相关试卷

1、
【问题提出】
如果一个整数的所有数位之和能被3整除，那么这个整数就能被3整除．
【问题探究】
以四位数为例，设 $\bar{a b c d}$ 是一个四位数，若 $a + b + c + d$ 可以被3整除，则这个数可以被3整除．
这个结论的论证过程表述如下：
$\bar{a b c d} = 1000 a + 100 b + 10 c + d = (999 a + 99 b + 9 c) + (a + b + c + d)$ ．显然 $(999 a + 99 b + 9 c)$ 能被3整除，因此，若 $(a + b + c + d)$ 能被3整除，则 $\bar{a b c d}$ 就能被3整除．
【类比探究】
判断一个三位数 $\bar{a b c}$ 能否被7整除，先采用归纳的策略，列举一些简单的三位数，发现如下特征：
三位数
能否被7整除
特征
133
能
$13 - 2 \times 3 = 7$ ， 7能被7整除
224
能
$22 - 2 \times 4 = 14$ ， 14能被7整除
294
能
$29 - 2 \times 4 = 21$ ， 21能被7整除
148
不能
$14 - 2 \times 8 = - 2$ ， $- 2$ 不能被7整除
（1）根据以上探究过程，提出猜想：一个三位数 $\bar{a b c}$ ，如果________可以被7整除，那么 $\bar{a b c}$ 就能被7整除；
（2）证明这个猜想的正确性．
【拓展应用】
结论可以推广到任意正整数：假设该正整数的个位数字是 $b$ ，除个位数字外的部分用 $a$ 表示，推理过程与上面相同，依然能得到当 $a - 2 b$ 是 $7$ 的倍数时，原数能被 $7$ 整除；
（3）①若一个正数 $m$ 能被 $7$ 整除， $m$ 的最后三位数为 $256$ ，求 $m$ 的最小值．
②四位数 $\bar{1 a b 9}$ ，既能被 $3$ 整除，也能被 $7$ 整除，直接写出 $a$ 与 $b$ 之间满足的关系．

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2、为响应第四届全民阅读大会“培育读书风尚，建设文化强国”的号召，并落实教育部等八部门关于深入实施青少年学生读书行动的要求，佛山市大力推进“书香校园”建设．某校数学实践小组围绕“我最喜爱的佛山文化读物”主题，对全校学生进行抽样调查，以了解学生们对本地特色文化书籍的阅读偏好．调查的读物类型包括：“ $A$ 美食文化类（如《寻味顺德》）”“ $B$ 龙舟/武术文化类”“ $C$ 香云纱/粤剧文化类”“ $D$ 佛山少儿绘本类”和“ $E$ 其他类”．调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图．
根据调查信息，回答下列问题：

(1)、本次调查共抽查了________名学生， $m$ 的值为________；

(2)、补全条形统计图；

(3)、若全校共有 $2000$ 名学生，估计该校最喜爱“龙舟/武术文化类”图书的学生有多少名？

(4)、假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议．

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3、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D是 $B C$ 的中点，以A为圆心的圆过点D．

(1)、求证： $B C$ 与 $⊙ A$ 相切；

(2)、若 $A B = 10$ ， $\sin B = \frac{1}{2}$ ，求阴影部分的面积．

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4、体育强则中国强，总书记对体育强国的建设始终高度重视，某校积极响应号召，组织班级篮球比赛．在比赛中，一名 $1.8$ 米的运动员，从A点跳离地面高度 $0.2$ 米时，球在头顶 $0.25$ 米处B点出手，当篮球运行的水平距离为 $2.5$ 米时，达到最大高度 $3.5$ 米，然后准确落入篮筐中心C点．已知篮筐中心到地面的距离为 $3.05$ 米，篮球在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．

(1)、请在图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式；

(2)、在三分线外投篮得3分，在三分线内投篮得2分．已知三分线与篮筐中心的水平距离为 $6.75 m$ ，请通过计算判断运动员此次投篮的得分．

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5、如图， $A C$ 是平行四边形 $A B C D$ 的一条对角线．

