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1、如图，已知点A、B、C依次在 $⊙ O$ 上， $∠ A B O = 40 °$ ，则 $∠ C$ 的度数为（）

A、 $70 °$ B、 $60 °$ C、 $50 °$ D、 $40 °$

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2、下列说法正确的是（）

A、任意两个矩形都相似 B、反比例函数图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 C、方程 $x^{2} - 2 x = x - 5$ 有实数根 D、甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等

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3、如图小明在点C处测得树顶端A 的仰角为α，且 $B C = 10$ 米，则树高度 $A B$ 为（）米．

A、 $\frac{10}{tan α}$ B、 $10 \tan α$ C、 $10 \sin α$ D、 $\frac{10}{sin α}$

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4、下列运算正确的是（）

A、 $2 m \cdot m = 2 m^{2}$ B、 $m^{2} - m = m$ C、 ${(2 m^{2})}^{3} = 6 m^{6}$ D、 $(m + 1) (m - 1) = 1 - m^{2}$

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5、下列图形中，对称轴最多的是（）

A、 B、 C、 D、

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6、下列数中，比 $\sqrt{3}$ 大的实数是（）

A、 $- 2$ B、0 C、3 D、 $\sqrt{2}$

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7、砚台与笔、墨、纸是传统的文房四宝．如题3图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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8、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = - 3 x + 6$ 分别交x轴、y轴于点C、B，直线 $y = x + b$ 与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．

(1)、如图1，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、如图2，作 $O E ⊥ A B$ 于点E，延长 $E O$ 交直线 $B C$ 于点D，请在平面内找一点P，使得以P、D、B、E为顶点的四边形是平行四边形，直接写出这样的点P的坐标；

(3)、如图3，在（2）的条件下，点F在线段 $O A$ 上，点G在线段 $O B$ 上，若 $∠ F G O = 2 ∠ A E F$ ， $F G = 6$ ，求点F的坐标．

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9、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ， D为直线 $B C$ 上的动点，过点B作 $B E ⊥$ 射线 $A D$ 于点E，若 $\frac{A E}{A D} = \frac{1}{2}$ ，则 $B E$ 的长为．

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10、如图，一次函数 $y = - x + 5$ 与坐标轴交于A，B两点，将线段 $O B$ 以点O为中心逆时针旋转一定角度，点B的对应点落在第二象限的点C处，且 $△ O B C$ 的面积为 $10$ ．

(1)、求点C的坐标及直线 $B C$ 的表达式；

(2)、在坐标平面内存在点 $P (m, - 1)$ 使得 $S_{△ B C P} = 6$ ，请求出点P的坐标；

(3)、在直线 $A B$ 上存在点D，使 $△ B C D$ 中有一个内角是 $45 °$ ，请求出点D的坐标．

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11、先化简，再求值： $(\frac{a}{a - b} - \frac{a^{2}}{a^{2} - 2 a b + b^{2}})$ ÷ $(\frac{a}{a + b} - \frac{a^{2}}{a^{2} - b^{2}})$ +1，其中a= $\frac{2}{3}$ ， b = –3．

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12、（1）分解因式： ${(a^{2} + b^{2})}^{2} - 4 a^{2} b^{2}$ ；
（2）解方程： $\frac{x}{x - 2} - 1 = \frac{6}{x^{2} - 4}$ ．

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13、如图， $D E$ 是 $△ A B C$ 的中位线， $∠ A C B$ 的平分线交 $D E$ 于点F，若 $A C = 4$ ， $B C = 12$ ，则 $D F$ 的长为．

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14、若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x}{x - 3} + \frac{k}{3 - x} = 4$ 有增根，则 $k =$ ．

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15、如图， $△ A C D$ 和 $△ A E B$ 都是等腰直角三角形， $∠ C A D = ∠ E A B = 90^{\circ}$ ，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，下列结论中错误的是（）

