$ 所表示的数为4，则点 $A_{2025}$ 所表示的数为（）．

A、4 B、 $- 1$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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2、如图，某同学用剪刀沿虚线将三角形剪掉一个角，发现四边形的周长比原三角形的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）

A、两点之间，线段最短 B、经过一点，有无数条直线 C、点动成线 D、经过两点，有且只有一条直线

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3、若下表中的x和y两个量成反比例关系，则a的值为（）
x
$- 3$
a
y
6
$- 9$

A、 $4.5$ B、 $- 4.5$ C、2 D、 $- 2$

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4、综合与实践

(1)、问题提出：
如图1，点E为等腰 $△ A B C$ 内一点， $A B = A C$ ，若另有一个以 $A D$ 、 $A E$ 为腰的等腰 $△ A E D$ 且 $∠ B A C = ∠ E A D$ ，求证： $△ A B E ≌ △ A C D$ ．

(2)、尝试应用：
如图2，点D为等腰 $Rt △ A B C$ 外一点， $A B = A C$ ， $B D ⊥ C D$ ，过点A的直线分别交 $D B$ 的延长线和 $C D$ 的延长线于点N、M， $B D$ 与 $A C$ 交于K，若 $∠ M = 60 °$ ， $∠ B A C = 90 °$ ．求证： $M C + N B = 2 A M$ ．

(3)、问题拓展：
如图3，P是 $△ A B C$ 内一点， $P A = P B$ ， D在 $B C$ 边上，连接 $P D$ ， $∠ P D B = ∠ P A B$ ，过P作 $P E ⊥ A C$ ，垂足为E，若 $∠ D P E + ∠ A P B = 180 °$ ， $A E = 6$ ，求 $E C$ 的长．

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5、“互联网+”助力乡村全面振兴．石家庄市某网络销售商在“双十一”举行促销活动，在11月11日销售甲、乙、丙三种农产品时，记录了如下统计信息：
信息1：乙商品销售单价比甲商品多5元/千克，丙商品销售单价是甲商品的3倍；
信息2：用270元购买丙商品的质量是用60元购买乙商品质量的3倍；

(1)、若设甲商品销售单价为 $x$ 元/千克，请依据上述信息填表；
销售单价（元/千克）
质量（千克）
销售总价（元）
乙
60元
丙
270元

(2)、求11月11日当天甲、乙、丙商品销售单价分别为多少元/千克？

(3)、“双十一”促销活动结束后，该销售商将三种商品的销售单价在（2）的基础上每千克提高了 $m$ 元（ $m$ 为整数且 $1 \leq m \leq 10$ ）．嘉嘉花200元购买甲商品，再花200元购买丙商品，琪琪花400元购买乙商品，设嘉嘉购买商品的质量之和为 $S_{1}$ ，设琪琪购买商品的质量为 $S_{2}$ ，直接写出 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ 的最大值．

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6、如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线 $A B$ 的两侧， $A E = B F$ ， $C E = D F$ ， $A D = B C$ ．

(1)、求证： $△ A C E ≌ △ B D F$ ．

(2)、若 $∠ C D F = 50^{°}$ ，求 $∠ A C E$ 的度数．

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7、先化简，再求值： $\frac{2}{m + 1} - \frac{m - 2}{m^{2} - 1} \div (1 - \frac{1}{m^{2} - 2 m + 1})$ ，其中 $m = 3$ ．

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8、计算、解方程：

(1)、 ${(- 1)}^{201} + {(- 3 + π)}^{0} + {(- \frac{1}{3})}^{- 2}$ ；

(2)、 $\frac{1}{x - 2} + 3 = \frac{1 - x}{2 - x}$ ．

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9、如图， $△ A B C$ 中 $∠ A C B = 90 °, A C = 4, B C = 3, A B = 5,$ $B P$ 平分 $∠ A B C$ ，点D、E分别是 $B C 、 B P$ 上不与端点重合的动点，连接 $C E, D E$ ，则 $C E + D E$ 的最小值为．

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10、若关于x的不等式组 $\{\begin{array}{l} x < a \\ x \geq - 1 \end{array}$ 至少有4个整数解，且关于y的分式方程 $\frac{3}{y - 2} + \frac{a}{2 - y} = 1$ 的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和是．

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11、若x满足 ${(2024 - x)}^{2} + {(2026 - x)}^{2} = 4042$ ，则 $(2024 - x) (2026 - x)$ 的值为．

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12、因式分解： $- x^{2} y + 2 x y - y =$ ________．

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13、如果一个等腰三角形顶角的外角是 $100 °$ ，那么它的底角的度数是．

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14、如图，在 $∠ A O B$ 中，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交边 $O A, O B$ 于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 长为半径画弧，两弧交于点C，作射线 $O C$ ．点P是 $O C$ 上任意一点， $P D ⊥ O A$ 于点D，点Q是边 $O B$ 上任意一点，连接 $P Q$ ．若 $P D = 6$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $P Q > 6$ B、 $P Q \geq 6$ C、 $P Q < 6$ D、 $P Q \leq 6$

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15、若关于x的分式方程 $\frac{x}{x - 1} - \frac{2 x - a}{1 - x} = \frac{1}{2}$ 有正数解，且关于y的不等式组 $\{\begin{array}{l} 2 (y - 1) - 3 (y + 2) > - 6 \\ \frac{y + a}{2} > 1 \end{array}$ 无解，则满足条件的所有整数a的个数是（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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16、如图，将 $△ A B C$ 沿 $B E$ （点 $E$ 在边 $A C$ 上）所在直线翻折，翻折后 $A B$ 的对应边 $A^{'} B$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，又将 $△ B C D$ 沿 $B A^{'}$ 所在直线翻折，翻折后点 $C$ 的对应点 $C^{'}$ 恰好落在 $B E$ 上，若 $∠ C = 79 °$ ， $∠ C^{'} D E = 32 °$ ，则原三角形中 $∠ A$ 的度数为（）

A、 $16 °$ B、 $18 °$ C、 $20 °$ D、 $22 °$

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17、小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息： $a - 1, x - y, 2, a^{2} + 1, x, a + 1$ 分别对应下列六个字：南，爱，我，数，学，河．现将 $2 x (a^{2} - 1) - 2 y (a^{2} - 1)$ 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）

A、我爱河南 B、爱河南 C、我爱学 D、河南数学

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 46 °$ ， $∠ C = 52 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点D， $D E ∥ A B$ 交 $A C$ 于点E，则 $∠ A D E$ 的度数是（）

A、 $45 °$ B、 $41 °$ C、 $44 °$ D、 $54 °$

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19、若关于x的分式方程 $\frac{2 a}{x + 2} = \frac{4}{x + 2} + 5$ 有增根，则 $a$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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20、下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{5} = a^{10}$ B、 $(a - b) (a + b) = a^{2} - a b + b^{2}$ C、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$ D、 $5 y^{2} \cdot 3 y^{3} = 15 y^{5}$

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	销售单价（元/千克）	质量（千克）	销售总价（元）
乙			60元
丙			270元