相关试卷

1、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ， D为直线 $B C$ 上的动点，过点B作 $B E ⊥$ 射线 $A D$ 于点E，若 $\frac{A E}{A D} = \frac{1}{2}$ ，则 $B E$ 的长为．

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2、如图，一次函数 $y = - x + 5$ 与坐标轴交于A，B两点，将线段 $O B$ 以点O为中心逆时针旋转一定角度，点B的对应点落在第二象限的点C处，且 $△ O B C$ 的面积为 $10$ ．

(1)、求点C的坐标及直线 $B C$ 的表达式；

(2)、在坐标平面内存在点 $P (m, - 1)$ 使得 $S_{△ B C P} = 6$ ，请求出点P的坐标；

(3)、在直线 $A B$ 上存在点D，使 $△ B C D$ 中有一个内角是 $45 °$ ，请求出点D的坐标．

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3、先化简，再求值： $(\frac{a}{a - b} - \frac{a^{2}}{a^{2} - 2 a b + b^{2}})$ ÷ $(\frac{a}{a + b} - \frac{a^{2}}{a^{2} - b^{2}})$ +1，其中a= $\frac{2}{3}$ ， b = –3．

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4、（1）分解因式： ${(a^{2} + b^{2})}^{2} - 4 a^{2} b^{2}$ ；
（2）解方程： $\frac{x}{x - 2} - 1 = \frac{6}{x^{2} - 4}$ ．

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5、如图， $D E$ 是 $△ A B C$ 的中位线， $∠ A C B$ 的平分线交 $D E$ 于点F，若 $A C = 4$ ， $B C = 12$ ，则 $D F$ 的长为．

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6、若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x}{x - 3} + \frac{k}{3 - x} = 4$ 有增根，则 $k =$ ．

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7、如图， $△ A C D$ 和 $△ A E B$ 都是等腰直角三角形， $∠ C A D = ∠ E A B = 90^{\circ}$ ，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，下列结论中错误的是（）

A、 $△ A C E$ 以点 $A$ 为旋转中心，逆时针方向旋转 $90^{\circ}$ 后与 $△ A D B$ 重合 B、 $△ A C B$ 以点 $A$ 为旋转中心，顺时针方向旋转 $270^{\circ}$ 后与 $△ D A C$ 重合 C、沿 $A E$ 所在直线折叠后， $△ A C E$ 与 $△ A D E$ 重合 D、沿 $A D$ 所在直线折叠后， $△ A D B$ 与 $△ A D E$ 重合

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8、若 $x^{2} - x - 2 = 0$ ，则 $\frac{x^{2} - x + 2 \sqrt{3}}{{(x^{2} - x)}^{2} - 1 + \sqrt{3}}$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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9、下列各式从左到右的变形正确的是（）

A、 $\frac{x - \frac{1}{2} y}{\frac{1}{2} x + y} = \frac{2 x - y}{x + 2 y}$ B、 $\frac{0.2 a + b}{a + 0.2 b} = \frac{2 a + b}{a + 2 b}$ C、 $\frac{x + 1}{x - y} = \frac{x - 1}{x - y}$ D、 $\frac{a + b}{a - b} = \frac{a - b}{a + b}$

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10、下列因式分解中，错误的是（）

A、 $1 - 9 x^{2} = (1 + 3 x) (1 - 3 x)$ B、 $a^{2} - a + \frac{1}{4} = {(a - \frac{1}{2})}^{2}$ C、 $- m x + m y = - m (x + y)$ D、 $a x - a y - b x + b y = (a - b) (x - y)$

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11、综合与探究：在几何探究问题中，经常需要通过作辅助线（如连接两点、过某点作垂线、作延长线、作平行线等）把分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．

(1)、【操作判断】如图①，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $C D$ ， $B C$ 上，连接 $A E$ ， $A F$ ， $∠ E A F = 45 °$ ，连接 $E F$ ，探索线段 $D E$ ， $B F$ ， $E F$ 之间的数量关系．
小军的思路：过点 $A$ 作 $A G ⊥ A E$ 交 $C B$ 的延长线于点 $G$ ，易证 $△ A B G ≌ △ A D E$ ，从而 $∠ G A F = ∠ E A F$ ， $A G = A E$ ，可得 $△ A E F ≌ △ A G F$ ，即可求解．
根据小军的思路，在图①中补全图形，请写出线段 $D E$ ， $B F$ ， $E F$ 之间的数量关系，并说明理由；

(2)、【问题探究】如图②，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $C D$ ， $B C$ 的延长线上，连接 $A E$ ， $A F$ ， $∠ E A F = 45 °$ ，连接 $E F$ ，探索线段 $D E$ ， $B F$ ， $E F$ 之间的数量关系，并说明理由；

(3)、【拓展延伸】如图③，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 12$ ， $A D = 16$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在射线 $D C$ ， $C B$ 上，连接 $A E$ ， $A F$ ，已知 $∠ E A F = 45 °$ ， $B F = 4$ ，求线段 $D E$ 的长．

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12、2024年第33届巴黎奥运会上我国网球选手郑钦文荣获女子单打冠军，创造了历史，各地迅速掀起网球训练热潮．某网球训练营教练自制了一种网球发球器，已知该发球器的网球出口 $C$ 离地竖直高度 $O C = 1.5$ 米．如图，网球在最大力量和最小力量发射出去的路线可以抽象为两条抛物线的一部分，矩形 $M N P Q$ 为初学者的接球区域，其中 $M Q = 1$ 米， $M N = 0.5$ 米，最小力量发球得到的抛物线可以看作由最大力量发球得到的抛物线向左平移得到，最大力量发球得到的抛物线最高点 $D$ 离出球口的水平距离为2米，高出出球口0.5米．