(1)、实践与操作：用尺规作图法作对角线 $A C$ 的垂直平分线，交 $A B$ 于点E，交 $C D$ 于点F；（保留作图痕迹，不要求写作法）

(2)、应用与证明：在（1）的条件下，连接 $C E 、 A F$ ，求证：四边形 $A E C F$ 是菱形．

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6、计算： $\sqrt[3]{27} - {(\frac{1}{2})}^{- 1} - |- 3| + {(- 1)}^{2026}$ ．

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7、将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边 $A C$ 上，记为点 $B^{'}$ ，折痕为 $E F$ ，已知 $A B = A C = 10$ ， $B C = 15$ ， $B^{'} F ∥ A B$ ，那么 $A B^{'}$ 的长度是．

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8、商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现，当销售价为3000元时，平均每天能售出10台，当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想扩大销量，并使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱应降价元．

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9、不解方程，判断一元二次方程 $2 x^{2} + 5 = 7 x$ 的根的情况是．

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10、若点 $(0, y_{1})$ ， $(2, y_{2})$ ， $(3, y_{3})$ 都在二次函数 $y = - {(x - 2)}^{2} + c$ 的图象上，则（）

A、 $y_{1} > y_{2} > y_{3}$ B、 $y_{2} > y_{1} > y_{3}$ C、 $y_{2} > y_{3} > y_{1}$ D、 $y_{3} > y_{1} > y_{2}$

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11、一元一次不等式组 $\{\begin{array}{l} 2 x - 2 > 0 \\ 3 - x < - 1 \end{array}$ 的解集为（）

A、 $1 < x < 4$ B、 $x > 1$ C、 $x > 4$ D、 $- 4 < x < - 1$

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12、物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．化学老师制作了四张卡片，四张卡片除正面图案外其余都相同．把这4张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上．小明从中随机抽取一张，则抽取的卡片上图案是“化学变化”的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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13、如图，将一个含 $30 °$ 角的直角三角板，按如图所示的位置摆放在直尺上，若 $∠ 1 = 27 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $120 °$ B、 $123 °$ C、 $150 °$ D、 $153 °$

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14、广东省统计局的相关数据显示，2025年上半年广东林业产值为254.6亿元，数据254.6亿用科学记数法表示为（）

A、 $2.546 \times 10^{9}$ B、 $2.546 \times 10^{10}$ C、 $25.46 \times 10^{10}$ D、 $2.546 \times 10^{11}$

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15、下列城市地铁标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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16、我国魏晋时期的数学家刘徽在为《九章算术》作注时指出：对两个得失相反的量，要以正、负加以区别．可以用红筹表示正，用黑筹表示负．如三个红筹表示 $+ 3$ ，则五个黑筹表示（）

A、 $- 5$ B、0 C、 $+ 5$ D、 $+ 10$

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17、数学兴趣小组在数学活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

(1)、【观察与猜想】
如图1，在正方形 $A B C D$ 中， $E, F$ 分别是 $A B, A D$ 上的两点，连接 $D E, C F$ ，若 $D E ⊥ C F$ ，求证： $△ A D E ≌ △ D C F$ ；

(2)、如图2，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 7$ ， $C D = 4$ ， $E$ 是 $A D$ 上的一点，连接 $C E, B D$ ，若 $C E ⊥ B D$ ，请求出 $\frac{C E}{B D}$ 的值；

(3)、【类比探究】
如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ B = 90 °$ ， $E$ 为 $A B$ 上一点，连接 $D E$ ，过点 $C$ 作 $C G ⊥ D E$ 交 $E D$ 的延长线于点 $G$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $F$ ，求证： $\frac{D E}{C F} = \frac{A D}{A B}$ ；

