相关试卷

1、解不等式组： $\{\begin{cases} 2 (x - 1) \leq 6 \\ 3 - \frac{1}{2} x < 4 \end{cases}$

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2、如图，点D在等边三角形ABC边BC延长线上， $C D = A C = 2$ ，连接AD，则AD的长为．

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3、化简 $\frac{x}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x^{2} - 1} =$ ．

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4、单项式 $3 x y$ 的次数为．

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5、如图，在 $⊙ O$ 中， $O C = 6$ ， $O C ⊥ A B$ ， $∠ D = 30 °$ ，则 $\overset{⌢}{A C}$ 的长为（）

A、 $2 π$ B、 $3 π$ C、 $4 π$ D、 $6 π$

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6、如图，已知一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若 $A (- 2, 0)$ ， $B (0, 1)$ ，则关于x的方程 $k x + b = 0$ 的解为（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = 1$ C、 $x = - 2$ D、 $x = 2$

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7、如图， $△ A D E ∽ △ A B C$ ，若 $A D = 1$ ， $A B = 3$ ，则 $△ A D E$ 与 $△ A B C$ 的相似比是（）

A、 $1 ： 2$ B、 $1 ： 3$ C、 $1 ： 9$ D、 $1 ： 4$

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8、2025年春节热门电影有以下4部：《哪吒之魔童闹海》、《熊出没》、《封神第二部》、《唐探1900》．若小明看了其中一部，则这部影片是《唐探1900》的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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9、折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．
在正方形 $A B C D$ 中，点 $P$ 在射线 $A D$ 上，将正方形纸片 $A B C D$ 沿 $B P$ 所在直线折叠，使点A落在点 $E$ 处，连接 $C E$ ，直线 $C E$ 交 $B P$ 所在直线于点 $F$ ，连接 $A F$ ．
【观察猜想】
（1）如图1，当 $∠ A B P = 22.5 °$ 时， $∠ A F B =$ _____ $ °$ ．
【类比探究】
（2）如图2，正方形 $A B C D$ 的边长为4， $∠ A B P = α (0 ° < α < 90 °)$ ，连接 $A C$ ，取 $A C$ 的中点 $O$ ，连接 $O F$ ，求 $∠ A F B$ 的度数及线段 $O F$ 的长度．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，当 $△ A F C$ 被线段 $O F$ 分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段 $A P$ 的长度．

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10、同学们在操场上玩跳长绳的游戏，跳长绳时，绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线．如图，正在甩绳的甲、乙两名同学之间的水平距离 $O D$ 为 $6$ 米，到地面的距离 $A O$ 与 $B D$ 均为 $1$ 米，绳子甩到最高点 $C$ 处时，最高点距地面的垂直距离为 $2.5 m$ ，以点 $O$ 为原点建立如图所示的平面直角坐标系．

(1)、求出绳子甩到最高处时抛物线的函数表达式；

(2)、如果身高为 $1.70 m$ 的小明站在 $O D$ 之间，当绳子甩到最高处，小明站在距离点 $O$ 的水平距离为 $1.5 m$ 时，绳子是否能刚好甩过他的头顶上方 $0.6 m$ ？请说明理由；

(3)、现在老师要举行集体跳长绳比赛，比赛时各队跳绳 $10$ 人，摇绳 $2$ 人，共计 $12$ 人．某班挑选出身高都为 $1.60 m$ 的 $10$ 个同学参加跳绳．跳长绳比赛时，采用一路纵队的方式安排学生位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少 $0.5 m$ ，那么该班同学以一路纵队的方式站在地面上时，为了能顺利完成比赛（绳子超过头顶），左边第一位同学跑离点 $O$ 的水平距离 $d$ 的取值范围？请说明理由．

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11、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于H，过 $C D$ 延长线上一点E作 $⊙ O$ 的切线交 $A B$ 的延长线于F，切点为G，连接 $A G$ 交 $C D$ 于K．