A、 $△ A C E$ 以点 $A$ 为旋转中心，逆时针方向旋转 $90^{\circ}$ 后与 $△ A D B$ 重合 B、 $△ A C B$ 以点 $A$ 为旋转中心，顺时针方向旋转 $270^{\circ}$ 后与 $△ D A C$ 重合 C、沿 $A E$ 所在直线折叠后， $△ A C E$ 与 $△ A D E$ 重合 D、沿 $A D$ 所在直线折叠后， $△ A D B$ 与 $△ A D E$ 重合

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16、若 $x^{2} - x - 2 = 0$ ，则 $\frac{x^{2} - x + 2 \sqrt{3}}{{(x^{2} - x)}^{2} - 1 + \sqrt{3}}$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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17、下列各式从左到右的变形正确的是（）

A、 $\frac{x - \frac{1}{2} y}{\frac{1}{2} x + y} = \frac{2 x - y}{x + 2 y}$ B、 $\frac{0.2 a + b}{a + 0.2 b} = \frac{2 a + b}{a + 2 b}$ C、 $\frac{x + 1}{x - y} = \frac{x - 1}{x - y}$ D、 $\frac{a + b}{a - b} = \frac{a - b}{a + b}$

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18、下列因式分解中，错误的是（）

A、 $1 - 9 x^{2} = (1 + 3 x) (1 - 3 x)$ B、 $a^{2} - a + \frac{1}{4} = {(a - \frac{1}{2})}^{2}$ C、 $- m x + m y = - m (x + y)$ D、 $a x - a y - b x + b y = (a - b) (x - y)$

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19、综合与探究：在几何探究问题中，经常需要通过作辅助线（如连接两点、过某点作垂线、作延长线、作平行线等）把分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．

(1)、【操作判断】如图①，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $C D$ ， $B C$ 上，连接 $A E$ ， $A F$ ， $∠ E A F = 45 °$ ，连接 $E F$ ，探索线段 $D E$ ， $B F$ ， $E F$ 之间的数量关系．
小军的思路：过点 $A$ 作 $A G ⊥ A E$ 交 $C B$ 的延长线于点 $G$ ，易证 $△ A B G ≌ △ A D E$ ，从而 $∠ G A F = ∠ E A F$ ， $A G = A E$ ，可得 $△ A E F ≌ △ A G F$ ，即可求解．
根据小军的思路，在图①中补全图形，请写出线段 $D E$ ， $B F$ ， $E F$ 之间的数量关系，并说明理由；

(2)、【问题探究】如图②，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $C D$ ， $B C$ 的延长线上，连接 $A E$ ， $A F$ ， $∠ E A F = 45 °$ ，连接 $E F$ ，探索线段 $D E$ ， $B F$ ， $E F$ 之间的数量关系，并说明理由；

(3)、【拓展延伸】如图③，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 12$ ， $A D = 16$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在射线 $D C$ ， $C B$ 上，连接 $A E$ ， $A F$ ，已知 $∠ E A F = 45 °$ ， $B F = 4$ ，求线段 $D E$ 的长．

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20、2024年第33届巴黎奥运会上我国网球选手郑钦文荣获女子单打冠军，创造了历史，各地迅速掀起网球训练热潮．某网球训练营教练自制了一种网球发球器，已知该发球器的网球出口 $C$ 离地竖直高度 $O C = 1.5$ 米．如图，网球在最大力量和最小力量发射出去的路线可以抽象为两条抛物线的一部分，矩形 $M N P Q$ 为初学者的接球区域，其中 $M Q = 1$ 米， $M N = 0.5$ 米，最小力量发球得到的抛物线可以看作由最大力量发球得到的抛物线向左平移得到，最大力量发球得到的抛物线最高点 $D$ 离出球口的水平距离为2米，高出出球口0.5米．

(1)、求最大力量时网球发射的抛物线的函数表达式，并求出网球的最大射程 $O A$ ；

(2)、求最小力量时网球发射出的最大射程 $O B$ ；

(3)、要使初学者能接住发球器发出的网球（即发出的网球能落在接球区域 $M N P Q$ 中），请求出初学者距发球器的水平距离 $O M$ 的取值范围．

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