相关试卷

1、为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意（如图2），测得底座高 $A B$ 为 $2 cm$ ， $∠ A B C = 150 °$ ，支架 $B C$ 为 $18 cm$ ，面板长 $D E$ 为 $24 cm$ ， $C D$ 为 $6 cm$ $． ($ 厚度忽略不计)

(1)、求支点C离桌面l的高度 $C F$ 为多少？（结果保留根号）

(2)、当面板 $D E$ 绕点C转动时，面板与桌面的夹角 $α$ 满足 $30 ° \leq α \leq 70 °$ 时，保护视力的效果较好．当 $α$ 从 $30 °$ 变化到 $70 °$ 的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了多少？ $($ 结果精确到 $0.1 cm$ ，参考数据： $sin 70 ° \approx 0.94$ ， $cos 70 ° \approx 0.34$ ， $tan 70 ° \approx 2.75$ ）

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2、小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示两组运动共消耗热量70千卡．

(1)、小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？

(2)、小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？

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3、项目式学习：“碳达峰”与“碳中和”是两个与全球气候变化紧密相关的概念．为了考察初中生对全球气候变化基础知识的了解程度，某校组织了一次测试，并将得分结果量化为0至100之间的分数，然后分别随机抽取了三个年级各10名学生的得分数据如下：
【收集整理】
七年级得分数据：60，65，70，70，70，70，85，85，95， $100$ ；
八年级得分数据：70、75，80，85，85，90，90，90，95， $100$ ；
九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95、100，100，
【描述分析】
（1）七、八、九年级学生得分的平均数、中位数、众数如表：

平均数
中位数
众数
七年级
a
70
70
八年级
86
$87.5$
c
九年级
85
b
80
直接写出 $a =$ ______， $b =$ ______， $c =$ ______．
【分析解决】
（2）关于学生的全球气候变化基础知识的掌握程度，请依据 $(1)$ 中的数据分析结果，任选一个角度，对三个年级的学生做出评价．

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4、如图， $O A$ 为 $⊙ O$ 的半径， $B M$ 为 $⊙ O$ 的直径，直线l与 $⊙ O$ 相切于点 $A ．$

(1)、请用无刻度的直尺和圆规过点O作线段 $B M$ 的垂线，交直线l于点 $C ($ 要求：不写作法，保留作图痕迹 $) ．$

(2)、在（1）的条件下，连接 $A B$ ，若 $∠ A B O = 20 °$ ，则 $∠ O C A$ 的度数为______．

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5、解不等式组： $\{\begin{cases} 2 (x - 1) \leq 6 \\ 3 - \frac{1}{2} x < 4 \end{cases}$

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6、如图，点D在等边三角形ABC边BC延长线上， $C D = A C = 2$ ，连接AD，则AD的长为．

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7、化简 $\frac{x}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x^{2} - 1} =$ ．

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8、单项式 $3 x y$ 的次数为．

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9、如图，在 $⊙ O$ 中， $O C = 6$ ， $O C ⊥ A B$ ， $∠ D = 30 °$ ，则 $\overset{⌢}{A C}$ 的长为（）

A、 $2 π$ B、 $3 π$ C、 $4 π$ D、 $6 π$

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10、如图，已知一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若 $A (- 2, 0)$ ， $B (0, 1)$ ，则关于x的方程 $k x + b = 0$ 的解为（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = 1$ C、 $x = - 2$ D、 $x = 2$

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11、如图， $△ A D E ∽ △ A B C$ ，若 $A D = 1$ ， $A B = 3$ ，则 $△ A D E$ 与 $△ A B C$ 的相似比是（）

A、 $1 ： 2$ B、 $1 ： 3$ C、 $1 ： 9$ D、 $1 ： 4$

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12、2025年春节热门电影有以下4部：《哪吒之魔童闹海》、《熊出没》、《封神第二部》、《唐探1900》．若小明看了其中一部，则这部影片是《唐探1900》的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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13、折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．
在正方形 $A B C D$ 中，点 $P$ 在射线 $A D$ 上，将正方形纸片 $A B C D$ 沿 $B P$ 所在直线折叠，使点A落在点 $E$ 处，连接 $C E$ ，直线 $C E$ 交 $B P$ 所在直线于点 $F$ ，连接 $A F$ ．
【观察猜想】
（1）如图1，当 $∠ A B P = 22.5 °$ 时， $∠ A F B =$ _____ $ °$ ．
【类比探究】
（2）如图2，正方形 $A B C D$ 的边长为4， $∠ A B P = α (0 ° < α < 90 °)$ ，连接 $A C$ ，取 $A C$ 的中点 $O$ ，连接 $O F$ ，求 $∠ A F B$ 的度数及线段 $O F$ 的长度．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，当 $△ A F C$ 被线段 $O F$ 分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段 $A P$ 的长度．

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14、同学们在操场上玩跳长绳的游戏，跳长绳时，绳子甩到最高处的形状可以近似的看作抛物线．如图，正在甩绳的甲、乙两名同学之间的水平距离 $O D$ 为 $6$ 米，到地面的距离 $A O$ 与 $B D$ 均为 $1$ 米，绳子甩到最高点 $C$ 处时，最高点距地面的垂直距离为 $2.5 m$ ，以点 $O$ 为原点建立如图所示的平面直角坐标系．

(1)、求出绳子甩到最高处时抛物线的函数表达式；

(2)、如果身高为 $1.70 m$ 的小明站在 $O D$ 之间，当绳子甩到最高处，小明站在距离点 $O$ 的水平距离为 $1.5 m$ 时，绳子是否能刚好甩过他的头顶上方 $0.6 m$ ？请说明理由；