(1)、求证： $K E = G E$ ；

(2)、若 $A C ∥ E F$ ，试判断线段 $K G$ 、 $K D$ 、 $G E$ 间的数量关系，并说明理由；

(3)、在（2）的条件下，若 $\sin E = \frac{3}{5}$ ， $A K = 2 \sqrt{5}$ ，求 $F G$ 的长．

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12、解下列方程：

(1)、 ${(x + 1)}^{2} = 2 (x + 1)$

(2)、 $\frac{x - 2}{x - 4} - 2 = \frac{x}{x - 4}$

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13、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $A C = B C = 3$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，将边长为1的正方形 $B D E F$ 绕点B旋转一周，连结 $A E$ ，点M为 $A E$ 的中点，连结 $F M$ ，则线段 $F M$ 的最大值为．

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14、我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（）

A、 $\{\begin{array}{l} y = x + 4.5 \\ 0.5 y = x - 1 \end{array}$ B、 $\{\begin{matrix} y = x - 4.5 \\ 0.5 y = x - 1 \end{matrix}$ C、 $\{\begin{array}{l} y = x + 4.5 \\ y = 2 x - 1 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} y = x - 4.5 \\ y = 2 x - 1 \end{array}$

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15、如图，烧杯内液体表面 $A B$ 与烧杯下底部 $C D$ 平行，光线 $E F$ 从液体中射向空气时发生折射，变为 $F H$ ，点G在射线 $E F$ 上，已知 $∠ H F B = 15 ° ， ∠ F E D = 50 °$ ，则 $∠ G F H$ 的度数为（　　）

A、 $15 °$ B、 $20 °$ C、 $35 °$ D、 $45 °$

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16、【综合与实践】
【问题背景】阅读以下材料，并按要求解决问题：
从正方形的一个顶点引出来角为 $4 5^{°}$ 的两条射线，与正方形两个边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可以利用旋转得出多个几何结论，例如：
如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的 $∠ E A F = 4 5^{°}$ ， AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点，若BE=a，DF=b，EF=c(a，b，c为常数).易证：EF=BE+FD，则可以得到a，b，c之间的数量关系是：c=a+b.
证明：如图2，将 $△ A D F$ 绕点A顺时针旋转 $9 0^{°}$ ，得到 $△ A B G$ ，由 $∠ G B E = 18 0^{°}$ 可得G、B、E三点共线， $∠ C A E = ∠ E A F = 4 5^{°}$ ，可证明 $△ A E G ≅ △ A E F$ ，故EF=GE=BE+DF，进而得到c=a+b.
【方法转化】如果把背景中的正方形换成特殊项角的等腰三角形，同学们可以利用上述问题背景得到多个结论.

(1)、【问题解决】在半角模型中可以利用旋转的方法解决问题.
如图3，在等腰 $R t △ A B C$ 中，以A为顶点的 $∠ D A E = 4 5^{°}$ ， AD、AE与BC边分别交于D、E两点，将 $△ A D B$ 绕点A逆时针旋转 $9 0^{°}$ ，如图4，得到 $△ A C F$ ，易证 $∠ E C F = 9 0^{°}$ ， $△ A D E ≅ △ A F E$ ，则可以得到BD、DE、CE之间的数量关系：
① 若 $B D = 3$ ， $C E = 4$ ，则可得DE=
② 若 $B D = a$ ， $C E = b$ ， $D E = c$ ，则a，b，c之间的数量关系是：

(2)、如图5，在等边 $△ A B C$ 中，以A为顶点的 $∠ D A E = 3 0^{°}$ ， AD、AE与BC边分别交于D、E两点.若 $B D = a$ ， $C E = b$ ， $D E = c$ ，则a、b、c之间的数量关系是：

(3)、如图6，在等腰 $△ A B C$ 中，顶角 $∠ B A C = 12 0^{°}$ ，以A为顶点的 $∠ D A E = 6 0^{°}$ ， AD、AE与BC边分别交于D、E两点，则可以得到BD、DE、CE之间的数量关系：
① 若 $B D = 3$ ， $C E = 4$ ，则可得DE=
② 若 $B D = a$ ， $C E = b$ ， $D E = c$ ，则a、b、c之间的数量关系是：