(4)、【拓展延伸】
如图4，在 $R t △ A B D$ 中， $∠ B A D = 90 °$ ， $A D = 15$ ，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 翻折， $A$ 落在 $C$ 处，得到 $△ C B D$ ， $F$ 为线段 $A D$ 上一动点，连接 $C F$ ，作 $D E ⊥ C F$ ，交直线 $A B$ 于E ，垂足为 $G$ ，连接 $A G$ ．若 $\frac{D E}{C F} = \frac{5}{4}$ ，直接写出 $A G$ 的最小值．

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18、请根据以下素材，完成探究任务．

汉服承载着华夏民族数千年的礼仪衣冠体系，其“交领右衽”“天人合一”的设计理念，凝结了东方美学的智慧结晶．从盛唐气象到宋明风韵，不同形制的演变映射着时代精神风貌．今有某传统服饰工坊，以匠心复刻唐制齐胸襦裙之飘逸、宋制褙子之雅致、明制袄裙之端庄，邀您共探传统工艺与现代经营的数学奥秘．

制定汉服加工方案

生产背景

背景1

（1）某汉服工坊安排60名工匠承接订单，主打三类经典形制：唐制·齐胸襦裙（象征开放包容的盛世气度）、宋制·褙子套装（体现简约理性的文人审美）、明制·袄裙（彰显严谨庄重的礼制规范）；

（2）根据非遗技艺要求，每位工匠每日仅能专精一种类型：唐制人均日产3套，宋制人均日产2套，明制人均日产1套；

（3）客户合同约定：宋制汉服至少交付15套；明制与唐制产能需严格匹配，按套数 $1 : 1$ 供应高端团购单．

背景2

当前市场行情下各款式获利情况如下：

①唐制布料成本低和走量销售，单套净利润30元；

②明制采用云锦面料和手工镶边，单套净利润90元；

③宋制实行差异化定价：当每日生产15套时，每套获利120元；在此基础上，每多生产1套，平均每套获利减少3元．

信息整理

现规划x名匠人主攻宋制，y名匠人负责唐制，其余匠人负责明制，列表如下：

汉服类型	加工人数	人均日产量/套	单套净利润/元
唐制	y	3	30
宋制	x	2
明制		1	90

探究任务

(1)、任务1：探寻变量关系

根据合同约束，求x ， y之间的数量关系．

(2)、任务2：建立数学模型

设该汉服工坊每日总利润为W元，求W关于x的函数表达式．

(3)、任务3：拟定最优方案

确定使每日总利润最大的分配方案．

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19、如图1，四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = 60 °$ ， $A (0, a)$ ， $B (b, 0)$ ， $C (c, 0)$ ，且 $| b + c | + \sqrt{a - 2 \sqrt{3}} = 0$ ．

(1)、求 $A B$ 的长；

(2)、点 $M$ 在 $B D$ 上运动， $△ A M N$ 为等边三角形．
①如图2，求证： $N D = M C$ ，并直接写出 $N D$ 的最小值；
②如图3，当点 $N$ 在 $A D$ 的上方时，求点 $N$ 的横坐标．

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20、小舟同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树 $A B$ 的高度，已知大树与地面垂直，他在点 $C$ 处测得大树顶端 $A$ 的仰角为 $45 °$ ，再从 $C$ 点出发沿斜坡走 $\sqrt{10}$ 米到达斜坡上 $D$ 点，在点 $D$ 处测得树顶端 $A$ 的仰角为 $37 °$ ，若斜坡 $C F$ 的坡度 $i$ （即 $t a n ∠ E C F$ ）为 $1 : 3$ （点E ， C ， B在同一水平线上）．

(1)、求小刚同学从点 $C$ 到点 $D$ 的过程中上升的高度；

(2)、求大树 $A B$ 的高度．（参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60$ ， $c o s 37 ° \approx 0.80$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ）

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三位数	能否被7整除	特征
133	能	$13 - 2 \times 3 = 7$ ， 7能被7整除
224	能	$22 - 2 \times 4 = 14$ ， 14能被7整除
294	能	$29 - 2 \times 4 = 21$ ， 21能被7整除
148	不能	$14 - 2 \times 8 = - 2$ ， $- 2$ 不能被7整除