(1)、求最大力量时网球发射的抛物线的函数表达式，并求出网球的最大射程 $O A$ ；

(2)、求最小力量时网球发射出的最大射程 $O B$ ；

(3)、要使初学者能接住发球器发出的网球（即发出的网球能落在接球区域 $M N P Q$ 中），请求出初学者距发球器的水平距离 $O M$ 的取值范围．

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13、如图， $⊙ O$ 为 $△ A B C$ 的外接圆，且 $A B = A C$ ， $B D$ 是 $⊙ O$ 的直径，过点 $A$ 作 $A E ⊥ B D$ 于点 $E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ，连接 $A D$ ．

(1)、写出图中一个与 $∠ C$ 相等的角；

(2)、判断 $△ A B F$ 的形状，并说明理由；

(3)、若 $A F = 2$ ， $B E = \sqrt{3}$ ，求 $D E$ 的长．

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14、定滑轮的功能是改变力的方向，当牵引重物时，可使用定滑轮将施力方向转变为容易出力的方向．某班“综合与实践”小组的同学发现校园内工人师傅利用定滑轮运输物体．于是，他们把“测量定滑轮距地面的高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成了如下活动报告：

课题	测量定滑轮距地面的高度（忽略定滑轮的大小）
测量工具	测角仪、皮尺等
测量示意图		说明：小组成员站在 $A$ 处，拉动绳子，使得物体移动，且点 $A$ ， $B$ ， $B^{'}$ ， $C$ ， $C^{'}$ ， $O$ 均在同一竖直平面内， $A$ ， $C$ ， $C^{'}$ 在同一直线上
测量数据	绳子与水平面的夹角	物体的高度 $B C$	物体移动后，绳子收回的长度
	物体移动前物体移动后	$0.5 m$	$4.5 m$
	…

请根据活动报告，求定滑轮 $O$ 距地面的高度．（结果精确到 $1 m$ ，参考数据： $sin 37 ° \approx 0.60$ ， $cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75$ ， $sin 53 ° \approx 0.80$ ， $cos 53 ° \approx 0.60$ ， $\tan 53 ° \approx 1.33$ ）

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15、某市区通过绘制城市主题“文化墙”来弘扬中华优秀传统文化．为确保任务按时完成，现安排甲、乙两支队伍进行城市主题墙绘制作业．已知甲队比乙队平均每人每天多绘制 $4$ 平方米，且甲队每人绘制 $40$ 平方米所用时间与乙队每人绘制 $20$ 平方米所用时间相同．

(1)、甲队和乙队平均每人每天各绘制多少平方米？

(2)、该市安排甲、乙两队共 $15$ 人同时进行主题墙绘制作业，为确保每天完成超过 $94$ 平方米的绘制任务，至少要安排甲队人员多少人？

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16、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = B C$ ， $A E ⊥ B D$ ， $C F ⊥ B D$ ，垂足分别为 $E$ ， $F$ ， $A E = C F$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是平行四边形；

(2)、若 $A E = 5$ ， $E F = 2$ ， $D F = 10$ ，求四边形 $A B C D$ 的周长．

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17、2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，某校为了解本校学生的视力情况，随机抽取了部分学生，对他们的视力情况进行问卷调查，根据问卷结果，绘制成如下统计图，请根据相关信息，解答下列问题：

调查问卷

以下问题均为单选题，请根据实际情况填写：

1．你近视的度数 $x$ （度）为（）

A． $0 \leq x < 100$ B． $100 \leq x < 200$ C． $200 \leq x < 300$ D． $300 \leq x < 400$ E． $x \geq 400$

2．你近视的主要原因是什么？

a．先天遗传 b．过度使用电子产品 c．长期在过明或过暗的环境下用眼

d．距离书本太近或躺着看书 e．作息不规律或睡眠不足 f．户外活动时间太短 g．其他

(1)、参与本次调查的学生共有_______人，选择近视的主要原因是“过度使用电子产品”的学生有_______人；

(2)、若该校学生共有2000人，估计全校近视度数不低于100的学生有多少人？

(3)、请结合以上数据，写出一条你获取的信息．

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18、如图，一次函数 $y = a x - 2$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于 $A (3, 1)$ ， $B$ 两点．

(1)、求一次函数 $y = a x - 2$ 和反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的表达式；

(2)、将线段 $A B$ 沿着 $x$ 轴向左平移 $m (m > 0)$ 个单位长度，当线段 $A B$ 的中点恰好落在反比例函数的图象上时，求 $m$ 的值．

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19、（1）计算： $\sqrt{18} - 2 sin 45 ° + {(\frac{1}{2})}^{0}$ ；
（2）先化简，再求值： $(\frac{3}{x} - 1) \div \frac{9 - x^{2}}{x}$ ，其中 $x = 4$ ．

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20、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $∠ B = 60 °$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $B C$ 上一点，连接 $D E$ ， $D F$ ， $E F$ ，若 $D E ⊥ E F$ ，且 $∠ D F E = 60 °$ ，则 $E F$ 的长为．

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