(4)、【实践应用】
在第(3)问第①小问基础上，把 $△ A B D$ 绕点A逆时针旋转 $12 0^{°}$ 得 $△ A C F$ ，如图7，如果线段EF与边AC交于点G，则线段CG=

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17、平移是初中数学中的重要图形变换之一，其特点是保持图形形状、大小不变，仅改变位置.
我们先以抛物线 $C_{1} ： y = x^{2}$ 为例，对平移变换做了以下研究：把抛物线 $C_{1} ： y = x^{2}$ 先向右平移1个单位，再向下平移4个单位得到抛物线 $C_{2}$ ，抛物线 $C_{2}$ 与x轴交于A，B两点，其对称轴与x轴交于点D.

(1)、抛物线 $C_{2}$ 的表达式为：.

(2)、如图 1，抛物线 $C_{1}$ ： $y = x^{2}$ 与抛物线 $C_{2}$ 的交点 C 的坐标为： $C$ .抛物线 $C_{2}$ 与 x 轴交于 A， B 两点，线段 AB =.

(3)、平移求解（参考图 1、图 2）
① 如果把线段 AB 平移，线段的一个端点落在抛物线 $C_{2}$ 的对称轴上记作点 E，另一个端点落在抛物线 $C_{2}$ 上记作点 F，则点 F 坐标为：F
② 如果把线段 DB 平移，线段一个端点落在抛物线 $C_{1}$ 上记作点 G，另一个端点落在抛物线 $C_{2}$ 上记作点 H，则点 H 的横坐标为：

(4)、对于直线 $l_{1} : y = x$ ，通过对其上下平移可得直线 $l_{2} : y = x + b$ ，如果直线 $l_{2}$ 恰好与抛物线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 共有三个交点，则 b 的值为：

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18、如图， $⊙ O$ 为 $△ A B C$ 的外接圆， $A B = A C$ ， D是 $⊙ O$ 上一点

(1)、请只用无刻度的直尺完成作图（保留作图痕迹，不写作法）.
①画出线段BC的垂直平分线
②画出 $∠ B D C$ 的平分线

(2)、已知， $A B = 6$ ， $B C = 4$ ，求 $⊙ O$ 的半径.

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19、深圳市罗湖区作为深圳最早发展的城区之一，融合了自然景观、历史文化、现代都市风貌，有很多知名景区，比如“仙湖植物园”、“梧桐山”、“洪湖公园”、“东门老街”等.请同学们认真阅读以下材料，并完成相关的学习任务：
材料一：2025年“五一”劳动节假期，大批深圳市民进入“仙湖植物园”观光游玩，据统计，5月4日上午8：00-10：00有接近4200人乘坐私家车和客车两种交通工具进入仙湖植物园停车场，根据停车场监控统计，在此段时间内私家车和客车共320辆进入，假如每辆私家车平均乘坐3人，客车平均每辆乘坐30人.
材料二：某学校计划五一过后，组织学校720名师生到“仙湖植物园”研学，一共租甲、乙两种型号的客车20辆，根据下表提供的信息要求在保证将全部师生送达目的地的前提下，租车费用不超过7200元.
型号
每辆载客量
每辆租金
甲型号
30
320
乙型号
45
400
请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成（1），（2）任务.

(1)、请同学们估算材料一中提供的时间段内分别有多少辆私家车和客车进入停车场.

(2)、有几种租车方案供学校选择？最少租车费用是多少？

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20、为丰富学生的校园生活，增强学生的美育意识，某校开设了五个社团活动：美食共享（A）、书法创作（B）、绘画给美（C）、音乐之声（D）、经典诗词（E），每个学生每个学期只参加一个社团活动，为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图. 请根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)、将条形统计图补充完整；

(2)、在扇形统计图中，美食共享（A）对应扇形的圆心角度数是；

(3)、若该校有1800名学生，请估算本学期参加音乐之声（D）活动的学生人数；

(4)、若小明和小亮可从这五个社团活动中任选一个参加，请直接写出两人恰好选择同一个社团的概率.

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型号	每辆载客量	每辆租金
甲型号	30	320
乙型号	45	400