(3)、现在老师要举行集体跳长绳比赛，比赛时各队跳绳 $10$ 人，摇绳 $2$ 人，共计 $12$ 人．某班挑选出身高都为 $1.60 m$ 的 $10$ 个同学参加跳绳．跳长绳比赛时，采用一路纵队的方式安排学生位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少 $0.5 m$ ，那么该班同学以一路纵队的方式站在地面上时，为了能顺利完成比赛（绳子超过头顶），左边第一位同学跑离点 $O$ 的水平距离 $d$ 的取值范围？请说明理由．

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15、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于H，过 $C D$ 延长线上一点E作 $⊙ O$ 的切线交 $A B$ 的延长线于F，切点为G，连接 $A G$ 交 $C D$ 于K．

(1)、求证： $K E = G E$ ；

(2)、若 $A C ∥ E F$ ，试判断线段 $K G$ 、 $K D$ 、 $G E$ 间的数量关系，并说明理由；

(3)、在（2）的条件下，若 $\sin E = \frac{3}{5}$ ， $A K = 2 \sqrt{5}$ ，求 $F G$ 的长．

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16、解下列方程：

(1)、 ${(x + 1)}^{2} = 2 (x + 1)$

(2)、 $\frac{x - 2}{x - 4} - 2 = \frac{x}{x - 4}$

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17、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $A C = B C = 3$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，将边长为1的正方形 $B D E F$ 绕点B旋转一周，连结 $A E$ ，点M为 $A E$ 的中点，连结 $F M$ ，则线段 $F M$ 的最大值为．

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18、我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（）

A、 $\{\begin{array}{l} y = x + 4.5 \\ 0.5 y = x - 1 \end{array}$ B、 $\{\begin{matrix} y = x - 4.5 \\ 0.5 y = x - 1 \end{matrix}$ C、 $\{\begin{array}{l} y = x + 4.5 \\ y = 2 x - 1 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} y = x - 4.5 \\ y = 2 x - 1 \end{array}$

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19、如图，烧杯内液体表面 $A B$ 与烧杯下底部 $C D$ 平行，光线 $E F$ 从液体中射向空气时发生折射，变为 $F H$ ，点G在射线 $E F$ 上，已知 $∠ H F B = 15 ° ， ∠ F E D = 50 °$ ，则 $∠ G F H$ 的度数为（　　）

A、 $15 °$ B、 $20 °$ C、 $35 °$ D、 $45 °$

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20、【综合与实践】
【问题背景】阅读以下材料，并按要求解决问题：
从正方形的一个顶点引出来角为 $4 5^{°}$ 的两条射线，与正方形两个边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可以利用旋转得出多个几何结论，例如：
如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的 $∠ E A F = 4 5^{°}$ ， AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点，若BE=a，DF=b，EF=c(a，b，c为常数).易证：EF=BE+FD，则可以得到a，b，c之间的数量关系是：c=a+b.
证明：如图2，将 $△ A D F$ 绕点A顺时针旋转 $9 0^{°}$ ，得到 $△ A B G$ ，由 $∠ G B E = 18 0^{°}$ 可得G、B、E三点共线， $∠ C A E = ∠ E A F = 4 5^{°}$ ，可证明 $△ A E G ≅ △ A E F$ ，故EF=GE=BE+DF，进而得到c=a+b.
【方法转化】如果把背景中的正方形换成特殊项角的等腰三角形，同学们可以利用上述问题背景得到多个结论.

(1)、【问题解决】在半角模型中可以利用旋转的方法解决问题.
如图3，在等腰 $R t △ A B C$ 中，以A为顶点的 $∠ D A E = 4 5^{°}$ ， AD、AE与BC边分别交于D、E两点，将 $△ A D B$ 绕点A逆时针旋转 $9 0^{°}$ ，如图4，得到 $△ A C F$ ，易证 $∠ E C F = 9 0^{°}$ ， $△ A D E ≅ △ A F E$ ，则可以得到BD、DE、CE之间的数量关系：
① 若 $B D = 3$ ， $C E = 4$ ，则可得DE=
② 若 $B D = a$ ， $C E = b$ ， $D E = c$ ，则a，b，c之间的数量关系是：

(2)、如图5，在等边 $△ A B C$ 中，以A为顶点的 $∠ D A E = 3 0^{°}$ ， AD、AE与BC边分别交于D、E两点.若 $B D = a$ ， $C E = b$ ， $D E = c$ ，则a、b、c之间的数量关系是：

(3)、如图6，在等腰 $△ A B C$ 中，顶角 $∠ B A C = 12 0^{°}$ ，以A为顶点的 $∠ D A E = 6 0^{°}$ ， AD、AE与BC边分别交于D、E两点，则可以得到BD、DE、CE之间的数量关系：
① 若 $B D = 3$ ， $C E = 4$ ，则可得DE=
② 若 $B D = a$ ， $C E = b$ ， $D E = c$ ，则a、b、c之间的数量关系是：

(4)、【实践应用】
在第(3)问第①小问基础上，把 $△ A B D$ 绕点A逆时针旋转 $12 0^{°}$ 得 $△ A C F$ ，如图7，如果线段EF与边AC交于点G，则线段CG=

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	平均数	中位数	众数
七年级	a	70	70
八年级	86	$87.5$	c
九年级	85	b	80